Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giác BCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {HK} $;

b) $\overrightarrow {AB} + {\rm{ }}\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} $.

Question

Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giác BCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {HK} $;

b) $\overrightarrow {AB} + {\rm{ }}\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} $.

Accepted Answer

a) Do HK là đường trung bình của tam giác ABC nên BC || HK và BC = 2HK. Suy ra [ overrightarrow {BC} ] cùng hướng với [ overrightarrow {HK} ] và [ left| { overrightarrow {BC} } right| = 2 left| { overrightarrow {HK} } right| ]. Vậy [ overrightarrow {BC} = 2 overrightarrow {HK} ]. b) Ta có: [ overrightarrow {AB} = overrightarrow {AG} + overrightarrow {GB} ,{ rm{ }} overrightarrow {AC} = overrightarrow {AG} + overrightarrow {GC} ,{ rm{ }} overrightarrow {AD} = overrightarrow {AG} + overrightarrow {GD} ]. Suy ra [ overrightarrow {AB} + { rm{ }} overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} = 3 overrightarrow {AG} + overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} ]. Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên [ overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} = overrightarrow 0 ]. Do đó, ta có: [ overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} = 3 overrightarrow {AG} ].