20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Question 1

**Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn **

Cho $\Delta ABC$ đều cạnh $a$. Giá trị của tích vô hướng $\overrightarrow {AB\,} \cdot \overrightarrow {AC\,} $ là

Accepted Answer

$\frac{1}{2}{a^2}$.

Question 2

Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $2$. Tính $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} $.

Accepted Answer

$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0$

Question 3

Cho tam giác đều $ABC$. Tính góc $\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BC} } \right)$.

Accepted Answer

120°

Question 4

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 2$cm, $BC = 4$cm, $CA = 5$cm. Tính $\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} $.

Accepted Answer

$\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = \frac{{37}}{2}$.** **** **

Question 5

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow a } \right| = 3$, $\left| {\overrightarrow b } \right| = 2$ và $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 3$. Xác định số đo góc $\alpha $ giữa hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $.

Accepted Answer

$\alpha = 120 \circ $.

Question 6

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {2;\, - 1} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {1;\,3} \right)$. Khi đó, $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v $ có kết quả bằng

Accepted Answer

$ - 1$.

Question 7

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai vectơ $\overrightarrow u = \overrightarrow i - 5\overrightarrow j $ và $\overrightarrow v = k\overrightarrow i + 2\overrightarrow j $. Tìm $k$ để vectơ $\overrightarrow u $ và vectơ $\overrightarrow v $ vuông góc với nhau.

Accepted Answer

$k = 10$.

Question 8

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( { - 2;2} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {5;3} \right)$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow u = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2}$.

Accepted Answer

$34$.

Question 9

Cho vectơ $\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right)$. Với giá trị nào của $y$ thì vectơ $\overrightarrow b = \left( {3;y} \right)$ tạo với vectơ $\overrightarrow a $ một góc $45^\circ $?

Accepted Answer

$y = - 1$.

Question 10

Một người dùng một lực $\overrightarrow F $ có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m.

![B (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/5-1754228851.png)

Biết lực $\overrightarrow F $ hợp với hướng dịch chuyển một góc $60^\circ $. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow F $.

Accepted Answer

$4500\,\,{\rm{(J)}}$.

Question 11

Cho hình chữ nhật $ABCD$ với $AB = 4a, AD = 3a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $G$ là trọng tâm tam giác $ACM$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

![V (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/6-1754228910.png)

Accepted Answer

a) Sai. Ta có ( overrightarrow {CM} = overrightarrow {BM} - overrightarrow {BC} = frac{1}{2} overrightarrow {BA} - overrightarrow {BC} ). b) Sai. Vì (G ) là trọng tâm của tam giác (ACM ) nên (3 overrightarrow {BG} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {BM} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {BA} + frac{1}{2} overrightarrow {BA} + overrightarrow {BC} = frac{3}{2} overrightarrow {BA} + overrightarrow {BC} Rightarrow overrightarrow {BG} = frac{1}{2} overrightarrow {BA} + frac{1}{3} overrightarrow {BC} . ) c) Đúng. Vì (ABCD ) là hình chữ nhật nên (BA bot BC ), suy ra ( overrightarrow {BC} cdot overrightarrow {BA} = 0 ). d) Sai. Ta có ( overrightarrow {BG} cdot overrightarrow {CM} = left( { frac{1}{2} overrightarrow {BA} + frac{1}{3} overrightarrow {BC} } right) cdot left( { frac{1}{2} overrightarrow {BA} - overrightarrow {BC} } right) = frac{1}{4}{ overrightarrow {BA} ^2} - frac{1}{3} overrightarrow {BA} cdot overrightarrow {BC} - frac{1}{3}{ overrightarrow {BC} ^2} ) ( = frac{1}{4} cdot { left( {4a} right)^2} - frac{1}{3} cdot 0 - frac{1}{3} cdot { left( {3a} right)^2} = {a^2}. ) ( (BC = AD = 3a )).

Question 12

Cho tam giác $ABC$ có $A\left( {1;2} \right)$, $B\left( { - 1;1} \right)$, $C\left( {5; - 1} \right)$.

a) $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1} \right)$.

b) $\overrightarrow {AC} = \left( {8; - 6} \right)$.

c) $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 10$.

d) $\cos A = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}$.

Accepted Answer

a) Đúng. ( overrightarrow {AB} = left( { - 2; - 1} right) ). b) Sai. ( overrightarrow {AC} = left( {4; - 3} right) ). c) Sai. ( overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC} = left( { - 2} right) cdot 4 + left( { - 1} right) cdot left( { - 3} right) = - 5 ). d) Đúng. Ta có ( cos A = frac{{ overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC} }}{{AB cdot AC}} = frac{{ - 5}}{{ sqrt {{{ left( { - 2} right)}^2} + {{ left( { - 1} right)}^2}} cdot sqrt {{4^2} + {{ left( { - 3} right)}^2}} }} = frac{{ - 5}}{{ sqrt 5 cdot sqrt {25} }} = - frac{1}{{ sqrt 5 }} ).

Question 13

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 2a, AC = 3a, \widehat{BAC} = 60^\circ$. Gọi $I$ là trung điểm đoạn thẳng $BC$. Điểm $J$ thuộc đoạn $AC$ thỏa mãn $12AJ = 7AC$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Sai. ( overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC} = AB cdot AC cos widehat {BAC} = 2a cdot 3a cdot cos 60^ circ = 3{a^2} ). b) Sai. Do (I ) là trung điểm (BC ) nên ( overrightarrow {AI} = frac{1}{2} left( { overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} } right) = frac{1}{2} overrightarrow {AB} + frac{1}{2} overrightarrow {AC} ). c) Đúng. Vì (J in AC ) và (12AJ = 7AC ) nên ( overrightarrow {AJ} = frac{7}{{12}} overrightarrow {AC} ). Khi đó, ( overrightarrow {BJ} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {AJ} = - overrightarrow {AB} + frac{7}{{12}} overrightarrow {AC} ). d) Đúng. Ta có ( overrightarrow {AI} cdot overrightarrow {BJ} = frac{1}{2} left( { overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} } right) left( { - overrightarrow {AB} + frac{7}{{12}} overrightarrow {AC} } right) ) ( = frac{1}{2} left( { - {{ overrightarrow {AB} }^2} + frac{7}{{12}} overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC} - overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC} + frac{7}{{12}}{{ overrightarrow {AC} }^2}} right) ) ( = frac{1}{2} left( { - 4{a^2} + frac{7}{{12}} cdot 3{a^2} - 3{a^2} + frac{7}{{12}} cdot 9{a^2}} right) = 0 ). Vậy (AI bot BJ ).

Question 14

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( {1\,;2} \right),B\left( { - 4\,;3} \right)$. Gọi $M\left( {t;\,0} \right)$ là một điểm thuộc trục hoành.

a) $\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;1} \right)$.

b) $\overrightarrow {MA} = \left( {t - 1; - 2} \right)$.

c) $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = {t^2} + 3t + 4$.

d) Có hai giá trị của $t$ để $\widehat {AMB} = 90^\circ $.

Accepted Answer

a) Đúng. ( overrightarrow {AB} = left( { - 4 - 1;3 - 2} right) = left( { - 5;1} right) ). b) Sai. Ta có [ overrightarrow {MA} = left( {1 - t; ;2 - 0} right) = left( {1 - t; ;2} right) ]. c) Sai. [ overrightarrow {MB} = left( { - 4 - t; ;3 - 0} right) = left( { - 4 - t; ;3} right) ] [ overrightarrow {MA} cdot overrightarrow {MB} = left( {1 - t} right) cdot left( { - 4 - t} right) + 2 cdot 3 = - 4 - t + 4t + {t^2} + 6 = {t^2} + 3t + 2 ]. d) Đúng. Để ( widehat {AMB} = 90^ circ ) thì ( overrightarrow {MA} bot overrightarrow {MB} Leftrightarrow overrightarrow {MA} cdot overrightarrow {MB} = 0 Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = - 1 t = - 2 end{array} right. ). Vậy có hai giá trị của (t ) để ( widehat {AMB} = 90^ circ ).

Question 15

Hai người cùng kéo một xe goòng. Người thứ nhất và người thứ hai lần lượt tác dụng vào chiếc xe goòng bằng hai lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} $ (hai lực vuông góc nhau, phương lực $\overrightarrow {{F_2}} $ song song mặt đường) như hình vẽ và lực tổng hợp hợp với phương ngang (mặt đường) một góc $30^\circ $. Người thứ nhất kéo một lực là $40\sqrt 3 $ (N), người thứ hai kéo một lực là $80$ (N).

![c (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/8-1754229138.png)

Accepted Answer

a) Sai. Người thứ nhất kéo một lực là [40 sqrt 3 , ,{ rm{(N)}} Rightarrow left| { overrightarrow {{F_1}} } right| = 40 sqrt 3 ], người thứ hai kéo một lực là [80 , ,{ rm{(N)}} Rightarrow left| { overrightarrow {{F_2}} } right| = 80 ]. b) Đúng. Lực tổng hợp, hợp với phương ngang (mặt đường) một góc (30^ circ ) và phương lực ( overrightarrow {{F_2}} ) song song mặt đường nên ( left( { overrightarrow {{F_2}} , overrightarrow F } right) = 30^ circ ). c) Đúng. Ta có lực tổng hợp của hai người là ( overrightarrow F = overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} ). Suy ra độ lớn của ( overrightarrow F ) là: (F = sqrt {{F_1}^2 + {F_2}^2} = 40 sqrt 7 ,{ rm{(N)}} ). d) Đúng. Công sinh ra khi kéo vật là [A = overrightarrow F cdot overrightarrow d = left| { overrightarrow F } right| cdot left| { overrightarrow d } right| cdot cos left( { overrightarrow F , overrightarrow d } right) = 40 sqrt 7 cdot 5 cdot cos 30^ circ = 1000 sqrt {21} ,{ rm{(J)}} = a sqrt b { rm{(J)}} Rightarrow left { begin{array}{l}a = 1000 b = 21 end{array} right. ]. Khi đó (a + b = 1021 ).

Question 16

**Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn**

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $. Biết $\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\left| {\overrightarrow b } \right| = 2$ và $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ $. Tính $\left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right|$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Accepted Answer

Ta có [ overrightarrow a cdot overrightarrow b = left| { overrightarrow a } right| cdot left| { overrightarrow b } right| cdot cos left( { overrightarrow a , overrightarrow b } right) = 3 cdot 2 cdot cos 120^ circ = - 3 ]. [{ left| { overrightarrow a - 2 overrightarrow b } right|^2} = { left( { overrightarrow a - 2 overrightarrow b } right)^2} = { overrightarrow a ^2} - 4 overrightarrow a cdot overrightarrow b + 4{ overrightarrow b ^2} = { left| { overrightarrow a } right|^2} - 4 overrightarrow a cdot overrightarrow b + 4{ left| { overrightarrow b } right|^2} = {3^2} - 4 cdot left( { - 3} right) + 4 cdot {2^2} = 37 ] [ Rightarrow left| { overrightarrow a - 2 overrightarrow b } right| = sqrt {37} approx 6,1 ]. Đáp án: 6,1.

Question 17

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat B = 30^\circ ,AC = 2$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Tính giá trị của biểu thức $P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} .$

Accepted Answer

Ta có ( Delta ABC ) vuông tại (A ) có (AB = frac{{AC}}{{ tan B}} = frac{2}{{ tan 30^ circ }} = 2 sqrt 3 . ) Suy ra (BC = sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = sqrt {{{ left( {2 sqrt 3 } right)}^2} + {2^2}} = 4. ) (P = overrightarrow {AM} cdot overrightarrow {BM} = frac{1}{2} left( { overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} } right) cdot frac{1}{2} overrightarrow {BC} = frac{1}{4} left( { overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {BC} + overrightarrow {AC} cdot overrightarrow {BC} } right) ) ( = frac{1}{4} left( { - AB cdot BC cdot cos B + AC cdot BC cdot cos C} right) ) ( = frac{1}{4} left( { - 2 sqrt 3 cdot 4 cdot cos 30^ circ + 2 cdot 4 cdot cos 60^ circ } right) = - 2. ) Đáp án: −2.

Question 18

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( { - 2\,;\,1} \right)$, $B\left( {5\,;\,0} \right)$. Điểm $M\left( {a;b} \right)$ nằm trên đường thẳng $AB$ sao cho $\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} } \right) = 135^\circ $. Tính tổng $a + b.$

Accepted Answer

2

Question 19

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, một đài kiểm soát không lưu đặt ở gốc tọa độ $O$, đơn vị trên mỗi trục là kilômet. Một máy bay chuyển động theo đường thẳng, bay qua hai vị trí $A\left( { - 5;5} \right)$ và $B\left( {2;6} \right)$. Biết rằng khi máy bay đến vị trí điểm $M\left( {a;b} \right)$ thì máy bay gần trạm kiểm soát không lưu nhất. Tính giá trị biểu thức $20a - 15b$.

Accepted Answer

Máy bay (M ) chuyển động theo đường thẳng đi qua hai điểm (A,B ) nên ta có (M,A,B ) thẳng hàng hay ( overrightarrow {AM} = left( {a + 5;b - 5} right), overrightarrow {AB} = left( {7;1} right) ) cùng phương. Khi đó, ta có ( frac{{a + 5}}{7} = frac{{b - 5}}{1} Leftrightarrow a - 7b = - 40 ) (1). Mặt khác ta có khoảng cách từ máy bay đến trạm không lưu là (OM ), (OM ) nhỏ nhất khi (M ) là hình chiếu của (O ) trên (AB ) hay ( overrightarrow {OM} bot overrightarrow {AB} ) ( left( {M equiv H} right) ) ( Rightarrow overrightarrow {OM} cdot overrightarrow {AB} = 0 Rightarrow 7a + b = 0 ) (2). Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình ( left { begin{array}{l}a - 7b = - 40 7a + b = 0 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}a = - frac{4}{5} b = frac{{28}}{5} end{array} right. ). Vậy (20a - 15b = - 100 ). Đáp án: −100.

Question 20

Một vật nằm trên mặt phẳng ngang chịu tác dụng của hai lực $\overrightarrow {{F_1}} $ có phương song song với mặt phẳng ngang và $\overrightarrow {{F_2}} $ theo phương tạo với mặt phẳng ngang một góc $60^\circ $(như hình vẽ). Biết rằng độ lớn của các lực là $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 50\,{\rm{N}}$, $\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 30\,{\rm{N}}$. Ta nhận thấy vật di chuyển theo phương nằm ngang một quãng đường $28$m.

![c (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/10-1754229378.png)

Tính công sinh ra (đơn vị: Jun) bởi lực $\overrightarrow F $ là hợp lực của hai lực $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $ nói trên.

Accepted Answer

Dựng hình bình hành (ABCM. ) Ta có ( overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {MC} = overrightarrow {MB} ). Suy ra độ lớn của tổng hợp lực tác dụng lên vật là: [ left| { overrightarrow F } right| = left| { overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} } right| = left| { overrightarrow {MB} } right| = MB ]. Xét tam giác (CMB ) có (M{B^2} = M{C^2} + B{C^2} - 2MC cdot BC cdot cos widehat {MCB} = {50^2} + {30^2} - 2 cdot 50 cdot 30 cdot cos 120^ circ = 4900 ). Suy ra ( left| { overrightarrow F } right| = sqrt {4900} = 70 ) N. Góc tạo bởi lực ( vec F ) và phương chuyển động là ( widehat {BMC} ) với ( cos widehat {BMC} = frac{{M{B^2} + M{C^2} - B{C^2}}}{{2MB cdot MC}} = frac{{{{70}^2} + {{50}^2} - {{30}^2}}}{{2 cdot 70 cdot 50}} = frac{{13}}{{14}} ). Gọi (MD ) là quãng đường vật di chuyển, khi đó công sinh bởi lực ( vec F ) là: (A = overrightarrow F cdot overrightarrow {MD} = left| { overrightarrow F } right| cdot left| { overrightarrow {MD} } right| cdot cos widehat {BMC} = 70 cdot 28 cdot frac{{13}}{{14}} = 1820 ; )J. Đáp án: 1820.

20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Xem trước câu hỏi