20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Question 1

**Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn **

Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho $\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j .$ Tọa độ của vectơ $\overrightarrow u $ là

Accepted Answer

$\overrightarrow u = \left( \frac{1}{2}; -5 \right)$

Question 2

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( {2;\, - 1} \right),\,B\left( {4;\,3} \right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB} $ bằng

Accepted Answer

$\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,4} \right)$

Question 3

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $M\left( {1;1} \right)$, $N\left( {4; - 1} \right)$. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow {MN} $.

Accepted Answer

$\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {13} $

Question 4

Xác định tọa độ vectơ $\overrightarrow c = 5\overrightarrow a - 2\overrightarrow b $ biết $\overrightarrow a = \left( {3; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;4} \right)$.

Accepted Answer

$\overrightarrow c = \left( {13; - 18} \right)$.

Question 5

Cho $\overrightarrow a = \left( {2;1} \right),\overrightarrow b = \left( {3;4} \right),\overrightarrow c = \left( { - 7;2} \right)$. Tìm vectơ $\overrightarrow x $ sao cho $\overrightarrow x - 2\overrightarrow a = \overrightarrow b - 3\overrightarrow c $.

Accepted Answer

$\overrightarrow x = \left( {28;0} \right)$.

Question 6

Cho ba điểm $A\left( { - 1;1} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( { - 2;0} \right)$. Tìm *x* sao cho $\overrightarrow {AB} = x\overrightarrow {BC} $.

Accepted Answer

$x = - \frac{2}{3}$.

Question 7

Cho 2 vectơ $\overrightarrow u = \left( {2m - 1} \right)\overrightarrow i + \left( {3 - m} \right)\overrightarrow j $ và $\overrightarrow v = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j $. Tìm *m* để hai vectơ cùng phương.

Accepted Answer

$m = \frac{9}{8}$.

Question 8

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ *Oxy*, cho $A\left( {m - 1;2} \right),B\left( {2;5 - 2m} \right)$ và $C\left( {m - 3;4} \right)$. Tìm giá trị *m* để *A*, *B*, *C* thẳng hàng.

Accepted Answer

$m = 2$.

Question 9

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\Delta ABC$ biết $A\left( {2;\, - 3} \right),\,B\left( {4;\,7} \right),\,C\left( {1;\,5} \right)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ là

Accepted Answer

$\left( {\frac{7}{3};\,3} \right)$

Question 10

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A\left( { - 1;1} \right)\,,\,B\left( {1;3} \right)\,,\,C\left( {5;2} \right)$. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.

Accepted Answer

$D(3;0)$

Question 11

**Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai**

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\Delta ABC$ với $A\left( {4\sqrt 3 ; - 1} \right),B\left( {0;3} \right)$,$C\left( {8\sqrt 3 ;3} \right)$.

a) $AC = 8$.

b) Tam giác $ABC$ cân tại $B$.

c) ${S_{\Delta ABC}} = 16\sqrt 3 $.

d) $\widehat {ABC} = 30^\circ $.

Accepted Answer

a) Đúng. ( overrightarrow {AC} = left( {4 sqrt 3 ;4} right) Rightarrow AC = sqrt {{{ left( {4 sqrt 3 } right)}^2} + {4^2}} = 8 ). b) Sai. Ta có ( overrightarrow {AB} = left( { - 4 sqrt 3 ;4} right) Rightarrow AB = sqrt {{{ left( { - 4 sqrt 3 } right)}^2} + {4^2}} = 8 ). Ta thấy (AB = AC = 8 ) nên tam giác (ABC ) cân tại (A ). Lại có ( overrightarrow {BC} = left( {8 sqrt 3 ;0} right) Rightarrow BC = sqrt {{{ left( {8 sqrt 3 } right)}^2} + {0^2}} = 8 sqrt 3 Rightarrow BC ne AB ). Vậy tam giác (ABC ) không cân tại (B ). c) Đúng. Chu vi tam giác (ABC:2p = AB + AC + BC = 8 + 8 + 8 sqrt 3 = 8 left( {2 + sqrt 3 } right) ). Nửa chu vi tam giác là (p = 4 left( {2 + sqrt 3 } right) ). Diện tích tam giác: ({S_{ Delta ABC}} = sqrt {p left( {p - AB} right) left( {p - AC} right) left( {p - BC} right)} = 16 sqrt 3 ). d) Đúng. Ta có ( cos A = frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB cdot AC}} = frac{{{8^2} + {8^2} - {{ left( {8 sqrt 3 } right)}^2}}}{{2 cdot 8 cdot 8}} = - frac{1}{2} Rightarrow widehat {BAC} = 120^ circ ). Vì tam giác (ABC ) cân tại (A ) nên ( widehat {ABC} = widehat {ACB} = 30^ circ ).

Question 12

Trên hệ trục tọa độ $Oxy$, cho bốn điểm $A\left( { - 1;3} \right),\,\,B\left( {0; - 1} \right),\,\,C\left( {1;4} \right)$, $D\left( {2; - 9} \right)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng. ( overrightarrow {AB} = left( {1; - 4} right) ). b) Sai. Tọa độ trung điểm của (AB ) là (I = left( { frac{{ - 1 + 0}}{2}; frac{{3 - 1}}{2}} right) = left( { frac{{ - 1}}{2};1} right) ). c) Sai. ( overrightarrow {AB} = left( {1; - 4} right) ) , ( overrightarrow {AC} = left( {2;1} right) ), ( overrightarrow {CD} = left( {1; - 13} right) ) và ( overrightarrow {CD} = k overrightarrow {AB} + h overrightarrow {AC} ) ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}k + 2h = 1 - 4k + h = - 13 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}k = 3 h = - 1 end{array} right. Rightarrow overrightarrow {CD} = 3 overrightarrow {AB} - overrightarrow {AC} ). Vậy (k + h = 2 ). d) Đúng. ( overrightarrow {IB} = left( { frac{1}{2}; - 2} right), , overrightarrow {ID} = left( { frac{5}{2}; - 10} right) ). Dễ thấy ( overrightarrow {IB} = frac{1}{5} overrightarrow {ID} ) nên (I,B,D ) thẳng hàng.

Question 13

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\Delta ABC$ với $A\left( {4\,;6} \right),B\left( {5\,;1} \right)$, $C\left( {1\,; - 3} \right)$.

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 5} \right)$.

b) Tọa độ điểm $D$ thuộc $Ox$ cách đều hai điểm $A,B$ có hoành độ bằng $13$.

c) $I\left( { - \frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)$ là tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

d) Bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $\frac{{\sqrt {13} }}{2}$.

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có ( overrightarrow {AB} = left( {1; - 5} right) ). b) Sai. Gọi (D left( {x ,;0} right) in Ox Rightarrow AD = sqrt {{{ left( {x - 4} right)}^2} + {{ left( {0 - 6} right)}^2}} = sqrt {{x^2} - 8x + 52} ); (BD = sqrt {{{ left( {x - 5} right)}^2} + {{ left( { - 1} right)}^2}} = sqrt {{x^2} - 10x + 26} ). Ta có (A{D^2} = B{D^2} Leftrightarrow {x^2} - 8x + 52 = {x^2} - 10x + 26 Leftrightarrow 2x = - 26 Leftrightarrow x = - 13 ). Vậy (D left( { - 13 ,;0} right) ). c) Đúng. Gọi (I left( {x ,;y} right) ) là tâm đường tròn ngoại tiếp ( Delta ABC ). Ta có (IA = IB = IC ) ( Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}} begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2} I{A^2} = I{C^2} end{array} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}} begin{array}{l}{ left( {x - 4} right)^2} + { left( {y - 6} right)^2} = { left( {x - 5} right)^2} + { left( {y - 1} right)^2} { left( {x - 4} right)^2} + { left( {y - 6} right)^2} = { left( {x - 1} right)^2} + { left( {y + 3} right)^2} end{array} end{array}} right.} right. ) ( Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{2x - 10y = - 26} { - 6x - 18y = - 42} end{array}} right. Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = - frac{1}{2}} {y = frac{5}{2}} end{array}} right. ). Vậy (I left( { - frac{1}{2}; frac{5}{2}} right) ). d) Sai. Bán kính đường tròn là: (R = IA = sqrt {{{ left( { - frac{1}{2} - 4} right)}^2} + {{ left( { frac{5}{2} - 6} right)}^2}} = frac{{ sqrt {130} }}{2} ).

Question 14

Trên màn hình ra đa của một đài kiểm soát không lưu (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét, một máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều từ thành phố A có tọa độ $\left( {600;\,200} \right)$ đến thành phố B có tọa độ $\left( {200;500} \right)$ và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ. Giả sử $M\left( {x;\,y} \right)$ là vị trí của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {400;300} \right)$.

b) $\overrightarrow {AM} = \left( {x - 600;y - 200} \right)$.

c) $\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AB} $.

d) $M\left( {\frac{{1400}}{3};300} \right)$.

Accepted Answer

a) Sai. Ta có (A left( {600; ,200} right) ), (B left( {200;500} right) ). Suy ra ( overrightarrow {AB} = left( { - 400;300} right) ). b) Đúng. Với (M left( {x; ,y} right) ) thì ( overrightarrow {AM} = left( {x - 600;y - 200} right) ). c) Sai. Vì máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ, thời gian bay quãng đường AM là 1 giờ nên ( overrightarrow {AM} = frac{1}{3} overrightarrow {AB} ). d) Đúng. Từ ( overrightarrow {AM} = frac{1}{3} overrightarrow {AB} ), ta suy ra ( left { begin{array}{l}x - 600 = frac{1}{3} cdot left( { - 400} right) y - 200 = frac{1}{3} cdot 300 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}x = frac{{1400}}{3} y = 300 end{array} right. ). Vậy (M left( { frac{{1400}}{3};300} right) ).

Question 15

Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật ABCD với độ dài AB = 200 m, AD = 180 m, người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm trên bờ AB và cách đỉnh A khoảng cách 20 m, cột thứ tư nằm trên bờ CD và cách đỉnh C khoảng cách 30 m. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A(0;0), B(200; 0), C(200;180), D(0; 180). Giả sử vị trí các cột điện được trồng là C1, C2, C3, C4. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng. Do ({C_1} ) thuộc cạnh (AB ) và (A{C_1} = 20 ) nên ({C_1} left( {20; ,0} right) ). b) Sai. Do ({C_4} ) thuộc cạnh (CD ) và ({C_4}C = 30 ), suy ra (D{C_4} = 170 ) nên ({C_4} left( {170;180} right) ). c) Sai. Do bốn cột điện ({C_1},{C_2},{C_3},{C_4} ) được trồng liên tiếp, cách đều trên một đường thẳng nên ta có ({C_1}{C_2} = {C_2}{C_3} = {C_3}{C_4} ), suy ra ( overrightarrow {{C_1}{C_2}} = frac{1}{3} overrightarrow {{C_1}{C_4}} ). d) Đúng. Gọi tọa độ của ({C_2} ) đối với hệ trục đang xét là ( left( {x;y} right) ). Khi đó ( overrightarrow {{C_1}{C_2}} = left( {x - 20;y} right) ). Lại có ( overrightarrow {{C_1}{C_4}} = left( {150;180} right) ). Do đó, từ ( overrightarrow {{C_1}{C_2}} = frac{1}{3} overrightarrow {{C_1}{C_4}} ), ta suy ra ( left { begin{array}{l}x - 20 = frac{{150}}{3} = 50 y = frac{{180}}{3} = 60 end{array} right. ). Suy ra (x = 70,y = 60 ), tức là ({C_2} left( {70;60} right) ). Vậy khoảng cách từ vị trí cột thứ hai đến các bờ AB, AD lần lượt là 60 m và 70 m.

Question 16

**Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn**

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho $A\left( {2;2} \right),B\left( {1; - 3} \right),C\left( { - 3;0} \right)$. Biết rằng điểm $E\left( {x;y} \right)$ thoả mãn $\overrightarrow {AE} = - 2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} $. Tính giá trị của $7x + 5y$.

Accepted Answer

Ta có (E left( {x;y} right) ) nên ( overrightarrow {AE} = left( {x - 2;y - 2} right), , , overrightarrow {AB} = left( { - 1; - 5} right), , , overrightarrow {AC} = left( { - 5; - 2} right) ). Suy ra ( - 2 overrightarrow {AB} + 3 overrightarrow {AC} = left( { - 13;4} right) ). Do đó ( overrightarrow {AE} = - 2 overrightarrow {AB} + 3 overrightarrow {AC} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{c}}{x - 2 = - 13} {y - 2 = 4 , , , , , ,} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = - 11} {y = 6} end{array}} right.} right. Rightarrow 7x + 5y = - 47 ). Đáp án: −47.

Question 17

Cho $\overrightarrow u = \left( {{m^2} + 3;2m} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {5m - 3;{m^2}} \right)$, với $m$ là tham số thực. Số giá trị của tham số $m$ để $\overrightarrow u = \overrightarrow v $ là:

Accepted Answer

1

Question 18

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left( {1; - 4} \right),\,\,B\left( { - 2;1} \right)$. Điểm $M$ nằm trên trục hoành sao cho tam giác $MAB$ cân tại $M$. Tìm hoành độ của điểm $M$.

Accepted Answer

2

Question 19

Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng toạ độ. Trong khoảng thời gian đó, tâm bão di chuyển thẳng đều từ vị trí có tọa độ $\left( {13,8;\,\,\,107,8} \right)$ đến vị trí có toạ độ $\left( {14,1;\,\,\,106,3} \right)$. Xác định hoành độ vị trí của tâm bão tại thời điểm 8 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.

Accepted Answer

Giả sử tâm bão đi từ vị trí [A left( {13,8; , , ,107,8} right) ] đến vị trí (B left( {14,1; , , ,106,3} right) ). Gọi (M left( {x; , ,y} right) ) là vị trí của tâm bão tại thời điểm 8 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo. Khi đó ( overrightarrow {AM} = frac{8}{{12}} overrightarrow {AB} = frac{2}{3} overrightarrow {AB} ). Mà ( overrightarrow {AB} = left( {0,3; , , - 1,5} right) ) nên ( overrightarrow {AM} = left( {0,2; , , - 1} right) ). Do đó ( left { begin{array}{l}x - 13,8 = 0,2 y - 107,8 = - 1 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}x = 14 y = 106,8 end{array} right. ). Vậy vị trí của tâm bão tại thời điểm 8 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo là (M left( {14; , ,106,8} right) ). Đáp án: 14.

Question 20

Tam giác $ABC$ có đỉnh $A\left( { - 1;2} \right)$, trực tâm $H\left( {3;0} \right)$, trung điểm của $BC$ là $M\left( {6;1} \right)$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Accepted Answer

Gọi (O ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC ). Kẻ đường kính (AA' ) của đường tròn khi đó ta có ( widehat {ABA'} = widehat {ACA'} = 90^ circ ) hay (A'B bot AB ) và (A'C bot AC ). Vì (H ) là trực tâm của tam giác (ABC ) nên (BH bot AC ) và (CH bot AB ) ( Rightarrow BH ,{ rm{//}} ,A'C ) và (CH ,{ rm{//}} ,A'B ), do đó (A'BHC ) là hình bình hành. Mà điểm (M ) là trung điểm của đường chéo (BC ) nên nó cũng là trung điểm của (A'H ). Từ đó suy ra (OM ) là đường trung bình của tam giác (AHA' ) nên ( overrightarrow {AH} = 2 overrightarrow {OM} Leftrightarrow left { begin{array}{l}4 = 2 left( {6 - {x_O}} right) - 2 = 2 left( {1 - {y_O}} right) end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}{x_O} = 4 {y_O} = 2 end{array} right. ) ( Leftrightarrow O left( {4;2} right) ). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC ) có độ dài bằng (OA = sqrt {{{ left( { - 1 - 4} right)}^2} + {{ left( {2 - 2} right)}^2}} = 5 ). Đáp án: 5.

20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Xem trước câu hỏi