19 bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Vectơ trong không gian (có lời giải)

Question 1

Trong Hình vẽ bên dưới, cho biết ba vectơ $\overrightarrow {{F_1}} ,{\overrightarrow F _2},\overrightarrow {{F_3}} $ biểu diễn lực căng của các sợi dây cáp AB, AC, AD tác dụng lên vật nặng. Giá của ba vectơ này có cùng nằm trên một mặt phẳng không?

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/23-1753517085.png)

Accepted Answer

Giá của ba vectơ này lần lượt là ba đường thẳng ({ rm{AB}},{ rm{AC}},{ rm{AD}} ). Chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng vì bốn điếm ({ rm{A}},{ rm{B}},{ rm{C}},{ rm{D}} ) không đồng phẳng.

Question 2

Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc 100o và có độ lớn lần lượt là 25 N và 12 N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn 4 N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên.

Accepted Answer

Gọi F1 , F2 , F3 là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm O lần lượt có độ lớn là 25 N, 12 N, 4 N. Vẽ [ overrightarrow {OA} = overrightarrow {{F_1}} , overrightarrow {OB} = overrightarrow {{F_2}} , overrightarrow {OC} = { overrightarrow F _3}. ] Dựng hình bình hành OADB và hình bình hành ODEC. Hợp lực tác động vào vật là [ overrightarrow F = overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} = overrightarrow {OD} + overrightarrow {OC} = overrightarrow {OE} . ] Áp dụng định lí côsin trong tam giác OBD, ta có OD2 = BD2 + OB2 − 2 . BD . OB . [cos widehat {OBD} ] = OA2 + OB2 + 2 . OA . OB . cos 100o. Vì OC ⊥ (OADB) nên OC ⊥ OD, suy ra ODEC là hình chữ nhật. Do đó tam giác ODE vuông tại D. Ta có OE2 = OC2 + OD2 = OC2 + OA2 + OB2 + 2.OA OB.cos100o. Suy ra [OE = sqrt {O{C^{2 ;}} + O{A^{2 ;}} + O{B^2} ; + 2.OA{ rm{ }}OB.cos{{100}^o}} ] [ = sqrt {{4^{2 ;}} + {{25}^{2 ;}} + {{12}^2} ; + 2.25.12.cos{{100}^o}} approx 26,092 ] Vậy độ lớn của hợp lực là F = OE ≈ 26 N.

Question 3

Theo định luật II Newton: Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật: $\overrightarrow F = m\overrightarrow a $, trong đó $\overrightarrow a $ là vectơ gia tốc (m/s²), $\overrightarrow F $ là vectơ lực (N) tác dụng lên vật, m (kg) là khối lượng của vật. Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5 kg một gia tốc 50 m/s² thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu (N)?

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/12-1753517706.png)

Accepted Answer

25

Question 4

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có góc ASC = 60o (Hình 21).

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/1-1753517788.png)

a) Sử dụng công thức $\overrightarrow P = m\overrightarrow g $ trong đó $\overrightarrow g $ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 10 m/s2, tìm độ lớn của trọng lực $\overrightarrow P $ tác động lên chiếc đèn chùm.

b) Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.

Accepted Answer

a) Ta có ( vec P = m vec g| vec P| = m| vec g| = 5.10 = 50 ;{ rm{N}} ). Vậy độ lớn của trọng lực ( vec P ) tác động lên chiếc đèn chùm là (50 ;{ rm{N}} ). b) Giả sử đèn chùm được minh họa như hình vẽ trên. Vì đèn ở vị trí cân bẳng nên ( vec P + { vec T_1} + overrightarrow {{T_2}} + overrightarrow {{T_3}} + overrightarrow {{T_4}} = vec 0 ) ( Leftrightarrow vec P + { vec P^ prime } = vec 0 Leftrightarrow vec P = - { vec P^ prime } Leftrightarrow P = {P^ prime } ) Có ( left| {{{ vec T}_1}} right| = left| {{{ vec T}_2}} right| = left| {{{ vec T}_3}} right| = left| {{{ vec T}_4}} right| = | vec T| ) Từ hình vẽ ta có: P'=4Tcos30°⇔T=P'4cos30°=5023=2533≈14,4N

Question 5

Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30o (Hình 26).

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/2-1753517968.png)

a) Tính độ lớn của trọng lực $\overrightarrow P = m\overrightarrow g $ tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn là g = 9,8 m/s2.

b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực $\overrightarrow F $ có độ dịch chuyển $\overrightarrow d $ được tính bởi công thức $A = \overrightarrow F .\overrightarrow d $. . Hãy tính công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow P $ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.

Accepted Answer

a) Ta có |P→|=m|g→|=25⋅9,8=245 N b) Theo đề ta có A=P→⋅d→,(P→,d→)=60° A=P→⋅d→=|P→|⋅|d→|⋅cos(P→,d→)=245⋅3,5⋅cos60°≈428,75 J

Question 6

Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ $\overrightarrow a $) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ b→, c→, d→ và e→.

a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ a→, b→, c→, d→ và e→.

b) Giải thích vì sao các vectơ a→, b→, c→, d→ và e→ đôi một bằng nhau.

Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn (ảnh 1)

a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ a→, b→, c→, d→ và e→.

b) Giải thích vì sao các vectơ a→, b→, c→, d→ và e→ đôi một bằng nhau.

![Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid1-1753518802.png)

Accepted Answer

a) Các vectơ ( vec a, vec b, vec c, vec d ) và ( vec e ) có cùng phương; các vectơ ( vec a, vec b, vec c, vec d ) cùng hướng với nhau và ngược hướng với vectơ ( vec e ). b) Vî trọng lực tác dụng lên bàn phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn nên các vectơ ( vec b, vec c, vec d, vec e ) có độ lớn bằng nhau. Mà các vectơ ( vec a, vec b, vec c, vec d ) cùng hướng với nhau. Do đó, các vectơ ( vec b, vec c, vec d, vec e ) đôi một bằng nhau.

Question 7

Một toà nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của toà nhà, sau đó di chuyển từ tầng 22 lên tầng 29. Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau không? Giải thích vì sao.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/122-1753518933.png)

Accepted Answer

Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà là ( vec a ). Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 22 lên tầng 29 của tòa nhà là ( vec b ). Vì hai vectơ ( vec a ) và ( vec b ) đều dịch chuyển từ tầng thấp lên tầng cao nên hai vectơ ( vec a ) và ( vec b ) có cùng hướng (1). Độ dài vectơ ( vec a ) là: (| vec a| = 7 ), độ dài vectơ ( vec b ) là: (| vec b| = 7 ) nên (| vec a| = | vec b| = 7 ) (2) Từ (1) và (2) ta có: ( vec a = vec b ). Vậy các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyền đó có bằng nhau.

Question 8

Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị lớn hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó có một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có là hai vectơ đối nhau hay không? Giải thích vì sao.

Accepted Answer

Hai vectơ vận tốc này là hai vectơ đối nhau. Giải thích: Vì hai làn thang cuốn chuyển động song song, cùng tốc độ (cùng độ lớn) nhưng ngược chiều nhau, nên hai vectơ vận tốc có cùng độ dài và ngược hướng.

Question 9

Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900 km/h lên 920 km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900 km/h và 920 km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $. Hãy giải thích vì sao $\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {{F_2}} $, với k là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của k (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

![Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid2-1753519017.png)

Accepted Answer

Vì trong quá trình máy bay tăng vận tốc từ (900 ;{ rm{km}}/{ rm{h}} ) lên (920 ;{ rm{km}}/{ rm{h}} ) máy bay giữ nguyên hướng bay nên vectơ ({ vec F_1} ) và ({ vec F_2} ) có cùng hướng. Do đó, ({ vec F_1} = k{ vec F_2} ) với k là một số thực dương nào đó (1). Gọi ({v_1},{v_2} ) lần lượt là vận tốc của của chiếc máy bay khi đạt (900 ;{ rm{km}}/{ rm{h}} ) và (920 ;{ rm{km}}/{ rm{h}} ). Suy ra ({v_1} = 900( ;{ rm{km}}/{ rm{h}}),{v_2} = 920( ;{ rm{km}}/{ rm{h}}) ) vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay nên ( frac{{ left| {{{ vec F}_1}} right|}}{{ left| {{{ vec F}_2}} right|}} = frac{{v_1^2}}{{v_2^2}} = frac{{{{900}^2}}}{{{{920}^2}}} = frac{{2025}}{{2116}} Rightarrow left| {{{ vec F}_1}} right| = frac{{2025}}{{2116}} left| {{{ vec F}_2}} right| ) Từ (1) và (2) ta có: ( overrightarrow {{F_1}} = frac{{2025}}{{2116}} overrightarrow {{F_2}} Rightarrow k = frac{{2025}}{{2116}} approx 0,96 )

Question 10

Trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thoả mãn $\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {IG} $, ở đó G là trọng tâm của tam giác BCD. Hãy tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8 cm.

![Trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thoả mãn AI = 3IG, ở đó G là trọng tâm của tam giác BCD](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid3-1753519119.png)

Accepted Answer

2 cm

Question 11

Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/1a-1753519226.png)

Accepted Answer

Giả sử lực kéo trên mỗi sợi dây được biếu diễn bởi các vectơ ( overrightarrow {OA} , overrightarrow {OB} , overrightarrow {OC} ) với là đầu chung của ba sợi dây. Khi ba sợi dậy cân bằng thì ( vec O + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} = vec 0 ). Vẽ hình bình hành ({ rm{OADB}} ). Theo quy tắc hình bình hành thì ( overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} = overrightarrow {OD} ). Do đó ( overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} = vec 0 Leftrightarrow overrightarrow {OD} + overrightarrow {OC} = vec 0 Leftrightarrow overrightarrow {OC} = - overrightarrow {OD} ).

Question 12

Ba lực có điểm đặt tại một đỉnh của hình lập phương, cùng phương với ba cạnh và cùng có cường độ là 5 N. Tính cường độ của hợp lực.

Accepted Answer

Giả sử 3 lực có điếm đặt là ({ rm{A}} ) và các lực là ( overrightarrow {AB} , overrightarrow {AD} , overrightarrow {A{A^ prime }} ). Theo quy tắc hình bình hành ta có hợp lực: ( overrightarrow {A{C^ prime }} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {A{A^ prime }} ). Theo đề ta có (| overrightarrow {AB} | = | overrightarrow {AD} | = left| { overrightarrow {A{A^ prime }} } right| = 5 ). Mà ({ rm{AC}} ) là đường chéo của của hình lập phương nên (A{C^ prime } = sqrt {A{B^2} + A{D^2} + A{A^{ prime 2}}} = 5 sqrt 3 ) Vậy cường độ của hợp lực là (5 sqrt 3 N ).

Question 13

Nếu một vật có khối lượng m (kg) thì lực hấp dẫn $\overrightarrow P $ của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức $\overrightarrow P = m\overrightarrow g $, trong đó $\overrightarrow g $ là gia tốc rơi tự do có độ lớn g = 9,8 m/s2. Tính độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng 102 gam (Hình vẽ)

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/1222-1753519401.png)

Accepted Answer

0,9996 N

Question 14

Trong điện trường đều, lực tĩnh điện $\overrightarrow F $ (đơn vị: N) tác dụng lên điện tích điểm có điện tích q (đơn vị: C) được tính theo công thức $\overrightarrow F = q.\overrightarrow E $, trong đó $\overrightarrow E $ là cường độ điện trường (đơn vị: N/C). Tính độ lớn của lực tĩnh điện tác dụng lên điện tích điểm khi q = 10^{-9} C và độ lớn điện trường E = 10^5 N/C (Hình vẽ)

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/1111-1753519475.png)

Accepted Answer

10^{-4} N

Question 15

Một lực tĩnh điện $\overrightarrow F $ tác động lên điện tích điểm M trong điện trường đều làm cho M dịch chuyển theo đường gấp khúc MNP (Hình vẽ). Biết q = 2 . 10−12 C, vectơ điện trường có độ lớn E = 1,8 . 105 N/C và d = MH = 5 mm. Tính công A sinh bởi lực tĩnh điện $\overrightarrow F $.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/111111-1753520696.png)

Accepted Answer

Đổi (5 ;{ rm{mm}} = {5.10^{ - 3}} ;{ rm{m}} ) Công ({ rm{A}} sinh ) bởi lực tĩnh điện ( vec F ) là ({ rm{A}} = { rm{qEd}} = 2 cdot {10^{ - 12}} cdot 1,8 cdot {10^5} cdot 5 cdot {10^{ - 3}} = 18 cdot {10^{ - 10}}( ;{ rm{J}}) ).

Question 16

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} $ lần lượt trên mỗi dây OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 15{\rm{ }}(N)$. (Hình 14). Tính trọng lượng của chiếc đèn tròn đó.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/1w-1753520768.png)

Accepted Answer

Gọi [{A_1}{ rm{, }}{B_1},{C_1} ] lần lượt là các điểm sao cho [ overrightarrow {O{A_1}} = overrightarrow {{F_1}} ; overrightarrow {O{B_1}} = overrightarrow {{F_2}} ; overrightarrow {O{C_1}} = overrightarrow {{F_3}} ]. Lấy các điểm [{D_1},{A'_1}{ rm{, }}{B'_1},{D'_1} ] sao cho [O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}B' ] là hình hộp (Hình 15). Khi đó, áp dụng quy tắc hình hộp, ta có: [{ overrightarrow {OA} _1} + overrightarrow {O{B_1}} + overrightarrow {O{C_1}} { rm{ = }} overrightarrow {O{D_1}} ] Mặt khác, do các lực căng [ overrightarrow {{F_1}} , overrightarrow {{F_2}} , overrightarrow {{F_3}} ] đôi một vuông góc và [ left| { overrightarrow {{F_1}} } right| = left| { overrightarrow {{F_2}} } right| = left| { overrightarrow {{F_3}} } right| = 15{ rm{ }}(N) ] nên hình hộp [O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}B' ] có ba cạnh OA1, OB1, OC1, đôi một vuông góc và bằng nhau. Vì thế hình hộp đó là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 15. Suy ra độ dài đường chéo [O{D'_1} ] của hình lập phương đó bằng [15 sqrt 3 ]. Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên [ overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} = overrightarrow P ], ở đó [ overrightarrow P ] là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn. Suy ra trọng lượng của chiếc đèn là: [ left| { overrightarrow P } right| = left| { overrightarrow {O{{D'}_1}} } right| = 15 sqrt 3 ] (N).

Question 17

Như đã biết, nếu có một lực $\overrightarrow F $ tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra được tính theo công thức $A = \overrightarrow F {\rm{.}}\overrightarrow {{\rm{MN}}} $, trong đó lực F có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường MN tính bằng mét và công A tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực $\overrightarrow F $ có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao? Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/122a-1753520890.png)

Accepted Answer

Ta có: (A = vec F cdot overrightarrow {MN} = | vec F| cdot | overrightarrow {MN} | cdot cos ( vec F, overrightarrow {MN} ) ) vì lực ( vec F ) có độ lớn không đổi và vật di chuyển một quãng đường không đổi nên (A ) lớn nhất khi ( cos ( vec F, overrightarrow {MN} ) ) lớn nhất. Do đó, cos(F→,MN→)=1⇔(F→,MN→)=0°. Khi đó, lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Vậy công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển dộng của vật. Khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng, ta nên kéo (hoặc đẩy) cùng cùng hướng với chuyển động của vật.

Question 18

Cho biết công A (đơn vị: J) sinh bởi lực $\overrightarrow F $ tác dụng lên một vật được tính bằng công thức A = $\overrightarrow F $. $\overrightarrow d $, trong đó $\overrightarrow d $ là vectơ biểu thị độ dịch chuyển của vật (đơn vị của d là m) khi chịu tác dụng của lực $\overrightarrow F $. Một chiếc xe có khối lượng 1,5 tấn đang đi xuống trên một đoạn đường dốc có góc nghiêng 5° so với phương ngang. Tính công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow P $ khi xe đi hết đoạn đường dốc dài 30 m (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị), biết rằng trọng lực $\overrightarrow P $ được xác định bởi công thức $\overrightarrow P $ = m$\overrightarrow g $, với m (đơn vị: kg) là khối lượng của vật và $\overrightarrow g $ là gia tốc rơi tự do có độ lớn g = 9,8 m/s2.

Accepted Answer

Ta có 1,5 tấn = 1 500 kg. Độ lớn của trọng lực tác dụng lên chiếc xe là: [ left| { overrightarrow P } right| ] = m [ left| { overrightarrow g } right| ] = 1 500 . 9,8 = 14 700 (N). Vectơ [ overrightarrow d ] biểu thị độ dịch chuyển của xe có độ dài là [ left| { overrightarrow d } right| ] = 30 (m) và [ left( { overrightarrow P , overrightarrow d } right) = {90^o} - {5^o} = {85^o} ] Công sinh ra bởi trọng lực [ overrightarrow P ] khi xe đi hết đoạn đường dốc dài 30 m là: A=P→.d→=P→.d→.cosP→,d→=14700.30.cos85o≈38436 (J)

Question 19

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60o (Hình 16). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} $ đều có cường độ là 4 700 N và trọng lượng của khung sắt là 3 000 N.

![Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid8-1753521891.png)

Accepted Answer

Gọi ({{ rm{A}}_1}, ;{{ rm{B}}_1},{{ rm{C}}_1},{{ rm{D}}_1} ) lần lượt là các điểm sao cho: ( overrightarrow {E{A_1}} = overrightarrow {{F_1}} , overrightarrow {E{B_1}} = overrightarrow {{F_2}} , overrightarrow {E{C_1}} = overrightarrow {{F_3}} , overrightarrow {E{D_1}} = overrightarrow {{F_4}} ) Vì ({ rm{EA}},{ rm{EB}},{ rm{EC}},{ rm{ED}} ) có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (({ rm{ABCD}}) ) một góc bằng ({60^^ circ } ) nên ({ rm{E}}{{ rm{A}}_1}, ;{ rm{E}}{{ rm{B}}_1},{ rm{E}}{{ rm{C}}_1},{ rm{E}}{{ rm{D}}_1} ) bẳng nhau và cùng tạo với mặt phắng ( left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} right) ) một góc bằng ({60^^ circ } ). Vì ABCD là hình chữ nhật nên ({A_1}{B_1}{C_1}{D_1} ) cūng là hình chữ nhật. Gọi (O ) là tâm của hình chữ nhật ({{ rm{A}}_1} ;{{ rm{B}}_1}{{ rm{C}}_1}{{ rm{D}}_1} ). Ta suy ra ({ rm{EO}} bot left( {{{ rm{A}}_1} ;{{ rm{B}}_1}{{ rm{C}}_1}{{ rm{D}}_1}} right) ). Do đó, góc giữa đường thẳng ({ rm{E}}{{ rm{A}}_1} ) và mặt phẳng ( left( {{{ rm{A}}_1} ;{{ rm{B}}_1}{{ rm{C}}_1}{{ rm{D}}_1}} right) ) bằng góc ({ rm{E}}{{ rm{A}}_1}{ rm{O}} ). Suy ra (E{A_1}O = {60^^ circ } ). Ta có ( left| {{{ vec F}_1}} right| = left| {{{ vec F}_2}} right| = left| {{{ vec F}_3}} right| = left| {{{ vec F}_4}} right| = 4700( ;{ rm{N}}) ) nên ({ rm{E}}{{ rm{A}}_1} = { rm{E}}{{ rm{B}}_1} = { rm{E}}{{ rm{C}}_1} = { rm{E}}{{ rm{D}}_1} = 4700 ). Tam giác EOA, vuông tại ({ rm{O}} ) nên EO=EA1sinEA1O=4700sin60°=23503 Theo quy tấc ba điếm, ta có ( overrightarrow {E{A_1}} = overrightarrow {EO} + { overrightarrow {OA} _1}, overrightarrow {E{B_1}} = overrightarrow {EO} + overrightarrow {O{B_1}} , overrightarrow {E{C_1}} = overrightarrow {EO} + overrightarrow {O{C_1}} , overrightarrow {E{D_1}} = overrightarrow {EO} + overrightarrow {O{D_1}} ) Vì (O ) là trung điếm của ({{ rm{A}}_1}{{ rm{C}}_1} ) và ({{ rm{B}}_1}{{ rm{D}}_1} ) nên: ( overrightarrow {O{A_1}} + overrightarrow {O{C_1}} = vec 0, overrightarrow {O{B_1}} + overrightarrow {O{D_1}} = vec 0 ) Từ đó suy ra ( overrightarrow {E{A_1}} + overrightarrow {E{B_1}} + overrightarrow {E{C_1}} + overrightarrow {E{D_1}} = 4 overrightarrow {EO} ). Do đó, ({ vec F_1} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} + overrightarrow {{F_4}} = 4 overrightarrow {EO} ). Vî chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên ( overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} + overrightarrow {{F_4}} = vec P ), ở đó ( vec P ) là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô. Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là: (| overrightarrow { rm{P}} | = 4| overrightarrow {{ rm{EO}}} | = 4 cdot 2350 sqrt 3 = 9400 sqrt 3 ( ;{ rm{N}}). ) Vî trọng lượng của khung sắt là (3000 ;{ rm{N}} ) nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là: (9400 sqrt 3 - 3000 approx 13281( ;{ rm{N}}){ rm{. }} )

19 bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Vectơ trong không gian (có lời giải)

Xem trước câu hỏi