12 bài tập Góc giữa hai vectơ trong không gian – Tích vô hướng (có lời giải)

Question 1

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc $(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D\prime } ),{\rm{ }}(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C\prime } ).$

Accepted Answer

Ta có [ overrightarrow {AD} ; = overrightarrow {A'D'} ], suy ra [ left( { overrightarrow {AB} , overrightarrow {A'D'} } right) = left( { overrightarrow {AB} , overrightarrow {AD} } right) = overrightarrow {DAB} = {90^ circ } ]. Ta có [ overrightarrow {A'C'} ; = overrightarrow {AC} ], suy ra [ left( { overrightarrow {AB} , overrightarrow {A'C'} } right) = left( { overrightarrow {AB} , overrightarrow {AC} } right) = overrightarrow {CAB} = {45^ circ } ]

Question 2

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc giữa hai cặp vectơ sau: ($\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} $) và ($\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} $).

Accepted Answer

Góc giữa ($\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} $) là 90°. Góc giữa ($\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} $) là 135°.

Question 3

Trong không gian, cho $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ thoả mãn $\left| {\overrightarrow u } \right| = 2$ và $\left| {\overrightarrow v } \right| = 3$. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v $ (Hình 24). Giả sử $\widehat {BAC} = {60^ \circ }$.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/11-1753515319.png)

a) Tính góc $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)$.

b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} $.

Accepted Answer

a) Vì ( overrightarrow {AB} = vec u, overrightarrow {AC} = vec v ) nên (u→,v→)=(AB→,AC→)=BAC=60° b) (| vec u| = 2,| vec v| = 3 ) nên (| overrightarrow {AB} | = 2,| overrightarrow {AC} | = 3 ). Ta có AB→⋅AC→=|AB→|⋅|AC→|⋅cos(AB→,AC→)=2.3⋅cos60°

Question 4

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và M là trung điểm của CD.

a) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} {\rm{.}}\overrightarrow {AM} $.

b) Tính góc $\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right)$.

Accepted Answer

a) Ta có: AB→⋅AC→=|AB→|⋅|AC→|⋅cos(AB→,AC→) =AB⋅AC⋅cosBAC=a⋅a⋅cos60°=a22. Tương tự ta cūng có ( overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AD} = frac{{{a^2}}}{2} ). Ta lại có ( overrightarrow {AM} = frac{1}{2}( overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} ) ), suy ra: [ overrightarrow {AB} . overrightarrow {AM} = overrightarrow {AB} . frac{1}{2} left( { overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} } right) = frac{1}{2} left( { overrightarrow {AB} . overrightarrow {AC} + overrightarrow {AB} . overrightarrow {AD} } right) = frac{1}{2} left( { frac{{{a^2}}}{2} + frac{{{a^2}}}{2}} right) = frac{{{a^2}}}{2} ] b) Ta có: [ overrightarrow {AB} . overrightarrow {CD} = left( { overrightarrow {AM} + overrightarrow {MB} } right) overrightarrow {CD} = overrightarrow {AM} . overrightarrow {CD} + overrightarrow {MB} . overrightarrow {CD} ] Mà AM, BM là trung tuyến của các tam giác đều ACD, BCD nên ( overrightarrow {AM} bot overrightarrow {CD} , overrightarrow {MB} bot overrightarrow {CD} ). Suy ra ( overrightarrow {AM} cdot overrightarrow {CD} = overrightarrow {MB} cdot overrightarrow {CD} = 0 ). Từ các kết quả trên ta có ( overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {CD} = 0 ). Suy ra (AB→,CD→)=90°

Question 5

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1.

a) Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AB} {\rm{.}}\overrightarrow {CC'} $.

b) Tính góc $\left( {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC'} } \right)$ (kết quả làm tròn đến phút).

Accepted Answer

a) Vì ABB'A' là hình vuông nên ( overrightarrow {AB} = overrightarrow {{A^ prime }{B^ prime }} ). Do đó AB→,A'C'→=A'B'→,A'C'→=B'A'C'=45° (do ({A^ prime }{B^ prime }{C^ prime }{D^ prime } ) là hình vuông nên ({A^ prime }{C^ prime } ) là̀ phân giác của góc ( left. {{D^ prime }{A^ prime }{B^{ prime prime }}} right) ). Ví ({A^ prime }{B^ prime }{C^ prime }{D^ prime } ) là hình vuông cạnh bẳng 1 nên ({A^ prime }{C^ prime } = sqrt 2 ). Ta có AB→⋅A'C'→=|AB→|⋅A'C'→⋅cosAB→,A'C'→=1⋅2⋅cos45°=1 Vì ({ rm{AC}}{{ rm{C}}^ prime }{A^ prime } ) là hình bình hành nên ( overrightarrow {C{C^ prime }} = overrightarrow {A{A^ prime }} ). Do đó AB→,CC'→=AB→,AA'→=BAA'=90° Do đó ( overrightarrow {AB} bot overrightarrow {C{C^ prime }} ). Suy ra ( overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {C{C^ prime }} = 0 ). b) ( left( { overrightarrow {AC} , overrightarrow {A{C^ prime }} } right) = CA{C^ prime } ). Ta có (A{C^ prime } ) là đường chéo của hình lập phương cạnh bẳng 1 nên (A{C^ prime } = sqrt 3 ). ({ rm{AC}} ) là đường chéo của hình vuông ({ rm{ABCD}} ) cạnh bằng 1 nên (AC = sqrt 2 ). Xét ({ rm{DACC}} ) có cosCAC'=AC2+AC2−CC22⋅AC⋅AC'=2+3−12⋅2⋅3=63⇒CAC'≈35°16' Vậy AC→,AC'→≈35°16'

Question 6

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ khác $\overrightarrow 0 $. Lấy điểm O và vẽ các vec tơ $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b $. Lấy điểm O’ khác O và vẽ các vec tơ $\overrightarrow {O'A'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {O'B'} = \overrightarrow b $

a) Giải thích vì sao $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} $

b) Áp dụng định lí cosin cho hai tam giác OAB và O’A’B’ để giải thích vì sao $\widehat {AOB} = \widehat {A'O'B'}$.

Accepted Answer

a) Ta có: ( overrightarrow {AB} = overrightarrow {AO} + overrightarrow {OB} ; overrightarrow {{A^ prime }{B^ prime }} = overrightarrow {{A^ prime }{O^ prime }} + overrightarrow {{O^ prime }{B^ prime }} ) Mà ( overrightarrow {OA} = vec a, overrightarrow {OB} = vec b, overrightarrow {{O^ prime }{A^ prime }} = vec a, overrightarrow {{O^ prime }{B^ prime }} = vec b Rightarrow overrightarrow {AO} = overrightarrow {{A^ prime }{O^ prime }} ; overrightarrow {OB} = overrightarrow {{O^ prime }{B^ prime }} ) Do đó, ( overrightarrow {AB} = overrightarrow {{A^ prime }{B^ prime }} ) b) Áp dụng định lí côsin vào tam giác AOB ta có: ( cos AOB = frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA cdot OB}} ) Áp dụng định lí côsin vào tam giác ({{ rm{A}}^ prime }{A^ prime }{B^ prime } ) ta có: ( cos {A^ prime }{O^ prime }{B^ prime } = frac{{{O^ prime }{A^{ prime 2}} + {O^ prime }{B^2} - {A^ prime }{B^2}}}{{2 cdot {O^ prime }{A^ prime } cdot {O^ prime }{B^ prime }}} ) vi ( overrightarrow {AB} = overrightarrow {{A^ prime }{B^ prime }} Rightarrow AB = {A^ prime }{B^ prime }, overrightarrow {AO} = overrightarrow {{A^ prime }{O^ prime }} Rightarrow OA = {O^ prime }{A^ prime }; overrightarrow {OB} = overrightarrow {{O^ prime }{B^ prime }} Rightarrow OB = {O^ prime }{B^ prime } ) Do đó, ( cos AOB = cos {A^ prime }{O^ prime }{B^ prime } Rightarrow AOB = {A^ prime }{O^ prime }{B^ prime } )

Question 7

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và mặt bên SAB là tam giác đều. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {DC} $ và $\overrightarrow {BS} $.

Accepted Answer

120 độ

Question 8

Cho hình chóp S.ABC có $SA = SB = SC = AB = AC = a$ và $BC = a\sqrt 2 $. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {SC} $ và $\overrightarrow {AB} $.

Accepted Answer

120°

Question 9

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt bên ASB là tam giác vuông cân tại S và có cạnh AB = a. Gọi M là trung điểm của AB. Hăy tính:

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/132-1753515955.png)

a) $\overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {BS} $;

b) $\overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {AS} $;

c) $\overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {MS} $.

Accepted Answer

a) Vì ABCD là hình bình hành nên (AB//CD ). Gọi (E ) là điểm thuộc tia $A B$ sao cho ( overrightarrow {BE} = overrightarrow {DC} ). Ta có: (( overrightarrow {DC} , overrightarrow {BS} ) = ( overrightarrow {BE} , overrightarrow {BS} ) = widehat {EBS}{ rm{. }} ) vuông cân (tại (S ) ) nên SBA^=45° Suy ra EBS^=180°−45°=135°, hay (DC→,BS→)=135°. Mặt khác, do (AB = a ) nên (AS = BS = frac{{a sqrt 2 }}{2} ). Từ đó ta có: DC→⋅BS→ =|DC→|⋅|BS→|⋅cos(DC→,BS→)=a⋅a22⋅cos135°=a222−22. Vậy DC→⋅BS→=−a22 b) DC→⋅AS→=AB→⋅AS→=|AB→|⋅|AS→|⋅cos(AB→,AS→)=a⋅a22⋅cos45°=a22. c) Tam giác ASB cân tại (S ) và (M ) là trung điểm của cạnh $A B$ nên (SM bot AB ), hay ( overrightarrow {MS} bot overrightarrow {AB} ). Suy ra ( overrightarrow {DC} cdot overrightarrow {MS} = overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {MS} = 0 ).

Question 10

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow {AS} $.$\overrightarrow {BC} $

b) $\overrightarrow {AS} $.$\overrightarrow {AC} $

c) $\overrightarrow {AS} $.$\overrightarrow {BD} $

d) $\overrightarrow {AS} $.$\overrightarrow {CD} $

Accepted Answer

a) Tam giác SAD có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra SAD=60°. Tứ giác ABCD là hình vuông nên ( overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} ), suy ra (AS→,BC→)=(AS→,AD→)=SAD=60°. Do đó AS→⋅BC→=|AS→|⋅|BC→|⋅cos60°=a⋅a⋅12=a22 b) Tứ giác ABCD là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là a nên độ dài đường chéo AC là ( sqrt 2 a ). Tam giác SAC có (SA = SC = a ) và (AC = sqrt 2 a ) nên tam giác SAC vuông cân tại (S ), suy ra SAC=45°. Do đó AS→⋅AC→=|AS→|⋅|AC→|⋅cosSAC=a⋅2a⋅22=a2. c) Gọi ({ rm{O}} ) là giạo điểm của hai đường chéo ({ rm{AC}} ) và ({ rm{BD}} ) trong hình vuông ({ rm{ABCD}} ). Do đó, ({ rm{O}} ) là trung diểm của ({ rm{BD}},{ rm{O}} ) là trung diếm của ({ rm{AC}} ). Tứ giác ({ rm{ABCD}} ) là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo ({ rm{BD}} ) là a2⇒OB=a22 Gọi ({ rm{E}} ) là trung điểm của ({ rm{SC}} ). Mà ({ rm{O}} ) là trung diểm của ({ rm{AC}} ) nên ({ rm{OE}} ) là đường trung bình của tam giác ({ rm{SAC}} ), do đó, ({ rm{OE}}//{ rm{SA}},OE = frac{1}{2}SA = frac{a}{2} ). Suy ra: ( overrightarrow {AS} = 2 overrightarrow {OE} ) Vì ({ rm{O}} ) là trung diểm của ({ rm{BD}} ) nên ( overrightarrow {BD} = 2 overrightarrow {OB} ) Vì tam giác SBC có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SBC là tam giác đều. Do đó, $B E$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác ({ rm{SBC}} ). Do đó, (EB = frac{{a sqrt 3 }}{2} ). Ta có: (O{E^2} + O{B^2} = frac{{{a^2}}}{4} + frac{{{a^2}}}{2} = frac{{3{a^2}}}{4} = E{B^2} ) nên EOB vuông tại ({ rm{O}} ). Do đó, ( overrightarrow {OE} bot overrightarrow {OB} ) Ta có: ( overrightarrow {AS} cdot overrightarrow {BD} = 2 overrightarrow {OE} cdot ( - 2 overrightarrow {OB} ) = - 4 overrightarrow {OE} cdot overrightarrow {OB} = 0 ) d) Tứ giác ABCD là hình vuông nên ( overrightarrow {CD} = overrightarrow {BA} ) Ta có: ( overrightarrow {AS} cdot overrightarrow {CD} = overrightarrow {AS} cdot overrightarrow {BA} = - overrightarrow {AS} cdot overrightarrow {AB} = - | overrightarrow {AS} | cdot | overrightarrow {AB} | cos ( overrightarrow {AS} , overrightarrow {AB} ) = - | overrightarrow {AS} | cdot | overrightarrow {AB} | cos SAB ) Vì tam giác ({ rm{SAB}} ) có ba cạnh bằng nhau nên tam giác ({ rm{SAB}} ) dều, suy ra SAB=60° Suy ra: AS→⋅CD→=−|AS→|⋅|AB→|cosSAB=−a⋅a⋅cos60°=−a22

Question 11

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và $BC = a\sqrt 2 $. Tính góc giữa các vectơ $\overrightarrow {SC} $ và $\overrightarrow {AB} $.

Accepted Answer

120 độ

Question 12

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và $\widehat {BAA'} = \widehat {BAD} = \widehat {DAA'} = {60^o}$.

a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {B'D'} = 0$

b) Tính độ dài đường chéo AC’.

Accepted Answer

a) Giả sử cạnh của hình lập phương (ABCD.{A^ prime }{B^ prime }{C^ prime }{D^ prime } ) bằng 1 . Khi đó, ({A^ prime }{C^ prime } = {B^ prime }{D^ prime } = sqrt 2 ) Gọi ({{ rm{E}}^ prime } ) là giao điểm của hai đường chéo ({A^ prime }{C^ prime } ) và ({B^ prime }{D^ prime } ) của hình vuông ({A^ prime }{B^ prime }{C^ prime }{D^ prime } ). Khi đó, ({E^ prime } ) là trung diềm của ({A^ prime }{C^ prime } ) và ({B^ prime }{D^ prime } ). Suy ra ( overline {{B^ prime }{D^ prime }} = 2 overline {{E^ prime }{D^ prime }} ) và ({E^ prime }{D^ prime } = frac{{ sqrt 2 }}{2} ). Gọi ({ rm{E}} ) là trung diểm của ({ rm{C}}{{ rm{C}}^ prime } ). Mà ({{ rm{E}}^ prime } ) là trung diểm của ({{ rm{A}}^ prime }{{ rm{C}}^ prime } ) nên ({ rm{EE}} ) là đường trung bình của tam giác ({{ rm{A}}^ prime }{C^ prime }{ rm{C}} ). Do đó, ( overrightarrow {{A^ prime }C} = 2 overrightarrow {{E^ prime }E} ) và ({E^ prime }E = frac{1}{2}{A^ prime }C ) Áp dụng định lí Pythagore vào vuông tại ({C^ prime } ) có: ({A^ prime }C = sqrt {{A^ prime }{C^2} + {C^ prime }{C^2}} = sqrt {2 + 1} = sqrt 3 ) ( Rightarrow {E^ prime }E = frac{{ sqrt 3 }}{2} ) Áp dụng định lí Pythagore vào ( Delta {{ rm{D}}^ prime }{{ rm{C}}^ prime }{ rm{E}} ) vuông tại ({{ rm{C}}^ prime } ) có: (E{D^{ prime 2}} = {C^ prime }{D^2} + {C^ prime }{E^2} = 1 + frac{1}{4} = frac{5}{4} ) Vì ({E^ prime }{D^{ prime 2}} + {E^ prime }{E^2} = frac{1}{2} + frac{3}{4} = frac{5}{4} = E{D^{ prime 2}} ) nên ( Delta {E^ prime }{D^ prime } ) E vuông tại ({{ rm{E}}^ prime } ). Do đó, ( overrightarrow {{E^ prime }E} bot overrightarrow {{E^ prime }{D^ prime }} ) Ta có: ( overline {{A^ prime }C} cdot overline {{B^ prime }{D^ prime }} = 2 cdot overline {{E^ prime }E} cdot 2 cdot overline {{E^ prime }{D^ prime }} = 0({ rm{dpcm}}) )

12 bài tập Góc giữa hai vectơ trong không gian – Tích vô hướng (có lời giải)

Xem trước câu hỏi