13 bài tập Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox (có lời giải)

Question 1

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x) = x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$, $x = 2$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.

Accepted Answer

$\frac{7\pi}{3}$

Question 2

Gọi $\left( H \right)$là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {e^x}$, trục $Ox$và hai đường thẳng $x = 0,$ $x = 1$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục$Ox$ là

Accepted Answer

(V = pi int limits_0^1 {{e^{2x}}dx} = left. { frac{ pi }{2}{e^{2x}}} right|_0^1 = frac{ pi }{2} left( {{e^2} - 1} right) )

Question 3

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ và các đường thẳng $y = 0$, $x = 1$, $x = 4$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng $\left( H \right)$ quay quanh trục $Ox$.

Accepted Answer

[V = pi { int limits_1^4 { left( { frac{1}{x}} right)} ^2}{ rm{d}}x ] ( = left. { pi left( { - frac{1}{x}} right)} right|_1^4 ) ( = pi left( { - frac{1}{4} + 1} right) ) ( = frac{{3 pi }}{4} ).

Question 4

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x) = \sin \frac{x}{2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = \frac{\pi }{2}$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.

Accepted Answer

$V = \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi}{2}$

Question 5

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt {2 + \cos x} ,$ trục hoành và các đường thẳng $x = 0,x = \frac{\pi }{2}$. Khối tròn xoay tạo thành khi $D$ quay quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

$\pi(\pi + 1)$

Question 6

Kí hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2x - x^2$ và $y = 0$. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng $(H)$ khi nó quay quanh trục $Ox$.

Accepted Answer

16π/15

Question 7

Khi cắt một vật thể hình chiếc niêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left( { - 2 \le x \le 2} \right)$, mặt cắt là tam giác vuông có một góc 45∘ và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt {4 - {x^2}} $ (dm) như hình vẽ. Tính thể tích của vật thể.

![Khi cắt một vật thể hình chiếc niêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid0-1753775147.png)

Accepted Answer

Vì mặt cắt là tam giác vuông có một góc 450 nên mặt cắt là tam giác vuông cân. Do đó diện tích của mặt cắt là: (S(x) = frac{1}{2}{ left( { sqrt {4 - {x^2}} } right)^2} = frac{1}{2} left( {4 - {x^2}} right) = 2 - frac{1}{2}{x^2} ) Thể tích vật thể là: (V = int_{ - 2}^2 { left( {2 - frac{1}{2}{x^2}} right)} dx = left. { left( {2x - frac{{{x^3}}}{6}} right)} right|_{ - 2}^2 = frac{8}{3} + frac{8}{3} = frac{{16}}{3} )

Question 8

Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {4 - x} $ $\left( {x \le 4} \right)$, trục tung và trục hoành như hình vẽ. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi xoay D quanh trục Ox.

![Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid1-1753775189.png)

Accepted Answer

Thể tích cần tính là: (V = pi int_0^4 {(4 - x)} dx = left. { pi left( {4x - frac{{{x^2}}}{2}} right)} right|_0^4 = 8 pi . )

Question 9

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang OABC có A(0; 1), B(2; 2), C(2; 0) như hình vẽ. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang OABC quanh trục hoành.

![Hình thang OABC](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid2-1753775222.png)

Accepted Answer

14pi/3

Question 10

Sử dụng tích phân để tích thể tích của khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h như hình vẽ.

![Sử dụng tích phân để tích thể tích của khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h như hình vẽ. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid3-1753775261.png)

Accepted Answer

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có (O(0;0),B(h;r) ). Ta có OB là đường thẳng đi qua gốc tọa độ nên OB : ({ rm{y}} = { rm{ax}} ). Mà OB đi qua điểm B nên ({ rm{r}} = { rm{ah}} Rightarrow a = frac{r}{h} ). Do đó OB: (y = frac{r}{h}x ). Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = frac{r}{h}x ), trục hoành, trục tung và đường thẳng ({ rm{x}} = { rm{h}} ) quanh trục Ox ta được khối nón có chiều cao h và bán kính r. Do đó thể tích của khối nón là: (V = pi int_0^h {{{ left( { frac{r}{h}x} right)}^2}} dx = left. { frac{{ pi {r^2}}}{{{h^2}}} cdot frac{{{x^3}}}{3}} right|_0^h = frac{1}{3} pi {r^2}h )

Question 11

Sử dụng tích phân để tích thể tích của khối chóp có cạnh đáy a và chiều cao h như hình vẽ.

![Sử dụng tích phân để tích thể tích của khối chóp có cạnh đáy a và chiều cao h như hình vẽ. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid5-1753775305.png)

Accepted Answer

Chọn trục Ox trùng với đường cao của hình chóp đều như hình vẽ, sao cho mặt đáy nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại ({ rm{x}} = 0 ). Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ (x(0 le x le h) ) cắt hình chóp đều theo mặt cắt là hình vuông đồng dạng với đáy của hình chóp theo tỉ số ( frac{x}{h} ). Do đó ( frac{{S(x)}}{{{a^2}}} = { left( { frac{x}{h}} right)^2} Rightarrow S(x) = { left( { frac{x}{h}} right)^2}{a^2} = frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}{x^2} ). Do đó thể tích khối chóp tứ giác đều là: (V = int_0^h { frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}} {x^2}dx = left. { left( { frac{{{a^2}}}{{{h^2}}} cdot frac{{{x^3}}}{3}} right)} right|_0^h = frac{1}{3}{a^2}h )

Question 12

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ nửa đường tròn tâm O, bán kính r = 2, nằm phía trên trục Ox. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn, trục Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

![Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ nửa đường tròn tâm O, bán kính r = 2, nằm phía trên trục Ox. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn, trục Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid7-1753775365.png)

Accepted Answer

Phương trình nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox có ({ rm{r}} = 2 ) là: (y = sqrt {4 - {x^2}} ) Thể tích cần tính là: (V = pi int_{ - 1}^1 { left( {4 - {x^2}} right)} dx = left. { pi left( {4x - frac{{{x^3}}}{3}} right)} right|_{ - 1}^1 = pi left( { frac{{11}}{3} + frac{{11}}{3}} right) = frac{{22 pi }}{3} )

Question 13

Cho tam giác OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và $\widehat {AOB} = \alpha {\rm{ }}\left( {0 < \alpha \le \frac{\pi }{4}} \right)$. Gọi (B) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh Ox như hình vẽ

![Cho tam giác OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/anh-chup-man-hinh-2025-07-29-luc-145124-1753775423.png)

a) Tính thể tích V của (B) theo a và $\alpha $.

b) Tìm $\alpha $ sao cho thể tích V lớn nhất.

Accepted Answer

a) Xét tam giác OAB vuông tại A , có ({ rm{AB}} = { rm{OA}} ). tana = a.tana. Khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox ta được khối nón có bán kính đáy ({ rm{r}} = { rm{AB}} = { rm{a}} ).tana và chiều cao ({ rm{h}} = { rm{OA}} = { rm{a}} ). Do đó (V = frac{1}{3} pi {r^2}h = frac{1}{3} pi {a^3}{ tan ^2} alpha ) b) Có ({V^ prime } = frac{1}{3} pi {a^3} cdot 2 tan alpha cdot frac{1}{{{{ cos }^2} alpha }} ) Vi (0 < alpha le frac{ pi }{4} = > 0 < ) tan ( alpha le 1 ) nên ({V^ prime } > 0 ). Do đó (V ) là hàm số đồng biến trên ( left( {0; frac{ pi }{4}} right) ) Do đó ( mathop { max } limits_{ left( {0; frac{ pi }{4}} right]} V = V left( { frac{ pi }{4}} right) = frac{1}{3} pi {a^3} ) Vậy ( alpha = frac{ pi }{4} ) thì thể tích khối nón là lớn nhất.

13 bài tập Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox (có lời giải)

Xem trước câu hỏi