18 bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (có lời giải)

Question 1

Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc $\overrightarrow v $= (10; 8; –3). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu của vùng biển là $\overrightarrow w $ = (3,5; 1; 0).

![Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc v = (10; 8; –3) (Hình vẽ). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu của vùng biển W](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid0-1753862377.png)

a) Tìm toạ độ của vectơ tổng hai vận tốc $\overrightarrow v $ và $\overrightarrow w $.

b) Giả sử thiết bị thăm dò lặn với vận tốc $\overrightarrow u $= (7; 2; 0), hãy nêu nhận xét về vectơ vận tốc của nó so với vectơ vận tốc của dòng hải lưu.

Accepted Answer

a) $\overrightarrow v + \overrightarrow w = (13,5; 9; -3)$. b) $\overrightarrow u = 2\overrightarrow w$, nên hai vectơ cùng phương và cùng hướng.

Question 2

Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình vẽ bên dưới) được đẩy bởi một lực $\overrightarrow f $ = (5; 4; –2) (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời $\overrightarrow a $= (70; 20; – 40) (đơn vị: m).Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow f $ .

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/a-1753862452.png)

Accepted Answer

Công sinh bởi lực được ( vec f ) tính theo công thức: (A = vec f cdot vec a = 5 cdot 70 + 4 cdot 20 + ( - 2) cdot ( - 40) = 510 ;{ rm{J}} )

Question 3

Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt S(0; 0; 20) và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là A(20; 0; 0), B(0; 20; 0), C(–20; 0; 0), D(0; –20; 0) (đơn vị cm). Cho biết trọng lực tác dụng lên chậu cây có độ lớn 40 N và được phân bố thành bốn lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} $ có độ lớn bằng nhau như Hình 4. Tìm toạ độ của các lực nói trên (mỗi centimét biểu diễn 1 N).

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/a1-1753862588.png)

Accepted Answer

Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình vuông. Ta có [ overrightarrow {SA} ] = (20; 0; –20), [ overrightarrow {SB} ] = (0; 20; –20), [ overrightarrow {SC} ] = (–20; 0; –20), [ overrightarrow {SD} ] = (0; –20; –20), suy ra SA = SB = SC = SD = [20 sqrt 2 ]. Do đó S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. Các vectơ [ overrightarrow {{F_1}} , overrightarrow {{F_2}} , overrightarrow {{F_3}} , overrightarrow {{F_4}} ]có điểm đầu tại S và điểm cuối lần lượt là A′, B′, C′, D′. Ta có SA′ = SB′ = SC′ = SD′ nên S.A′B′C′D′ cũng là hình chóp tứ giác đều. Gọi F→ là trọng lực tác dụng lên chậu cây và O′ là tâm của hình vuông A′B′C′D′. Ta có: [ overrightarrow F = overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} + overrightarrow {{F_4}} = overrightarrow {SA'} + overrightarrow {SB'} + overrightarrow {SC'} + overrightarrow {SD'} = 4 overrightarrow {SO'} ] Ta có [ left| { overrightarrow F } right| ] = 40, suy ra [ left| { overrightarrow {SO'} } right|{ rm{ = }}SO' = 10 ]. Do tam giác SO′A′ vuông cân nên [SA' = SO'. sqrt 2 = 10 sqrt 2 = frac{1}{2}SA ], suy ra [ overrightarrow {{F_1}} = overrightarrow {SA'} = frac{1}{2} overrightarrow {SA} = (10;0; - 10) ] Chứng minh tương tự, ta cũng có: [ overrightarrow {{F_2}} = frac{1}{2} overrightarrow {SB} = (0;10; - 10) ]; [ overrightarrow {{F_3}} = frac{1}{2} overrightarrow {SC} = ( - 10;0; - 10) ]; [ overrightarrow {{F_4}} = frac{1}{2} overrightarrow {SD} = (0; - 10; - 10) ].

Question 4

Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz, một đội gồm ba drone giao hàng A, B, C đang có toạ độ là A(1; 1; 1), B(5; 7; 9), C(9; 11 ; 4). Tính:

a) Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng.

b) Góc BAC.

Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz, một đội gồm ba drone giao hàng A, B, C (ảnh 1)

a) Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng.

b) Góc BAC.

![Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz, một đội gồm ba drone giao hàng A, B, C (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid1-1753862638.png)

Accepted Answer

a) Ta có ( overrightarrow {AB} = (4;6;8); overrightarrow {AC} = (8;10;3); overrightarrow {BC} = (4;4; - 5) ). Khi đó: (| overrightarrow {AB} | = sqrt {{4^2} + {6^2} + {8^2}} = 2 sqrt {29} ); (| overrightarrow {AC} | = sqrt {{8^2} + {{10}^2} + {3^2}} = sqrt {173} ;{ rm{ }} overrightarrow {BC} = sqrt {{4^2} + {4^2} + {{( - 5)}^2}} = sqrt {57} ) b) Ta có cosBAC=AB→⋅AC→|AB→|⋅AC→∣=4.8+6.10+8.3229⋅173=11925017⇒BAC≈35°2

Question 5

Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow F $ = (20; 30; –10) (đơn vị: N) tạo bởi một drone giao hàng (Hình 7) khi thực hiện một độ dịch chuyển $\overrightarrow d $ = (150; 200; 100) (đơn vị: m).

![Tính công sinh bởi lực F = (20; 30; –10) (đơn vị: N) tạo bởi một drone giao hàng (Hình 7) khi thực hiện một độ dịch chuyển (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid2-1753862723.png)

Accepted Answer

Công sinh bới lực ( vec F ) là (A = vec F cdot vec d = 20.150 + 30.200 + ( - 10) cdot 100 = 8000 ;{ rm{J}} ).

Question 6

Cho biết máy bay A đang bay với vectơ vận tốc $\overrightarrow a $ = (300; 200; 400) (đơn vị: km/h). Máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ gấp ba lần tốc độ của máy bay A.

a) Tìm toạ độ vectơ vận tốc $\overrightarrow b $ của máy bay B.

b) Tính tốc độ của máy bay B.

Cho biết máy bay A đang bay với vectơ vận tốc a = (300; 200; 400) (đơn vị: km/h). Máy bay B bay cùng hướng (ảnh 1)

a) Tìm toạ độ vectơ vận tốc $\overrightarrow b $ của máy bay B.

b) Tính tốc độ của máy bay B.

![Cho biết máy bay A đang bay với vectơ vận tốc a = (300; 200; 400) (đơn vị: km/h). Máy bay B bay cùng hướng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid3-1753862804.png)

Accepted Answer

a) Có ( vec b = 3 vec a = (900;600;1200) ). b) Tốc độ của máy bay B là: (| vec b| = sqrt {{{900}^2} + {{600}^2} + {{1200}^2}} approx 1615,55 ;{ rm{km}}/{ rm{h}} )

Question 7

Trong Vật lí, ta biết rằng nếu lực $\overrightarrow F $ tác động vào một vật và làm vật dịch chuyển theo đoạn thẳng từ M đến N, thì công A sinh bởi lực $\overrightarrow F $ được tính bằng công thức $A = \overrightarrow F .\overrightarrow {MN} $. Một người tác động một lực không đổi $\overrightarrow F = (2;3; - 1)$ vào một vật đang ở gốc tọa độ O và làm cho vật dịch chuyển thẳng từ O đến M(1;2;1). Biết lực tính bằng newton (N) và đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét, hãy tính công A (đơn vị: J) sinh ra bởi lực $\overrightarrow F $ trong tình huống nêu trên.

Accepted Answer

Theo bài toán nêu ở phần Khởi động thì trong không gian Oxyz, một người đã tác động một lực không đổi [ overrightarrow F = (2;3; - 1) ] vào một vật đang ở gốc toạ độ O và làm cho vật dịch chuyển thẳng từ O đến điểm M(1; 2; 1). Ta có [ overrightarrow {OM} = (1;2;1) ]. Từ đó ta tính được công sinh ra bởi lực [ overrightarrow F ] là: [A = overrightarrow F . overrightarrow {MN} ] = 2.1 + 3.2 + (−1).1 = 7. Như vậy công sinh ra bởi lực [ overrightarrow F ] trong tình huống này là A = 7 (J).

Question 8

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía nam và 1 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt dát 0,8 km. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.50), đơn vị đo lấy theo kilômét.

a) Tìm toạ độ của mỗi chiếc khinh khí cầu đối với hệ toạ độ đã chọn.

b) Xác định khoảng cách giữa hai khinh khí cầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

c) Khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai xa điểm xuất phát hơn? Vì sao?

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/screenshot-1753863036-1753862979.png)

a) Tìm toạ độ của mỗi chiếc khinh khí cầu đối với hệ toạ độ đã chọn.

b) Xác định khoảng cách giữa hai khinh khí cầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

c) Khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai xa điểm xuất phát hơn? Vì sao?

Accepted Answer

a) Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai có tọa độ lần lượt là: (2; 1; 0,5) và (-1; -1,5; 0,8) b) Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là: [ sqrt {{{( - 1 - 2)}^2} + {{( - 1,5 - 1)}^2} + {{(0,8 - 0,5)}^2}} = sqrt {15,34} approx 3,92{ rm{ (km)}} ] c) Ta có, khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là ({ rm{A}}(2;1;0,5) ), khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (B( - 1; - 1,5;0,8) ). Ta có: (OA = sqrt {{2^2} + {1^2} + {{0,5}^2}} = frac{{ sqrt {21} }}{2} ;{ rm{km}},OB = sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 1,5)}^2} + {{0,8}^2}} = frac{{ sqrt {389} }}{{10}} ;{ rm{km}} ). Vì gốc ({ rm{O}} ) đặt tại điểm xuất phát và (OA > OB ) nên khinh khí cầu thứ hai gần điểm xuất phát hơn.

Question 9

Hình 37 minh hoạ sơ đồ một ngôi nhà trong hệ trục toạ độ Oxyz, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

a) Tìm toạ độ của các điểm A, H và F.

b) Tính góc dốc của mái nhà, tức là tìm số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng FG, hai mặt lần lượt là (FGQP) và (FGHE) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ).

![Hình 37 minh hoạ sơ đồ một ngôi nhà trong hệ trục toạ độ Oxyz, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid4-1753863088.png)

Accepted Answer

a) Vì nền nhà là hình chữ nhật nên tứ giác OABC là hình chữ nhật, suy ra [{x_A} = {x_B} = 4;{y_C} = {y_B} = 5 ]. Do A nằm trên trục Ox nên toạ độ điểm A là (4 ; 0 ; 0). Tường nhà là hình chữ nhật nên tứ giác OCHE là hình chữ nhật, suy ra [{y_H} = {y_C} = 5;{z_H} = {z_E} = 3 ]. Do H nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên toạ độ điểm H là (0 ; 5 ; 3). Tứ giác OAFE là hình chữ nhật nên [{x_F} = {x_A} = 4;{z_F} = {z_E} = 3 ]. Do F nằm mặt phẳng (Ozx) nên toạ độ điểm (4;0;3). b) Để tính góc dốc của mái nhà, ta đi tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng FG, hai mặt lần lượt là (FGQP) và (FGHE). Do mặt phẳng (Ozx) vuông góc với hai mặt phẳng (FGQP) và (FGHE) nên góc PFE là góc phẳng nhị diện ứng với góc nhị diện đó. Ta có: [ overrightarrow {FP} ] =(-2;0;1), [ overrightarrow {FE} ]=(-4;0;0). Suy ra [ cos widehat {PFE} = cos ( overrightarrow {FP} , overrightarrow {FE} ) = frac{{ overrightarrow {FP} . overrightarrow {FE} }}{{ left| { overrightarrow {FP} } right|. left| { overrightarrow {FE} } right|}} = frac{{ - 2.( - 4) + 0.0 + 1.0}}{{ sqrt {{{( - 2)}^2} + {0^2} + {1^2}} . sqrt {{{( - 4)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = frac{{2 sqrt 5 }}{5} ] Do đó, [ widehat {PFE} approx {26,6^o} ]. Vậy góc dốc của mái nhà khoảng [{26,6^o} ]

Question 10

Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(800; 500; 7) đến điểm B (940; 550; 8) trong 10 phút.

a) Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì?

b) Xác định tọa độ của chiếc máy bay sau 10 phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay đang ở điểm B)

![Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid5-1753863478.png)

Accepted Answer

a) Gọi C(x; y, z) là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên [ overrightarrow {AB} ] và [ overrightarrow {BC} ] cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B gấp đôi thời gian bay từ B đến C nên AB = 2BC. Do đó [ overrightarrow {BC} = frac{1}{2} overrightarrow {AB} = left( { frac{{940 - 800}}{2}; frac{{550 - 500}}{2}; frac{{8 - 7}}{2}} right) = (70;25;0,5) ] Mặt khác, [ overrightarrow {BC} ] =(x – 940; y –550; z –8) nên [ left { begin{array}{l}x - 940 = 70 y - 550 = 25 z - 8 = 0,5 end{array} right. ]. Từ đó [ left { begin{array}{l}x = 1010 y = 575 z = 8,5 end{array} right. ] Vậy tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là (1010; 575; 8,5). b) Gọi ({ rm{D}}({ rm{x}};{ rm{y}};{ rm{z}}) ) là vị trí của máy bay sau 10 phút bay tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm ({ rm{B}} ) ). Vì hướng của máy bay không đổi nên ( overrightarrow {AB} ) và ( overrightarrow {BD} ) cùng hướng. Do vận tốc máy bay không đối và thời gian bay từ ({ rm{A}} ) đến ({ rm{B}} ) bằng thời gian bay từ ({ rm{B}} ) đến ({ rm{D}} ) nên (AB = BD ). Do đó, ( overrightarrow {BD} = overrightarrow {AB} = (140;50;1) ). Mặt khác: ( overrightarrow {BD} = (x - 940;y - 550;z - 8) ) nên ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{x - 940 = 140} {y - 550 = 50} {z - 8 = 1} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = 1080} {y = 600} {z = 9} end{array}} right.} right. ) Vậy ({ rm{D}}(1080;600;9) ). Vậy tọa độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là ((1080;600;9) ).

Question 11

Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0 ; 0 ; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là ${Q_1}(0; - 1;0);{Q_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2};0} \right);{Q_3}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2};0} \right)$ (Hình 35). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N. Em hãy tìm toạ độ của các lực ${\overrightarrow F _1},{\rm{ }}\overrightarrow {{F_2}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {{F_3}} $ tác dụng lên giá đỡ?

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/screenshot-1753863656-1753863594.png)

Accepted Answer

Theo giả thiết, ta có [ overrightarrow {P{Q_1}} = left( {0; - 1; - 4} right); overrightarrow {P{Q_2}} = left( { frac{{ sqrt 3 }}{2}; frac{1}{2}; - 4} right); overrightarrow {P{Q_3}} = left( { - frac{{ sqrt 3 }}{2}; frac{1}{2}; - 4} right) ] Suy ra: [ left| { overrightarrow {P{Q_1}} } right| = left| { overrightarrow {P{Q_2}} } right| = left| { overrightarrow {P{Q_3}} } right| = 17 ]. Do đó [ left| { overrightarrow {{F_1}} } right| = left| { overrightarrow {{F_2}} } right| = left| { overrightarrow {{F_3}} } right| ]. Vì vậy, tồn tại hằng số [c ne 0 ] sao cho: [ overrightarrow {{F_1}} = c overrightarrow {P{Q_1}} = left( {0; - c; - 4c} right); overrightarrow {{F_2}} = c overrightarrow {P{Q_2}} = left( { frac{{ sqrt 3 }}{2}c; frac{1}{2}c; - 4c} right); overrightarrow {{F_3}} = c overrightarrow {P{Q_3}} = left( { - frac{{ sqrt 3 }}{2}c; frac{1}{2}c; - 4c} right) ] [ Rightarrow overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} = left( {0;0; - 12c} right) ]. Mặt khác, ta có [ overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} = overrightarrow F ], trong đó [ overrightarrow F = left( {0;0; - 360} right) ] là trọng lực tác dụng lên máy quay. Suy ra – 12c = -360, tức là c = 30. Vậy: [ overrightarrow {{F_1}} = left( {0; - 30; - 120} right); overrightarrow {{F_2}} = left( {15 sqrt 3 ;15; - 120} right); overrightarrow {{F_3}} = left( { - 15 sqrt 3 ;15; - 120} right) ]

Question 12

Những căn nhà gỗ trong Hình 2.47a được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác OAB.O'A'B' như trong Hình 2.47b. Với hệ trục toạ độ Oxyz thể hiện như Hình 2.47b (đơn vị đo lấy theo centimét), hai điểm A' và B' có toạ độ lần lượt là (240; 450; 0) và (120; 450; 300). Từ những thông tin trên, hãy tính kích thước chiều dài, chiều rộng và cạnh bên mặt tiền và góc$\alpha $ của những căn nhà gỗ đó?

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/screenshot-1753863739-1753863677.png)

Accepted Answer

Vì điểm ({A^ prime } ) có toạ độ là ((240;450;0) ) nên khoảng cách từ ({A^ prime } ) đến các trục Ox, Oy lần lượt là (450 ;{ rm{cm}} ) và (240 ;{ rm{cm}} ). Suy ra ({A^ prime }A = 450 ;{ rm{cm}} ) và ({A^ prime }{O^ prime } = 240 ;{ rm{cm}} ). Từ giả thiết suy ra ( overline {{A^ prime }{B^ prime }} = ( - 120;0;300) ), do đó ({A^ prime }{B^ prime } = left| { overrightarrow {{A^ prime }{B^ prime }} } right| = sqrt {{{( - 120)}^2} + {0^2} + {{300}^2}} = 60 sqrt {29} approx 323( ;{ rm{cm}}) ). Vì ({O^ prime }O = {A^ prime }A = 450 ;{ rm{cm}} ) và ({O^ prime } ) nằm trên trục (O ) nên toạ độ của điểm ({O^ prime } ) là ((0;450;0) ). Do đó ( overline {{O^ prime }{B^ prime }} = (120;0;300) ) và ({O^ prime }{B^ prime } = left| { overline {{O^ prime }{B^ prime }} } right| = sqrt {{{120}^2} + {0^2} + {{300}^2}} = 60 sqrt {29} approx 323( ;{ rm{cm}}) ). Vậy mỗi căn nhà gỗ có chiều dài là (450 ;{ rm{cm}} ), chiều rộng là (240 ;{ rm{cm}} ), mỗi cạnh bên của mặt tiền có độ dài là (323 ;{ rm{cm}} ). Tính góc ( alpha ) Ta có: ( overline {{A^ prime }{B^ prime }} = ( - 120;0;300); left| { overrightarrow {{A^ prime }{B^ prime }} } right| = 60 sqrt {29} ;{ rm{cm}},{O^ prime }(0;450;0),{A^ prime }(240;450;0) ) Do đó, ( overrightarrow {{A^ prime }{O^ prime }} = ( - 240;0;0) Rightarrow left| { overrightarrow {{A^ prime }{O^ prime }} } right| = 240 ;{ rm{cm}} ) Ta có: cosA'B'¯;A'O'¯=A'B'¯⋅A'O'→A'B'→⋅A'O'→∣=(−120)(−240)+0.0+300.06029.240=22929 ⇒B'A'O'≈68°. Vậy α≈68°

Question 13

Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó. Một phân tử metan CH4 được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện. Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết H–C–H là góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen. Chứng minh rằng góc liên kết này gần bằng 109,5o.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/aaa-1753863787.png)

Accepted Answer

Gọi G là trọng tâm của tứ diện đều ({ rm{ABCD}} ). Đặt ( vec a = overrightarrow {GA} , vec b = overrightarrow {GB} , vec c = overrightarrow {GC} , vec d = overrightarrow {GD} ) Ta có (| vec a| = | vec b| = | vec c| = | vec d| ) va` ( vec a cdot vec b = vec a cdot vec c = vec a cdot vec d = vec b cdot vec c = vec b cdot vec d = vec c cdot vec d ) Ta có ( vec a + vec b + vec c + vec d = overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = vec 0 ) [ begin{array}{l} Rightarrow { left( { overrightarrow a + overrightarrow b + overrightarrow c + overrightarrow d } right)^2} = 0 Rightarrow { overrightarrow a ^2} + { overrightarrow b ^2} + { overrightarrow c ^2} + { overrightarrow d ^2} + 2 overrightarrow a . overrightarrow b + 2 overrightarrow a . overrightarrow c + 2 overrightarrow a . overrightarrow d + 2 overrightarrow b . overrightarrow c + 2 overrightarrow b . overrightarrow d + 2 overrightarrow c . overrightarrow d = 0 Rightarrow 4{ overrightarrow a ^2} + 12 overrightarrow a . overrightarrow b = 0 Rightarrow frac{{ overrightarrow a . overrightarrow b }}{{{{ overrightarrow a }^2}}} = - frac{1}{3}hay frac{{ overrightarrow a . overrightarrow b }}{{ left| { overrightarrow a } right|. left| { overrightarrow b } right|}} = - frac{1}{3} Rightarrow cos left( { overrightarrow a ; overrightarrow b } right) = - frac{1}{3} Rightarrow left( { overrightarrow a ; overrightarrow b } right) approx 109,5 end{array} ] Vậy góc liên kết gần bằng 109,5

Question 14

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm 0 trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho tam giác ABC đều (Hình 38). Độ dài của ba đoạn dây OA, OB, OC đều bằng L. Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 in (1 inch = 2,54 cm). Gọi F là độ lớn của các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {{F_3}} $ trên mỗi sợi dây. Khi đó, F = F(L) là một hàm số với biến số là L.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/a2-1753863957.png)

a) Xác định công thức tính hàm số F = F(L).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số F = F(L).

c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.

Accepted Answer

a) Ta có (18{ rm{in}} = 45,72 ;{ rm{cm}} = 0,4572 ;{ rm{m}} ). Gọi ({ rm{G}} ) là trọng tâm tam giác ({ rm{ABC}} ). Vì tam giác ABC đều nên ({ rm{G}} ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ({ rm{ABC}} ). Do đó, ({ rm{GA}} = { rm{GB}} = { rm{GC}} = 0,4572 ;{ rm{m}} ). Theo bài ra ta có ({ rm{OA}} = { rm{OB}} = { rm{OC}} = { rm{L}} ) nên ({ rm{OG}} bot ({ rm{ABC}}) ) và (| overrightarrow {{ rm{OA}}} | = | overrightarrow {{ rm{OB}}} | = | overrightarrow {{ rm{OC}}} | = { rm{L}} ). Do đó, ( left| {{{ vec F}_1}} right| = left| {{{ vec F}_2}} right| = left| {{{ vec F}_3}} right| ). Vì vậy, tồn tại hẳng số (c ne 0 ) sao cho: ( overrightarrow {{F_1}} = c overrightarrow {OA} ; overrightarrow {{F_2}} = c overrightarrow {OB} ; overrightarrow {{F_3}} = c overrightarrow {OC} ). Suy ra ({ vec F_1} + { vec F_2} + { vec F_3} = c( overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} ) ). Theo quy tắc ba điểm ta có ( overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} = ( overrightarrow {OG} + overrightarrow {GA} ) + ( overrightarrow {OG} + overrightarrow {GB} ) + ( overrightarrow {OG} + overrightarrow {GC} ) = 3 overrightarrow {OG} + ( overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} ) = 3 overrightarrow {OG} ) ( do G là trọng tâm của tam giác ABC nên ( overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} = vec 0 ) ). Do đó, ( overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} = 3 overrightarrow {{ rm{OG}}} ). Mặt khác ta lại có ({ vec F_1} + { vec F_2} + overrightarrow {{F_3}} = vec P ), với ( vec P ) là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn. Mà trọng lượng tác dụng lên chiếc đèn là (24 ;{ rm{N}} ) nên (| vec P| = 24 ;{ rm{N}} ). Từ đó suy ra (3{ rm{c}}| overline {{ rm{OG}}} | = 24 ), tức là ({ rm{c}} = frac{8}{{| overrightarrow {{ rm{OG}}} |}} ) Tam giác ({ rm{OAG}} ) vuông tại ({ rm{G}} ) (do (OG bot (ABC) ) ) nên ta suy ra: (OG = sqrt {O{A^2} - G{A^2}} = sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}} ( ;{ rm{m}}){ rm{ v?i L}} > 0,4572.{ rm{ }} ) Do đó, (| overrightarrow {{ rm{OG}}} | = sqrt {{{ rm{L}}^2} - {{0,4572}^2}} ), suy ra ({ rm{c}} = frac{8}{{ sqrt {{{ rm{L}}^2} - {{0,4572}^2}} }} ). Khi đó, ({ rm{F}} = left| {{{ rm{F}}_1}} right| = { rm{c}}| overrightarrow {{ rm{OA}}} | = frac{{8 ;{ rm{L}}}}{{ sqrt {{{ rm{L}}^2} - {{0,4572}^2}} }} ). Vậy (F = F(L) = frac{{8L}}{{ sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}} }} ) vởi ({ rm{L}} > 0,4572 ). b) Xét hàm số (F = F(L) = frac{{8L}}{{ sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}} }} ) với (L in (0,4572; + infty ) ). Tạp xác định: ({ rm{D}} = (0,4572; + infty ) ). Sự biến thiên Giới hạn tại vô cực giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: ( mathop { lim } limits_{L to infty } F(L) = mathop { lim } limits_{L to + infty } frac{{8 ;{ rm{L}}}}{{ sqrt {{{ rm{L}}^2} - {{0,4572}^2}} }} = mathop { lim } limits_{L to + infty } frac{8}{{ sqrt {1 - frac{{{{0,4572}^2}}}{{ ;{{ rm{L}}^2}}}} }} = 8 ). Do đó, dường thắng ({ rm{F}} = 8 ) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. ( mathop { lim } limits_{{ rm{L}} to 0,4577} ;{ rm{F}}( ;{ rm{L}}) = + infty ). Do đó, đường thắng ({ rm{L}} = 0,4572 ) là tiệm cận dứng của đồ thị hàm số. Đạo hàm ({F^ prime }(L) = frac{{ - 8 - {{0,4572}^2}}}{{ left( {{L^2} - {{0,4572}^2}} right) sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}} }} < 0 ) với mọi ({ rm{L}} in (0,4572; + infty ) ). Bảng biến thiên: Hàm số nghịch bién trên khoảng ((0,4572; + infty ) ). Hàm số không có cực trị. Đồ thị hàm số được vẽ như hình dưới đây: c) Ta có lực căng tối đa của mỗi sợi dây là (10 ;{ rm{N}} ). Với (F(L) = 10 ), ta có ( frac{{8L}}{{ sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}} }} = 10 ). Từ đó suy ra (5 sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}} = 4L Leftrightarrow 25{L^2} - 5,255796 = 16{L^2} Rightarrow { rm{L}} = 0,762 in (0,4572; + infty ).{ rm{ }} ) Vậy chiều dài tối thiếu của mỗi sợi dây là (L = 0,762 ;{ rm{m}} = 76,2 ;{ rm{cm}} = 30 ) in.

Question 15

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt E(0 ; 0 ; 6) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là ${A_1}\left( {0;1;0} \right);{A_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2};0} \right);{A_3}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2};0} \right)$ (Hình 40). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 300 N. Tìm toạ độ của các lực tác dụng lên giá đỡ $\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {{F_3}} $.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/12-1753864047.png)

Accepted Answer

Theo giả thiết, ta có các diếm ({ rm{E}}(0;0;6),{{ rm{A}}_1}(0;1;0),{A_2} left( { frac{{ sqrt 3 }}{2}; - frac{1}{2};0} right),{A_3} left( { - frac{{ sqrt 3 }}{2}; - frac{1}{2};0} right) ). Suy ra ( overline {{ rm{E}}{{ rm{A}}_1}} = (0 - 0;1 - 0;0 - 6) ) hay ( overrightarrow {{ rm{E}}{{ rm{A}}_1}} = (0;1; - 6) ); ( overrightarrow {{ rm{E}}{{ rm{A}}_2}} = left( { frac{{ sqrt 3 }}{2} - 0; - frac{1}{2} - 0;0 - 6} right){ rm{ hay }} overrightarrow {{ rm{E}}{{ rm{A}}_2}} = left( { frac{{ sqrt 3 }}{2}; - frac{1}{2}; - 6} right); ) ({ rm{ }} overrightarrow {{ rm{E}}{{ rm{A}}_3}} = left( { - frac{{ sqrt 3 }}{2} - 0; - frac{1}{2} - 0;0 - 6} right){ rm{ hay }} overrightarrow {{ rm{E}}{{ rm{A}}_3}} = left( { - frac{{ sqrt 3 }}{2}; - frac{1}{2}; - 6} right). ) Vî vậy, tồn tại hằng số ({ rm{c}} ne 0 ) sao cho: ( overrightarrow {{F_1}} = overrightarrow {E{A_1}} = (0;c; - 6c); overrightarrow {{F_2}} = overrightarrow {E{A_2}} = left( { frac{{ sqrt 3 }}{2}c; - frac{1}{2}c; - 6c} right); overrightarrow {{F_3}} = c overrightarrow {E{A_3}} = left( { - frac{{ sqrt 3 }}{2}c; - frac{1}{2}c; - 6c} right). ) Suy ra ({ vec F_1} + { vec F_2} + { vec F_3} = (0;0; - 18c) ). Mặt khác, ta có: ( overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} = vec F ), trong đó ( vec F = (0;0; - 300) ) là trọng lực tác dụng lên máy quay. Suy ra (18{ rm{c}} = - 300 ), tức là ({ rm{c}} = frac{{50}}{3} ). Vậy: ({ vec F_1} = left( {0; frac{{50}}{3}; - 100} right); overrightarrow {{F_2}} = left( { frac{{25 sqrt 3 }}{3}; frac{{ - 25}}{3}; - 100} right);{ vec F_3} = left( { frac{{ - 25 sqrt 3 }}{3}; frac{{ - 25}}{3}; - 100} right) )

Question 16

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H.2.51). Hãy tìm toạ độ của điểm treo đèn.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/13-1753864112.png)

Accepted Answer

Giả sử căn phòng hình hộp chữ nhật được mô phỏng như hình vẽ. Khi đó ta có ({{ rm{B}}^ prime }(6;8;3) ) và ({O^ prime }(0;0;3) ). Gọi ({ rm{I}} ) là điềm chính giữa trần nhà của phòng học. Vì ({{ rm{O}}^ prime }{{ rm{A}}^ prime }{{ rm{B}}^ prime }{{ rm{C}}^ prime } ) là hình chữ nhật nên ({ rm{I}} ) là trung diếm của ({{ rm{O}}^ prime }{{ rm{B}}^ prime } ). Do đó ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{{x_I} = frac{{6 + 0}}{2}} {{y_I} = frac{{8 + 0}}{2}} {{z_I} = frac{{3 + 3}}{2}} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{{x_I} = 3} {{y_I} = 4} {{z_I} = 3} end{array}} right.} right. ). Vậy tọa độ điếm treo đèn là ((3;4;3) ).

Question 17

Trong không gian, xét hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.52). Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo kilômét. Một chiếc ra đã đặt tại giản khoan có phạm vi theo dõi là 30 km. Hỏi ra đa có thể phát hiện được một chiếc tàu thảm hiểm có toạ độ là (25; 15; −10) đối với hệ toạ độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/14-1753864190.png)

Accepted Answer

Đế xác định xem ra đa có thể phát hiện được tàu thám hiểm hay không, ta cần xác định khoảng cách giữa ra đa và tàu thám hiểm. Theo đề ta có tọa độ của ra đa là ((0;0;0) ), tọa độ của tàu thám hiểm là ((25;15; - 10) ). Khi đó khoáng cách giữa ra đa và tàu thám hiểm là: (d = sqrt {{{(25 - 0)}^2} + {{(15 - 0)}^2} + {{( - 10 - 0)}^2}} = 5 sqrt {38} approx 30,82.{ rm{ }} ) Vi phạm vi theo doi của ra đa là (30 ;{ rm{km}} ) mà khoáng khoảng cách giữa ra đa và tàu thám hiếm là (30,82 ;{ rm{km}} ) nên ra đa không phát hiện được tàu thám hiếm.

Question 18

Hình 2.53 minh hoạ một chiếc đèn được treo cách trần nhà là 0,5 m, cách hai tưởng lần lượt là 1,2 m và 1,6 m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4 m, cách hai tường đều là 1,5 m.

![Hình 2.53 minh hoạ một chiếc đèn được treo cách trần nhà là 0,5 m, cách hai tưởng lần lượt là 1,2 m và 1,6 m (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid12-1753864252.png)

a) Lập một hệ trục toạ độ Oxyz phù hợp và xác định toạ độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.

b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Accepted Answer

a) Chọn hệ tọa độ ({ rm{Oxyz}} ) như hình vẽ. Tọa độ bóng đèn lúc đầu là ({ rm{A}}(1,2;1,6;0,5) ). Tọa độ bóng đèn lúc sau là B ((1,5;1,5;0,4) ). b) Có ( overrightarrow {AB} = (0,3; - 0,1; - 0,1) ). Khi đó (| overrightarrow {AB} | = sqrt {{{0,3}^2} + {{( - 0,1)}^2} + {{( - 0,1)}^2}} approx 0,3 ). Vậy vị trí mới cách vị trí ban đầu của bóng đèn là (0,3 ;{ rm{m}} ).

18 bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (có lời giải)

Xem trước câu hỏi