Question

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}$.

Accepted Answer

1. Tập xác định: D = [ mathbb{R} ] {1}. 2. Sự biến thiên: • Chiều biến thiên: Đạo hàm [y' = frac{{{x^2} - 2x}}{{{{ left( {x - 1} right)}^2}}} ]. Ta có y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2. Trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. Trên các khoảng (0; 1) và (1; 2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = 6. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = 2. Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận: Ta có: [ mathop { lim } limits_{x to - infty } y = - infty ; mathop { lim } limits_{x to + infty } y = + infty ] Ta có: [a = mathop { lim } limits_{x to + infty } frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{{x^2} - x}} = 1 ] và [b = mathop { lim } limits_{x to + infty } left( { frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} - x} right) = 3 ]. Suy ra đường thẳng y = x + 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Ta có [ mathop { lim } limits_{x to {1^ + }} y = + infty ; mathop { lim } limits_{x to {1^ - }} y = - infty ]. Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Bảng biến thiên: 3. Đồ thị: Ta có y = 0 ⇔ x2 + 2x – 2 = 0 ⇔ [x = - 1 + sqrt 3 ]hoặc [x = - 1 - sqrt 3 ]. Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm ( [ - 1 + sqrt 3 ];0) và điểm ( [ - 1 - sqrt 3 ];0). Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 2). Đồ thị hàm số được biểu diễn trên Hình vẽ. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 4). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x + 3.

2 bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax^2+bx+c/mx+n (a ≠ 0, m ≠ 0, đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu) (có lời giải)

Xem trước câu hỏi