Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh rằng:

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/13-1753514820.png)

a) $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)$

b) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} $

Question

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh rằng:

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/13-1753514820.png)

a) $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)$

b) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} $

Accepted Answer

a) Ta có: ( overrightarrow {MN} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {AB} + overrightarrow {BN} , overrightarrow {MN} = overrightarrow {MD} + overrightarrow {DC} + overrightarrow {CN} ). Do đó (2 overrightarrow {MN} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {MD} + overrightarrow {AB} + overrightarrow {DC} + overrightarrow {BN} + overrightarrow {CN} ). Vì (M ) là trung điểm của đoạn thẳng AD nên ( overrightarrow {MA} + overrightarrow {MD} = vec 0 ). Vì (N ) là trung diểm của đoạn thẳng BC nên ( overrightarrow {BN} + overrightarrow {CN} = vec 0 ). Do đó ( overrightarrow {MN} = frac{1}{2}( overrightarrow {AB} + overrightarrow {DC} ) ). b) Ta có: ( overrightarrow {AB} = overrightarrow {AG} + overrightarrow {GB} , overrightarrow {AC} = overrightarrow {AG} + overrightarrow {GC} , overrightarrow {AD} = overrightarrow {AG} + overrightarrow {GD} ). Suy ra ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} = 3 overrightarrow {AG} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} ). Vì (G ) là trọng tâm của tam giác BCD nên ( overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = vec 0 ). Do đó ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} = 3 overrightarrow {AG} ).