12 Bài tập Chứng minh đẳng thức lượng giác (có lời giải)

Question 1

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn 0° ≤ $\alpha$ ≤ 180°. Chứng minh rằng: $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = 2\sin^2 \alpha - 1$.

Accepted Answer

Hướng dẫn giải: Cách 1. Ta có ({ cos ^4} alpha = { left( {{{ cos }^2} alpha } right)^2} = { left( {1 - {{ sin }^2} alpha } right)^2} = 1 - 2{ sin ^2} alpha + { sin ^4} alpha ) Do đó: sin4 α − cos4 α = sin4 α – (1 – 2sin2 α + sin4 α) = 2 sin2 α − 1. Vậy ta được điều phải chứng minh. Cách 2. Ta có sin4 α − sin4 α = (sin2 α + cos2 α)( sin2 α − cos2 α) = 1. [sin2 α – (1 − sin2 α)] = 2 sin2 α − 1. Vậy sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1. Cách 3. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1 ⇔ sin4 α − 2 sin2 α + 1 − cos4 α = 0 ⇔ (1 − sin2 α)2 − cos4 α = 0 ⇔ cos4 α − cos4 α = 0 (luôn đúng). Vậy đẳng thức được chứng minh.

Question 2

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cosA = − cos(B + C).

Accepted Answer

Hướng dẫn giải: Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có ( widehat A )+ ( widehat B )+ ( widehat C ) = 180°. Suy ra: 180° − ( widehat A )= ( widehat B )+ ( widehat C ). Do đó: cos(180° – A) = cos(B + C). Lại có: cos(180° – A) = – cosA (quan hệ giữa hai góc bù nhau). Khi đó ta có: – cosA = cos(B + C) ⇔ cosA = – cos(B + C). Vậy đẳng thức được chứng minh.

Question 3

Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos2 α + sin2 α = 1 với 0° ≤ α ≤ 180°?

Accepted Answer

$5(\cos^2 \frac{\alpha}{5} + \sin^2 \frac{\alpha}{5}) = 5$

Question 4

Cho tam giác ABC, tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau ?

Accepted Answer

tan A = tan (B + C);

Question 5

Cho góc x với 0° < x < 90°. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức đúng là?

Accepted Answer

$\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}$;

Question 6

Với 0° ≤ x ≤ 180°, biểu thức (sin x + cos x)² bằng:

Accepted Answer

1 + 2sin x. cos x;

Question 7

Cho 0° ≤ x ≤ 180°. Tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức dưới đây?

Accepted Answer

$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

Question 8

Cho 0° ≤ x ≤ 180°. Giá trị của biểu thức (sin²x + cos²x)² + (sin²x − cos²x)² bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

2

Question 9

Biểu thức 1 − (sin6 x + cos6 x) bằng biểu thức nào sau đây:

Accepted Answer

3sin^2 x . cos^2 x

Question 10

Tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau đây:

Accepted Answer

$\sin 20^\circ = \sin 160^\circ$

Question 11

Biểu thức $\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} + {\tan ^2}x$ bằng biểu thức nào sau đây?

Accepted Answer

3 + $\tan^2 x$

Question 12

Cho (0° < α < 90°), khi đó sin (α + 90°) bằng

Accepted Answer

cos α

12 Bài tập Chứng minh đẳng thức lượng giác (có lời giải)

Xem trước câu hỏi