20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9. Tích của một vectơ với một số (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Question 1

**Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn **

Cho $\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 $ và điểm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm thỏa mãn $\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow a $ và $\overrightarrow {ON} = - 4\overrightarrow a $. Khi đó:

Accepted Answer

$\overrightarrow {MN} = - 7\overrightarrow a $.

Question 2

Cho tam giác $ABC$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Tìm điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $.

Accepted Answer

**B****. **$M$là trung điểm của $IC$.

Question 3

Cho $\Delta ABC$ và một điểm *M* tùy ý. Chọn hệ thức đúng?

Accepted Answer

$2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} $

Question 4

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $N$ là trung điểm $AM$. Đường thẳng $BN$ cắt $AC$ tại $P$. Khi đó $\overrightarrow {AC} = x\overrightarrow {CP} $ thì giá trị của $x$ là:

Accepted Answer

$ - \frac{3}{2}$.

Question 5

Cho $\Delta ABC$. Gọi *M*, *N*, *P* lần lượt là trung điểm của *BC*,* CA*,* AB*. Phân tích $\overrightarrow {AB} $ theo hai vectơ $\overrightarrow {BN} $ và $\overrightarrow {CP} $ ta được

Accepted Answer

$\overrightarrow {AB} = - \frac{4}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CP} $

Question 6

Cho hình bình hành *ABCD* có *E*,* N* lần lượt là trung điểm của *BC*,* AE*. Tìm các số *p* và *q* sao cho $\overrightarrow {DN} = p\overrightarrow {AB} + q\overrightarrow {AC} $.

Accepted Answer

$p = \frac{5}{4};q = - \frac{3}{4}$

Question 7

Cho tam giác $ABC$ với phân giác trong $AD$. Biết $AB = 5$, $BC = 6$, $CA = 7$. Khi đó $\overrightarrow {AD} $ bằng

Accepted Answer

$\frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AC} $

Question 8

Cho $\Delta ABC$ có trọng tâm *G*, điểm *M* thỏa mãn $2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $. Khi đó điểm *M* thỏa mãn hệ thức nào sau đây?

Accepted Answer

$\overrightarrow {GM} = \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} $

Question 9

Gọi *G* là trọng tâm của $\Delta ABC$. Tập hợp điểm *M* sao cho $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 6$ là:

Accepted Answer

Đường tròn tâm G bán kính là 2.

Question 10

Cho $\Delta ABC,E$ là trung điểm *BC*,* I* là trung điểm của *AB*. Gọi *D*,* I*,* J*,* K* lần lượt là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {JC} ,\overrightarrow {IK} = m\overrightarrow {IJ} $. Tìm *m* để *A*,* K*,* D* thẳng hàng.

Accepted Answer

$m = \frac{1}{3}$.

Question 11

**Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai**

Cho bốn điểm $A,B,C,D$ có $M,N$ là trung điểm của $AB,CD$.

a) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \vec 0$.

b) $\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \vec 0{\rm{. }}$

c) $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} $.

d) $2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} {\rm{. }}$

Accepted Answer

a) Đúng. Do (M ) là trung điểm của (AB ) nên ta có ( overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} = vec 0 ). b) Đúng. Do (N ) là trung điểm của (CD ) nên ta có ( overrightarrow {NC} + overrightarrow {ND} = vec 0 ). c) Sai. Theo quy tắc cộng, ta có ( overrightarrow {MN} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {AN} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {CN} ). (1) d) Đúng. Ta lại có ( overrightarrow {MN} = overrightarrow {MB} + overrightarrow {BD} + overrightarrow {DN} ). (2) Cộng hai đẳng thức (1), (2) vế theo vế, ta được (2 overrightarrow {MN} = left( { overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} } right) + left( { overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} } right) + left( { overrightarrow {CN} + overrightarrow {DN} } right) ). Kết hợp với kết quả ở ý a) và b), ta suy ra được (2 overrightarrow {MN} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} ).

Question 12

Gọi $AN, CM$ là các đường trung tuyến của tam giác $ABC$ và $G$ là trọng tâm. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Sai. Theo tính chất trung điểm đoạn thẳng BC ta có [ overrightarrow {AN} = frac{1}{2} left( { overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} } right) ]. b) Sai. Vì G là trọng tâm tam giác [ABC ] nên [ overrightarrow {CM} = frac{3}{2} overrightarrow {CG} ]. c) Đúng. Do M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác [ABC ], do đó ta có [ overrightarrow {MN} = frac{1}{2} overrightarrow {AC} = frac{1}{2} left( { overrightarrow {BC} - overrightarrow {BA} } right) ]. d) Đúng. Ta có [ overrightarrow {AN} = frac{1}{2} left( { overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} } right) = frac{1}{2} overrightarrow {AB} + frac{1}{2} overrightarrow {AC} ]; [ overrightarrow {CM} = overrightarrow {CA} + overrightarrow {AM} Rightarrow frac{1}{2} overrightarrow {CM} = frac{1}{2} overrightarrow {CA} + frac{1}{2} overrightarrow {AM} ]. Suy ra [ overrightarrow {AN} + frac{1}{2} overrightarrow {CM} = frac{1}{2} overrightarrow {AB} + frac{1}{2} overrightarrow {AC} + frac{1}{2} overrightarrow {CA} + frac{1}{2} overrightarrow {AM} = frac{1}{2} overrightarrow {AB} + frac{1}{2} overrightarrow {AC} - frac{1}{2} overrightarrow {AC} + frac{1}{2} cdot frac{1}{2} overrightarrow {AB} = frac{3}{4} overrightarrow {AB} ]. Do đó [ overrightarrow {AB} = frac{4}{3} overrightarrow {AN} + frac{2}{3} overrightarrow {CM} ].

Question 13

Cho hình bình hành ABCD và các điểm M, N, P thoả mãn $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AN} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} $, $\overrightarrow {AP} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} $. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có ( overrightarrow {AN} = frac{1}{6} overrightarrow {AC} = frac{1}{6} left( { overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} } right) ). b) Sai. Ta có ( overrightarrow {MN} = overrightarrow {AN} - overrightarrow {AM} = frac{1}{6} left( { overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} } right) - frac{1}{2} overrightarrow {AB} = frac{{ - 1}}{3} overrightarrow {AB} + frac{1}{6} overrightarrow {AD} . ) c) Sai. Ta có ( overrightarrow {MP} = overrightarrow {AP} - overrightarrow {AM} = frac{1}{4} overrightarrow {AD} - frac{1}{2} overrightarrow {AB} ). d) Đúng. Ta có ( overrightarrow {MN} = frac{1}{6} left( { overrightarrow {AD} - 2 overrightarrow {AB} } right) = frac{1}{6} cdot 4 cdot frac{1}{4} left( { overrightarrow {AD} - 2 overrightarrow {AB} } right) = frac{2}{3} overrightarrow {MP} ). Suy ra ( overrightarrow {MN} , overrightarrow {MP} ) cùng phương. Vậy ba điểm (M,N,P ) thẳng hàng.

Question 14

Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$ cạnh $a$. $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

![v (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/20-1754226611.png)

a) $\overrightarrow {AC} = - 2\overrightarrow {AO} $.

b) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} $.

c) $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $.

d) $\left| {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right| = 2a$.

Accepted Answer

a) Sai. (AC = 2AO ) và vectơ ( overrightarrow {AC} , overrightarrow {AO} ) là hai vectơ cùng hướng nên ( overrightarrow {AC} = 2 overrightarrow {AO} ). b) Đúng. Theo quy tắc hình bình hành ta có ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC} ). Mặt khác ( overrightarrow {AC} = 2 overrightarrow {AO} ). Vậy ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = 2 overrightarrow {AO} ). c) Đúng. (O ) là trung điểm của (AC ) và (BD ) nên ( overrightarrow {OA} + overrightarrow {OC} = overrightarrow 0 , overrightarrow {OB} + overrightarrow {OD} = overrightarrow 0 ). Vậy ( overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} + overrightarrow {OD} = overrightarrow 0 ). d) Sai. ( overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = overrightarrow {GO} + overrightarrow {OA} + overrightarrow {GO} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {GO} + overrightarrow {OC} + overrightarrow {GO} + overrightarrow {OD} ) ( = 4 overrightarrow {GO} + left( { overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} + overrightarrow {OD} } right) = 4 overrightarrow {GO} ). Nên suy ra ( left| { overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} } right| = 4 left| { overrightarrow {GO} } right| = 4GO ). Vì hình vuông (ABCD ) có tâm (O ) cạnh (a ), (G ) là trọng tâm tam giác (ABC ) nên (GO = frac{1}{3}BO = frac{1}{6}BD = frac{{a sqrt 2 }}{6} ). Vậy ( left| { overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} } right| = frac{{2a sqrt 2 }}{3} ).

Question 15

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, $H$ là trực tâm tam giác, $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng. Xét tam giác (ABD ) nội tiếp đường tròn đường kính (AD ) nên (AB bot BD ); mặt khác (AB bot CH ) nên (BD{ rm{//}}CH ) (1). b) Đúng. Tương tự, tam giác (ACD ) nội tiếp đường tròn đường kính (AD ) nên (AC bot CD ); mặt khác (AC bot BH ) nên (CD{ rm{//}}BH ) (2). c) Sai. Từ (1) và (2) suy ra (BDCH ) là hình bình hành. Khi đó, ( overrightarrow {HA} + overrightarrow {HB} + overrightarrow {HC} = overrightarrow {HA} + overrightarrow {HD} = 2 overrightarrow {HO} ) (vì (O ) là trung điểm (AD )). d) Sai. Ta có ( overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} = overrightarrow {OH} + overrightarrow {HA} + overrightarrow {OH} + overrightarrow {HB} + overrightarrow {OH} + overrightarrow {HC} ) ( = 3 overrightarrow {OH} + left( { overrightarrow {HA} + overrightarrow {HB} + overrightarrow {HC} } right) = 3 overrightarrow {OH} + 2 overrightarrow {HO} = overrightarrow {OH} { rm{. }} )

Question 16

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có $\widehat A = 30^\circ ,AB = a$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. Khi đó, ta tính được $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|$ bằng $\frac{{a\sqrt m }}{3}$. Xác định $m$.

Accepted Answer

39

Question 17

Một vật đang ở vị trí $O$ chịu hai lực tác dụng ngược chiều nhau là ${\vec F_1}$ và $\overrightarrow {{F_2}} $, trong đó độ lớn lực ${\vec F_2}$ lớn gấp đôi độ lớn lực ${\vec F_1}$. Người ta muốn vật dừng lại nên cần tác dụng vào vật hai lực ${\vec F_3},{\vec F_4}$ có phương hợp với lực ${\vec F_1}$ các góc $45^\circ $ như hình vẽ, chúng có độ lớn bằng nhau và bằng $20\;{\rm{N}}$. Hỏi độ lớn của lực $\overrightarrow {{F_2}} $ bằng bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

![v (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/23-1754226764.png)

Accepted Answer

Ta có ( overrightarrow {{F_2}} = - 2{ vec F_1} ). Để vật trở về trạng thái cân bằng thì hợp lực bằng ( vec 0 ) ( Leftrightarrow { vec F_1} + { vec F_2} + { vec F_3} + { vec F_4} = vec 0 Leftrightarrow { vec F_1} - 2{ vec F_1} + { vec F_3} + { vec F_4} = vec 0 Leftrightarrow overrightarrow {{F_3}} + { vec F_4} = { vec F_1} ). Đặt ({ vec F_1} = overrightarrow {OA} , overrightarrow {{F_2}} = overrightarrow {OB} ,{ vec F_3} = overrightarrow {OC} , overrightarrow {{F_4}} = overrightarrow {OD} ). Ta có ({ vec F_3} + { vec F_4} = { vec F_1} Leftrightarrow overrightarrow {OC} + overrightarrow {OD} = overrightarrow {OA} ). Do đó (OCAD ) là hình bình hành. Mặt khác (OC = OD = 20 ) và ( widehat {COD} = 45^ circ + 45^ circ = 90^ circ ) nên (OCAD ) là hình vuông. Khi đó ( left| {{{ vec F}_1}} right| = OA = 20 sqrt 2 ;{ rm{N}}, left| { overrightarrow {{F_2}} } right| = 2 left| {{{ vec F}_1}} right| = 40 sqrt 2 ;{ rm{N}} approx { rm{56,6}} , ,{ rm{N}} ). Đáp án: 56,6.

Question 18

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$. Lấy các điểm $I$, $J$ sao cho $3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IC} - 2\overrightarrow {ID} = \vec 0;$ $\overrightarrow {JA} - 2\overrightarrow {JB} + 2\overrightarrow {JC} = \vec 0$. Khi đó $\overrightarrow {IJ} = k\overrightarrow {IO} $, vậy $k = ?$

Accepted Answer

(3 overrightarrow {IA} + 2 overrightarrow {IC} - 2 overrightarrow {ID} = vec 0 Leftrightarrow 3 overrightarrow {IA} + 2 left( { overrightarrow {IC} - overrightarrow {ID} } right) = vec 0 ) ( Leftrightarrow 3 overrightarrow {IA} + 2 overrightarrow {DC} = vec 0 Leftrightarrow - 3 overrightarrow {AI} + 2 overrightarrow {AB} = vec 0 Leftrightarrow overrightarrow {AI} = frac{2}{3} overrightarrow {AB} ). ( overrightarrow {JA} - 2 overrightarrow {JB} + 2 overrightarrow {JC} = vec 0 Leftrightarrow overrightarrow {AJ} - 2 left( { overrightarrow {JC} - overrightarrow {JB} } right) = vec 0 Leftrightarrow overrightarrow {AJ} = 2 overrightarrow {BC} Leftrightarrow overrightarrow {AJ} = 2 overrightarrow {AD} ). ( overrightarrow {IO} = overrightarrow {AO} - overrightarrow {AI} = frac{1}{2} overrightarrow {AC} - frac{2}{3} overrightarrow {AB} = frac{1}{2} left( { overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} } right) - frac{2}{3} overrightarrow {AB} = - frac{1}{6} overrightarrow {AB} + frac{1}{2} overrightarrow {AD} ). ( overrightarrow {IJ} = overrightarrow {AJ} - overrightarrow {AI} = 2 overrightarrow {AD} - frac{2}{3} overrightarrow {AB} = - frac{2}{3} overrightarrow {AB} + 2 overrightarrow {AD} ). Ta có: ( left { { begin{array}{*{20}{l}} begin{array}{l} overrightarrow {IO} = - frac{1}{6} overrightarrow {AB} + frac{1}{2} overrightarrow {AD} overrightarrow {IJ} = - frac{2}{3} overrightarrow {AB} + 2 overrightarrow {AD} end{array} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}} begin{array}{l}6 overrightarrow {IO} = - overrightarrow {AB} + 3 overrightarrow {AD} frac{3}{2} overrightarrow {IJ} = - overrightarrow {AB} + 3 overrightarrow {AD} end{array} end{array} Rightarrow 6 overrightarrow {IO} = frac{3}{2} overrightarrow {IJ} Leftrightarrow overrightarrow {IJ} = 4 overrightarrow {IO} } right.} right. ). Đáp án: 4.

Question 19

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BD$. Biết $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = k\overrightarrow {IJ}$, khi đó $k$ bằng:

Accepted Answer

2

Question 20

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $I,J$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,CD$ và $IJ = \frac{5}{4}$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,AC$. Tính $\left| {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CI} } \right|$.

Accepted Answer

Ta có (2 overrightarrow {AM} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} ) (1), (2 overrightarrow {BN} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {BC} ) (2), (2 overrightarrow {CI} = overrightarrow {CA} + overrightarrow {CB} ) (3). Cộng theo vế (1), (2), (3): (2 left( { overrightarrow {AM} + overrightarrow {BN} + overrightarrow {CI} } right) = left( { overrightarrow {AB} + overrightarrow {BA} } right) + left( { overrightarrow {AC} + overrightarrow {CA} } right) + left( { overrightarrow {BC} + overrightarrow {CB} } right) = vec 0{ rm{. }} ) Suy ra ( overrightarrow {AM} + overrightarrow {BN} + overrightarrow {CI} = vec 0 ). Do vậy ( left| { overrightarrow {AM} + overrightarrow {BN} + overrightarrow {CI} } right| = 0 ). Đáp án: 0.

20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9. Tích của một vectơ với một số (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Xem trước câu hỏi