12 bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Phương trình đường thẳng trong không gian (có lời giải)

Một mô hình cầu treo được thiết kế trong không gian Oxyz như Hình 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn làn đường đi qua hai điểm \({\rm{M}}(4;3;20)\) và \({\rm{N}}(4;1000;20)\).

Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục \(d\) của mũi khoan và trục \({d^\prime }\) của giá đỡ có phương trình lần lượt là: \(d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 10}\\{y = 20}\\{z = 5 + 5{t^\prime }.}\end{array}} \right.\)

Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng \(d\) trên trụ cầu và đường thẳng \({d^\prime }\) trên sàn cầu có phương trình lần lượt là:

\(d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 0}\\{y = 0}\\{z = 50 + t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 20}\\{y = {t^\prime }}\\{z = 50}\end{array}} \right.\)



Xét vị trí tương đối giữa \(d\) và \({d^\prime }\).

Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục \(d\) của nòng súng và cọc đỡ bia \({d^\prime }\) có phương trình lần lượt là:

\(d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = t}\\{y = 20}\\{z = 9}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 10}\\{y = 20}\\{z = 1 + 3{t^\prime }.}\end{array}} \right.\)



Xét vị trí tương đối giữa \(d\) và \({d^\prime }\), chúng có vuông góc với nhau không?

Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian Oxyz, một xạ thủ đang ngắm với toạ độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là \(M(3;3;1,5),N(3;4;1,5)\). Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng MN).

Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát ở điểm M(2; 3; -4) và vật cần quan sát đặt tại điểm N(-1; 0; 8). Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm O(0;0;0), bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phẳng Oxy.



a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN.

b) Tính tọa độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng (Oxy).

c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm M và N hay không?

Trên phần mềm mô phỏng 3 D một máy khoan trong không gian Oxyz, cho biết phương trình trục \(a\) của mũi khoan và một đường rãnh \(b\) trên vật cần khoan (Hình 18) lần lượt là:

\(a:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1}\\{y = 2}\\{z = 3t}\end{array}{\rm{và}}b:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1 + 4{t^\prime }}\\{y = 2 + 2{t^\prime }}\\{z = 6.}\end{array}} \right.} \right.\)



a) Chứng minh a và b vuông góc và cắt nhau.

b) Tìm giao điểm của \(a\) và \(b\).

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng:

\({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1 - 2s}\\{y = 2s}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)

Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ \(A(1;2;0)\) và \(B(3;5;0)\) với vận tốc không đổi tương ứng là \({\vec v_1} = (2;1;3),\overrightarrow {{v_2}} = (1;2;1)\). Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz , hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình:

Δ1:x−12=y−1=z+13 và Δ2:x−3−1=y+11=z1.

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?