15 bài tập Một số bài toán liên quan thực tế (có lời giải)

Question 1

Trên bản thiết kế đồ hoạ 3 D của một cánh đồng điện mặt trời trong không gian Oxyz, một tấm pin nằm trên mặt phẳng $(P):6x + 5y + z + 2 = 0$; một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $M(1;1;1)$ và song song với $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$.

![Trên bản thiết kế đồ hoạ 3 D của một cánh đồng điện mặt trời trong không gian Oxyz, một tấm pin nằm trên mặt phẳng (P):6x + 5y + z + 2 = 0 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid0-1753933170.png)

Accepted Answer

Vì ((Q)//(P) ) nên ((Q) ) có vecơo pháp tuyến là ( vec n = (6;5;1) ). Phương trình mặt phẳng ((Q) ) là: (6(x - 1) + 5(y - 1) + 1(z - 1) = 0 Leftrightarrow 6x + 5y + z - 12 = 0. )

Question 2

Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam 3 m , cách bạn nữ 5 m. Cho biết quỹ đạo cùa quả bóng nẳm trong mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt đất. Hãy viết phương trình của $(P)$ trong không gian $O x y z$ được mô tả như trong hình vẽ.

![Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam 3 m , cách bạn nữ 5 m. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid1-1753933226.png)

Accepted Answer

Gọi (M ) là điểm mà quả bóng rơi trên mặt đất. Khi đó (M(3;4;0) ). Mặt phẳng ((P) ) có cặp vectơ chỉ phương là ( vec k = (0;0;1) ) và ( overrightarrow {OM} = (3;4;0) ) nên mặt phẳng ((P) ) có vectơ pháp tuyến là ( vec n = ( - 4;3;0) ). Phương trình mặt phẳng ((P) ) là ( - 4x + 3y = 0 ).

Question 3

Một công trường xây dựng nhà cao tầng đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz. Hãy kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các mặt kính $(P),(Q),(R)$ (Hình vẽ) của một toà nhà, biết:

$(P):3x + y - z + 2 = 0$; (Q): $6x + 2y - 2z + 11 = 0$; $(R):x - 3y + 1 = 0$.

$(P):3x + y - z + 2 = 0$; (Q): $6x + 2y - 2z + 11 = 0$; $(R):x - 3y + 1 = 0$.

![Một công trường xây dựng nhà cao tầng đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz. Hãy kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các mặt kính (P),(Q),(R) (Hình vẽ) của một toà nhà, biết: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid2-1753933277.png)

Accepted Answer

((P)//(Q);(P) ) vuông góc với ((R);(Q) ) vuông góc với ((R) ).

Question 4

Khối rubik được gắn vơi hệ toạ độ Oxyz có đơn vị bằng độ dài cạnh hình lập phương nhỏ (Hình vẽ ). Xét bốn điểm $A(3;0;0),B(0;3;0),C(0;0;2)$ và $D(1;1;1)$.

![Khối rubik được gắn vơi hệ toạ độ Oxyz có đơn vị bằng độ dài cạnh hình lập phương nhỏ (Hình vẽ ). Xét bốn điểm A(3;0;0),B(0;3;0),C(0;0;2) và D(1;1;1). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid3-1753933332.png)

a) Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.

b) Bốn điểm A, B, C, D có đồng phẳng hay không?

Accepted Answer

a) Phương trình mặt phẳng ((ABC) ) là: ( frac{x}{3} + frac{y}{3} + frac{z}{2} = 1{ rm{ }}(*) ) b) Thay toạ độ của điểm (D ) vào vế trái của phương trình (*), ta có: ( frac{1}{3} + frac{1}{3} + frac{1}{2} ne 1 ). Suy ra điểm (D ) không thuộc mặt phẳng ((ABC) ). Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Question 5

Một nhà kho được vẽ trong hệ tọa độ Oxyx như hình bên, Các bức tường của nhà kho được xây vuông góc với mặt đất, đơn vị trên mỗi trục là mét.

![Một nhà kho được vẽ trong hệ tọa độ Oxyx như hình bên, Các bức tường của nhà kho được xây vuông góc với mặt đất, đơn vị trên mỗi trục là mét. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid4-1753933403.png)

a) Lập phương trình của hai mặt phẳng tương ứng với hai mái nhà

b) Tìm tọa độ điểm Q

c) Tìm tọa độ véctơ $\overrightarrow {PQ} $

Accepted Answer

a) Hai mặt phẳng tương ứng mỗi mái nhà là ((ABP) ) và ((CDP) ). ( bullet ) Do mặt phẳng ((ABP) ) có cặp vectơ chỉphương là ( overrightarrow {AB} = (0;20;1), overrightarrow {AP} = ( - 5;0; - 3) ) nên có một vectơ pháp tuyến là: ([ overrightarrow {AB} , overrightarrow {AP} ] = left( { left| { begin{array}{*{20}{c}}{20}&1 0&{ - 3} end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}1&0 { - 3}&{ - 5} end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}0&{20} { - 5}&0 end{array}} right|} right) = ( - 60; - 5;100). ) Mà mặt phẳng ((ABP) ) đi qua điểm (A(10;0;9) ) nên có phương trình là: ( - 60(x - 10) - 5(y - 0) + 100(z - 9) = 0 Leftrightarrow 12x + y - 20z + 60 = 0. ) ( bullet ) Do mặt phẳng ((CDP) ) có cặp vectơ chỉ phương là ( overrightarrow {DP} = (5;0; - 3), overrightarrow {DC} = (0;20;1) ) nên có một vectơ pháp tuyến là: ([ overrightarrow {DP} , overrightarrow {DC} ] = left( { left| { begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3} {20}&1 end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&5 1&0 end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}5&0 0&{20} end{array}} right|} right) = (60; - 5;100). ) Mà mặt phẳng ((CDP) ) đi qua điểm (D(0;0;9) ) nên có phương trình là: (60(x - 0) - 5(y - 0) + 100(z - 9) = 0 Leftrightarrow 12x - y + 20z - 180 = 0. ) b) Vì các bức tường của nhà kho đều được xây vuông góc với mặt đất nên vởi hệ toạ độ trên ta có (Q(x;20;z) ). Do điểm (Q ) thuộc mặt phẳng ((ABP) ) nên toạ độ của điểm (Q ) thoả mãn: (12x + 20 - 20z + 60 = 0,{ rm{ tức là }}3x - 5z = - 20.{ rm{ }} ) Do điểm (Q ) thuộc mặt phẳng ((CDP) ) nên toạ độ của điểm (Q ) thoả mãn (12x - 20 + 20z - 180 = 0 ), tức là (3x + 5z = 50 ). Ta có hệ phương trình: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{3x - 5z = - 20} {3x + 5z = 50} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = 5} {z = 7} end{array}} right.} right. ). Vậy (Q(5;20;7) ). c) Với (P(5;0;6) ) và (Q(5;20;7) ) ta có: ( overrightarrow {PQ} = (0;20;1) ).

Question 6

Khi gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét) vào một ngôi nhà 1 tầng, người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục Oz. Biết rằng các vị trí $A(3;4;33)$ và $D(9;8;35)$ lần lượt thuộc mặt dưới và mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Hãy cho biết độ dày của mái nhà đó là bao nhiêu decimét?

Accepted Answer

2

Question 7

Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mổi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.

a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình $x + $ $y + z - 27 = 0$

b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

![Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mổi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của thí sinh đó. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/anh-chup-man-hinh-2025-08-04-luc-213047-1754317785.png)

Accepted Answer

a) Giả sử một thí sinh có số điểm Toán, Văn, Tiếng Anh lần lượt là (x ); y; z. Tổng điểm của thí sinh này là: (x + y + z = 27 ). Điều này có nghĩa là điểm ((x;y;z) ) thỏa mãn phương trình: (x + y + z = 27{ rm{ hay }}x + y + z - 27 = 0.{ rm{ }} ) Do đó tất cả các điểm ((x;y;z) ) biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình (x + ) (y + z - 27 = 0 ). b) Giả sử S là tổng điểm thi của một thí sinh. Khi đó phương trình biểu diễn các điểm có tổng số điểm thi bằng (S ) là: (x + y + z = S ) hay (x + y + z - S = 0 ). Các mặt phẳng có phương trình dạng: (x + y + z - S = 0 ) với (S ) là tổng số điểm thi của các thí sinh là các mặt phẳng song song với nhau vì chúng có cùng vectơ pháp tuyến là ((1;1;1) ). Do đó, tất cả các điểm ( (x ); (y ); z) biểu diễn kết quả của các thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng song song này.

Question 8

(H.5.10) Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh $O(0;0;0),A(2;0;0),B(2;3;0);C(0;2\sqrt 2 ;0)$. Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.

a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.

b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

![Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh O(0;0;0),A(2;0;0),B(2;3;0); (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/anh-chup-man-hinh-2025-08-04-luc-213208-1754317866.png)

Accepted Answer

a) Ta có ( overrightarrow {AB} = (0;3;0), overrightarrow {BC} = ( - 2;2 sqrt 2 - 3;0) ) Sàn nhà nằm trong mặt phẳng Oxy có một vectơ pháp tuyến là ( vec k = (0;0;1) ) Suy ra mặt phẳng ({ rm{Oxy}}:{ rm{z}} = 0 ). Mặt phẳng bức tường (({ rm{P}}) ) chứa 2 điểm ({ rm{O}},{ rm{A}} ) chính là mặt phẳng Oxz : ({ rm{y}} = 0 ). Mặt phẳng bức tường (({ rm{Q}}) ) chứa 2 điểm ({ rm{O}},{ rm{C}} ) chính là mặt phẳng ({ rm{Oyz}}:{ rm{x}} = 0 ). Mặt phẳng bức tường ( a ) chứa 2 điểm ({ rm{A}},{ rm{B}} ) có vectơ pháp tuyến là ( vec n = [ overrightarrow {AB} , vec k] = (3;0;0) ) có phương trình là: (3({ rm{x}} - 2) = 0 ) hay ({ rm{x}} - 2 = 0 ). Mặt phẳng bức tường (( beta ) ) chứa 2 điểm ({ rm{B}},{ rm{C}} ) có vectơ pháp tuyến ( overrightarrow {{n^ prime }} = [ overrightarrow {BC} , vec k] = left( { left| { begin{array}{*{20}{c}}{2 sqrt 2 - 3}&0 0&1 end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2} 1&0 end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{2 sqrt 2 } 0&0 end{array}} right|} right) = (2 sqrt 2 - 3;2;0) ) có phương trình là: ((2 sqrt 2 - 3)x + 2(y - 2 sqrt 2 ) = 0{ rm{ hay }}(2 sqrt 2 - 3)x + 2y - 4 sqrt 2 = 0 ) b) Có bức tường (P) vuông góc với bức tường (Q). Bức tường (P) vuông góc với bức tường (α).

Question 9

Góc quan sát ngang của một camera là 115∘. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm $C(1;2;4)$ và chiếu thẳng về phía mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 3 = 0$. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng $(P)$ của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.)

![Góc quan sát ngang của một camera là 115 độ . Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1;2;4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid0-1754317978.png)

Accepted Answer

Chọn các điểm như hình vẽ. Gọi A là hình chiếu của C trên mặt phẳng (({ rm{P}}) ). Vi CBD là tam giác cân nên CA là đường cao, phân giác, trung tuyến của $B D$. Ta có (CA = d(C,(P)) = frac{{|1 + 2.2 + 2.4 + 3|}}{{ sqrt {1 + {2^2} + {2^2}} }} = frac{{16}}{3} ) Vì tam giác $C A B$ vuông tại A, có ACB^=115°2=57,5° Suy ra R=AB=CA⋅tan57,5°≈8,4 Vậy vùng quan sát được trên mặt phẳng (({ rm{P}}) ) của camera là hình tròn có bán kính bằng 8,4 .

Question 10

Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

![Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid2-1754318123.png)

Accepted Answer

Giả sử mái nhà của ngôi nhà được minh họa như hình vẽ trên. Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Gọi các cạnh đáy của hình chóp có độ dài là (a ), các cạnh bên có độ dài là b. Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên (OA = OB = OC = OD = frac{{AC}}{2} = frac{{a sqrt 2 }}{2} ) Vì SO là đường cao của tam giác SOC nên (SO = sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = sqrt {{b^2} - frac{{{a^2}}}{2}} = sqrt { frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ). Khi đó, ta có: O ((0;{ rm{ }}0;{ rm{ }}0) ), (A left( { - frac{{a sqrt 2 }}{2};0;0} right),C left( { frac{{a sqrt 2 }}{2};0;0} right),B left( {0; - frac{{a sqrt 2 }}{2};0} right),D left( {0; frac{{a sqrt 2 }}{2};0} right){ rm{v `a }}S left( {0;0; sqrt { frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } right) ) Ta có: ( quad overrightarrow {SC} = left( { frac{{a sqrt 2 }}{2};0; - sqrt { frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } right), quad overrightarrow {DC} = left( { frac{{a sqrt 2 }}{2}; - frac{{a sqrt 2 }}{2};0} right){ rm{, }} overrightarrow {BC} = left( { frac{{a sqrt 2 }}{2}; frac{{a sqrt 2 }}{2};0} right) ) Có: ( quad left[ { overrightarrow {SC} , frac{{ sqrt 2 }}{a} overrightarrow {DC} } right] = left( { left| { begin{array}{*{20}{c}}0&{ - sqrt { frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } { - 1}&0 end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}{ - sqrt { frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&{ frac{{a sqrt 2 }}{2}} 0&1 end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}{ frac{{a sqrt 2 }}{2}}&0 1&{ - 1} end{array}} right|} right) = left( { - sqrt { frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - sqrt { frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - frac{{a sqrt 2 }}{2}} right) ) ( left[ { overrightarrow {SC} , frac{{ sqrt 2 }}{a} overrightarrow {BC} } right] = left( { left| { begin{array}{*{20}{c}}0&{ - sqrt { frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } 1&0 end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}{ - sqrt { frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&{ frac{{a sqrt 2 }}{2}} 0&1 end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}{ frac{{a sqrt 2 }}{2}}&0 1&1 end{array}} right|} right) = left( { sqrt { frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - sqrt { frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; frac{{a sqrt 2 }}{2}} right) ) Ta có mặt phẳng (({ rm{SCD}}) ) nhận ( overrightarrow {{n_1}} = left[ { overrightarrow {SC} , frac{{ sqrt 2 }}{a} overrightarrow {DC} } right] ) làm một vectơ pháp tuyến. Mặt phẳng (SCB) nhận ( overrightarrow {{n_2}} = left[ { overrightarrow {SC} , frac{{ sqrt 2 }}{a} overrightarrow {BC} } right] ) làm một vectơ pháp tuyến. ({ rm{ vi }} overrightarrow {{n_1}} cdot overrightarrow {{n_2}} = - left( { frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} right) + left( { frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} right) - frac{{{a^2}}}{2} = - frac{{{a^2}}}{2} ne 0 ) Do đó hai mặt phẳng (SCD) và (SCB) không vuông góc với nhau. Do đó ý tưởng trên không thực hiện được.

Question 11

Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng $z - 1 = 0$, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng $x + y + 50z - 100 = 0$. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?

Accepted Answer

Sàn nhà và trần tầng 1

Question 12

Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí P) một lực $\vec F$ thì moment lực $\vec M$ được tính bởi công thức $\vec M = [\overrightarrow {OP} ,\vec F]$ (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực $\vec F$ có giá song song với AB. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực $\vec M$ có phương thẳng đứng?

![Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid4-1754318236.png)

Accepted Answer

Vì các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang và vectơ lực ( vec F ) có giá song song với $A B$ nên giá của vectơ ( overrightarrow {OP} ) và ( vec F ) có phương nằm ngang. Mặt khác ( vec M = [ overrightarrow {OP} , vec F] ) nên moment lực ( vec M ) vuông góc với hai vectơ và ( vec F ) Do đó giá của vectơ moment lực ( vec M ) có phương thẳng đứng.

Question 13

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ( đơn vị trên trục tọa độ là kiloomet), một máy bay đang ở vị trí A(3; -2,5; 0,5) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3; 7,5; 0) trên đường băng như hình bên dưới

![Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ( đơn vị trên trục tọa độ là kiloomet), một máy bay đang ở vị trí A(3; -2,5; 0,5) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3; 7,5; 0) trên đường băng như hình bên dưới (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid5-1754325136.png)

a) Sau bao nhiêu phút máy bay từ vị trí A hạ cánh tại vị trí B? Biết tọa độ của máy bay là 300 km/h trên quãng đường AB (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của phút)

b) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua ba điểm $M(9;0;0)$, $N(0; - 9;0)$, $P(0;0;0,9)$. Tính độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.

Accepted Answer

a) Ta có: (AB = sqrt {{{(3 - 3)}^2} + {{(7,5 + 2,5)}^2} + {{(0 - 0,5)}^2}} = sqrt {100,25} ( ;{ rm{km}}) ). Do đó, thời gian để máy bay từ vị trí (A ) hạ cánh tại vị trí (B ) là: ( frac{{ sqrt {100,25} }}{{300}}(h) = frac{{ sqrt {100,25} }}{{300}},60{ rm{ (phút }} = frac{{ sqrt {100,25} }}{5}{ rm{ (phút) }} = sqrt {4,01} { rm{ (ph 'u t) }} approx 2{ rm{ (ph 'u t)}}{ rm{. }} ) b) Giả sử điểm (C left( {{x_C};{y_C};{z_C}} right) ) là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh, suy ra (C in ( alpha ) ). Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta thấy mặt phẳng (( alpha ) ) có phương trình là: ( frac{x}{9} - frac{y}{9} + frac{z}{{0.9}} = 1 Leftrightarrow x - y + 10z = 9.{ rm{ Suy ra }}{x_C} - {y_C} + 10{z_C} = 9.{ rm{ }} ) Mặt khác, vì ( overrightarrow {AC} , overrightarrow {AB} ) là hai vectơ cùng hưông nên tồn tại số thực (t > 0 ) sao cho ( overrightarrow {AC} = t overrightarrow {AB} ). Do ( begin{array}{l} overrightarrow {AC} = left( {{x_C} - 3;{y_C} + 2,5;{z_C} - 0,5} right); overrightarrow {AB} = (3 - 3;7,5 + 2,5;0 - 0,5) = (0;10; - 0,5){ rm{ }} { rm{nên }} left { { begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} - 3 = 0t} {{y_C} + 2,5 = 10t} {{z_C} - 0,5 = - 0,5t} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 3} {{y_C} = 10t - 2,5} {{z_C} = - 0,5t + 0,5.} end{array}} right.} right. end{array} ) Vî (C in ( alpha ) ) nên (3 - (10t - 2,5) + 10( - 0,5t + 0,5) = 9 Leftrightarrow t = 0,1 ). Suy ra (C(3; - 1,5;0,45) ). Vậy tại vị trí (C ), độ cao của máy bay là (0,45 ;{ rm{km}} ).

Question 14

Hình vẽ dưới đây minh hoạ hình ảnh một toà nhà trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Biết $A(50;0;0),D(0;20;0),B(4k;3k;2k)$ với $k > 0$ và mặt phẳng $(CBEF)$ có phương trình là $z = 3$.

![Hình vẽ dưới đây minh hoạ hình ảnh một toà nhà trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Biết A(50;0;0),D(0;20;0),B(4k;3k;2k (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid6-1754325235.png)

a) Tìm tọa độ của điểm $B$.

b) Lập phương trình mặt phẳng $(AOBC)$.

c) Lập phương trình mặt phẳng ( $DOBE)$.

d) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng $(AOBC)$ và $(DOBE)$.

Accepted Answer

a) Vì (B(4k;3k;2k) ) thuộc mặt phẳng ((CBEF):z = 3 ) nên (2k = 3 ), suy ra (k = frac{3}{2} ). Vậy (B left( {6; frac{9}{2};3} right) ). b) Ta có: ( overrightarrow {OA} = (50;0;0), overrightarrow {OB} = left( {6; frac{9}{2};3} right) ) nên ([ overrightarrow {OA} , overrightarrow {OB} ] = left( { left| { begin{array}{*{20}{c}}0&0 { frac{9}{2}}&3 end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}0&{50} 3&6 end{array}} right|;{ mkern 1mu} left| { begin{array}{*{20}{c}}{50}&0 6&{ frac{9}{2}} end{array}} right|} right) = (0; - 150;225). ) Suy ra ( vec n = (0; - 2;3) ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ((AOBC) ). Vậy phương trình mặt phẳng ((AOBC) ) là: (0 cdot (x - 0) + ( - 2) cdot (y - 0) + 3 cdot (z - 0) = 0 Leftrightarrow 2y - 3z = 0. ) c) Ta có: ( overrightarrow {OD} = (0;20;0), overrightarrow {OB} = left( {6; frac{9}{2};3} right) ) nên ([ overrightarrow {OD} , overrightarrow {OB} ] = left( { left| { begin{array}{*{20}{c}}{20}&0 { frac{9}{2}}&3 end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{l}}0&0 3&6 end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}0&{20} 6&{ frac{9}{2}} end{array}} right|} right) = (60;0; - 120){ rm{. }} ) Suy ra ( vec u = (1;0; - 2) ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ((DOBE) ). Vậy phương trình mặt phẳng ((DOBE) ) là: (1 cdot (x - 0) + 0 cdot (y - 0) + ( - 2) cdot (z - 0) = 0 Leftrightarrow x - 2z = 0. ) d) Một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng ((AOBC) ) và ((DOBE) ) lần lượt là: ( vec p = (0;2; - 3) ) và ( vec q = ( - 1;0;2) ).

Question 15

Hình vẽ minh hoạ một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mặt cắt bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm$A(2;1;3),B(4;3;3)$, $C(6;3;2,5),D(4;0;2,8)$.

![Hình vẽ minh hoạ một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mặt cắt bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid7-1754325317.png)

a) Lập phương trình mặt phẳng $(ABC)$.

b) Bốn điểm A, B, C, Dcó đồng phẳng hay không?

Accepted Answer

a) Ta có: ( overrightarrow {AB} = (2;2;0), overrightarrow {AC} = (4;2; - 0,5) ) nên ([ overrightarrow {AB} , overrightarrow {AC} ] = left( { left| { begin{array}{*{20}{c}}2&0 2&{ - 0,5} end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}0&2 { - 0,5}&4 end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{l}}2&2 4&2 end{array}} right|} right) = ( - 1;1; - 4) ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ((ABC) ). Vậy phương trình mặt phẳng ((ABC) ) là: (( - 1) cdot (x - 2) + 1 cdot (y - 1) + ( - 4) cdot (z - 3) = 0 Leftrightarrow x - y + 4z - 13 = 0.{ rm{ }} ) b) Vì (4 - 0 + 4 cdot 2,8 - 13 = 2,2 ne 0 ) nên điểm (D(4;0;2,8) ) không thuộc mặt phẳng ((ABC) ). Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

15 bài tập Một số bài toán liên quan thực tế (có lời giải)

Xem trước câu hỏi