20 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 16. Công thức tính góc trong không gian (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Question 1

**PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN**

Trong không gian Oxyz, cosin của góc giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và $\left( Q \right):x + y + z - 1 = 0$ bằng

Accepted Answer

$\frac{{\sqrt 3 }}{9}$.

Question 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - t\y = - 1 + 4t\z = 3t\end{array} \right.$ và ${d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 8}}{{ - 4}} = \frac{{z + 3}}{{ - 3}}$. Xác định góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.

Accepted Answer

0°.

Question 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; 1; 5), C(2; 4; 2). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và AC.

Accepted Answer

60°.

Question 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 3 = 0 và đường thẳng $d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{1}$. Tính sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Accepted Answer

$\frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Question 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Accepted Answer

30°.

Question 6

Trong không gian Oxyz, góc giữa trục Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng

Accepted Answer

90°.

Question 7

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} $ và $\overrightarrow {{n_Q}} $. Biết góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {{n_P}} $ và $\overrightarrow {{n_Q}} $ bằng 120°. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng

Accepted Answer

60°.

Question 8

Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (P): x – y + 1 = 0 bằng

Accepted Answer

45°.

Question 9

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 và đường thẳng d2 lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)$ và $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 4;1;5} \right)$.Góc giữa hai đường thẳng d1, d2 là

Accepted Answer

30°.

Question 10

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {\frac{8}{3};0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;\frac{8}{3}} \right)$ và $\Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 5}}{{ - 5}}$. Khi đó góc giữa đường thẳng D và mặt phẳng (ABC) bằng

Accepted Answer

90°.

Question 11

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\y = 3 + t\z = 4\end{array} \right.$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0$.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của (P).

b) Điểm M(0; 4; 4) thuộc $\Delta$.

c) Góc giữa $\Delta$ và (P) bằng 60°.

d) Đường thẳng d đi qua điểm M(0; 4; 4), song song với (P) và tạo với $\Delta$ một góc 45° có phương trình là $\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}$.

Accepted Answer

a) ( overrightarrow n = left( {1; - 2;2} right) ) là một vectơ pháp tuyến của (P). b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng D thỏa mãn. Do đó M Î D. c) Đường thẳng D có một vectơ chỉ phương là ( overrightarrow u = left( { - 1;1;0} right) ). Ta có ( sin left( { Delta , left( P right)} right) = frac{{ left| { left( { - 1} right).1 + 1. left( { - 2} right) + 0.2} right|}}{{ sqrt {{{ left( { - 1} right)}^2} + {1^2} + {0^2}} . sqrt {{1^2} + {{ left( { - 2} right)}^2} + {2^2}} }} = frac{1}{{ sqrt 2 }} ). Suy ra (D, (P)) = 45°. d) Gọi ( overrightarrow {{u_1}} = left( {a;b;c} right) left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} right) ) là một vectơ chỉ phương của d. Do d // (P) nên ( overrightarrow {{u_1}} . overrightarrow n = 0 Leftrightarrow a - 2b + 2c = 0 ) (1). Vì ( cos left( {d, Delta } right) = cos 45^ circ ) nên ( frac{{ left| { - a + b} right|}}{{ sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} . sqrt 2 }} = frac{1}{{ sqrt 2 }} ) ( Leftrightarrow left| { - a + b} right| = sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} ) ( Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} ) ( Leftrightarrow {c^2} = - 2ab )(2). Từ (1) và (2) có ( left { begin{array}{l}a - 2b + 2c = 0 {c^2} + 2ab = 0 end{array} right. ) ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}a = 2b - 2c {c^2} + 2 left( {2b - 2c} right)b = 0 end{array} right. ) ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}a = 2b - 2c { left( {c - 2b} right)^2} = 0 end{array} right. ) ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}a = 2b - 2c c = 2b end{array} right. ) ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}a = - c c = 2b end{array} right. ). Chọn b = 1 ( Rightarrow a = - 2;c = 2 ). Suy ra đường thẳng d nhận ( overrightarrow {{u_1}} = left( { - 2;1;2} right) ) làm vectơ chỉ phương. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là ( frac{x}{{ - 2}} = frac{{y - 4}}{1} = frac{{z - 4}}{2} ) hay ( frac{{x - 2}}{{ - 2}} = frac{{y - 3}}{1} = frac{{z - 2}}{2} ). Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Question 12

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\y = 4 + 2t\z = - 3 - t\end{array} \right.$ và mặt phẳng (P) có phương trình $2x + y + z - 1 = 0$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Question 13

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):3x + 6y - 3z + 2024 = 0$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Một vectơ chỉ phương của D là ( overrightarrow u = left( { - 1; - 2;1} right) ). b) Một vectơ pháp tuyến của (P) là ( overrightarrow n = left( {1;2; - 1} right) ). c) ( sin left( { Delta , left( P right)} right) = frac{{ left| { left( { - 1} right).1 + left( { - 2} right).2 + 1. left( { - 1} right)} right|}}{{ sqrt {{{ left( { - 1} right)}^2} + {{ left( { - 2} right)}^2} + {1^2}} . sqrt {{1^2} + {2^2} + {{ left( { - 1} right)}^2}} }} = 1 ). Vậy (D, (P)) = 90°. d) Vì D ^ (P) nên A' trùng B'. Do đó A'B' = 0. Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Question 14

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{2}$; ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\y = 3 + t\z = 2 - mt\end{array} \right.$.

**a)** Khi m = 0, số đo góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng 135°.

**b) **$\cos \left( {{d_1},Ox} \right) = - \frac{1}{3}$.

**c)** Đường thẳng D đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với (P): 2x + 2y + z – 4 = 0 tạo với đường thẳng d1 một góc α có $\cos \alpha = \frac{4}{9}$.

**d)** Khi $m = \frac{a}{b},a,b \in \mathbb{Z},\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, số đo góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng 90°. Giá trị biểu thức ${a^2} + {b^2} = 13$.

Accepted Answer

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là ( overrightarrow {{u_1}} = left( { - 1; - 2;2} right) ) a) Khi m = 0, đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là ( overrightarrow {{u_2}} = left( {1;1;0} right) ). Khi đó ( cos left( {{d_1},{d_2}} right) = frac{{ left| { left( { - 1} right).1 + left( { - 2} right).1 + 2.0} right|}}{{ sqrt {{{ left( { - 1} right)}^2} + {{ left( { - 2} right)}^2} + {2^2}} . sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = frac{{ sqrt 2 }}{2} ). Suy ra (d1, d2) = 45°. b) Trục Ox có vectơ chỉ phương là ( overrightarrow i = left( {1;0;0} right) ). ( cos left( {{d_1},Ox} right) = frac{{ left| { left( { - 1} right).1 + left( { - 2} right).0 + 2.0} right|}}{{ sqrt {{{ left( { - 1} right)}^2} + {{ left( { - 2} right)}^2} + {2^2}} }} = frac{1}{3} ). c) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến ( overrightarrow n = left( {2;2;1} right) ), Đường thẳng D đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là ( overrightarrow n = left( {2;2;1} right) ). Khi đó ( cos left( {{d_1}, Delta } right) = frac{{ left| { left( { - 1} right).2 + left( { - 2} right).2 + 2.1} right|}}{{ sqrt {{{ left( { - 1} right)}^2} + {{ left( { - 2} right)}^2} + {2^2}} . sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = frac{4}{9} ). d) Số đo góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng 90° khi hai đường thẳng vuông góc. Khi đó ( overrightarrow {{u_1}} bot overrightarrow v Leftrightarrow overrightarrow {{u_1}} . overrightarrow v = 0 Leftrightarrow - 3 - 2m = 0 Leftrightarrow m = - frac{3}{2} ). Suy ra (a = - 3;b = 2 ). Vậy ({a^2} + {b^2} = 13 ). Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Question 15

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0$. Xét các vectơ $\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)$.

Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Accepted Answer

a) ( Delta : frac{{x - 2024}}{2} = frac{y}{1} = frac{{z + 2025}}{{ - 2}} ) có một vectơ chỉ phương ( overrightarrow u = left( {2;1; - 2} right) ). b) ( left( P right):2x + 2y - z + 1 = 0 ) có một vectơ pháp tuyến ( overrightarrow n = left( {2;2;; - 1} right) ). c) Ta có ( sin left( { Delta , left( P right)} right) = frac{{ left| {2.2 + 1.2 - 2. left( { - 1} right)} right|}}{{ sqrt {{2^2} + {1^2} + {{ left( { - 2} right)}^2}} . sqrt {{2^2} + {2^2} + {{ left( { - 1} right)}^2}} }} = frac{8}{9} ). Suy ra ({ cos ^2} left( { Delta , left( P right)} right) = 1 - { sin ^2} left( { Delta , left( P right)} right) = 1 - frac{{64}}{{81}} = frac{{17}}{{81}} ) ( Rightarrow cos left( { Delta , left( P right)} right) = frac{{ sqrt {17} }}{9} ). d) ( sin left( { Delta , left( P right)} right) = frac{8}{9} Rightarrow left( { Delta , left( P right)} right) approx 63^ circ ). Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Question 16

**PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN**

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng ${d_1}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{2}$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\y = 1\z = 1 - t\end{array} \right.$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng d1, d2. Giá trị $\cos \varphi $ có dạng $\frac{{a\sqrt c }}{b}$. Tính giá trị biểu thức $P = b - 3a + c$.

Accepted Answer

Ta có ( overrightarrow {{u_1}} = left( { - 1;2;2} right), overrightarrow {{u_2}} = left( {2;0; - 1} right) ) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1, d2. Khi đó ( cos varphi = frac{{ left| { - 1.2 + 2.0 + 2. left( { - 1} right)} right|}}{{ sqrt {{{ left( { - 1} right)}^2} + {2^2} + {2^2}} . sqrt {{2^2} + {0^2} + {{ left( { - 1} right)}^2}} }} = frac{4}{{3 sqrt 5 }} = frac{{4 sqrt 5 }}{{15}} ). Suy ra (a = 4;b = 15;c = 5 Rightarrow b - 3a + c = 15 - 3.4 + 5 = 8 ). Trả lời: 8.

Question 17

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\y = 2 + t\z = - 2 + t\end{array} \right.$ và $\left( P \right): - x + 2y + 2z + 5 = 0$. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(−1; 0; −1) cắt đường thẳng D1 và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất. Vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$. Tính tổng $a + 2b - 3c$.

Accepted Answer

Giả sử đường thẳng d cắt đường thẳng D1 tại B, ta có (B left( {1 + 2t;2 + t; - 2 - t} right) in { Delta _1} ). Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ( overrightarrow {AB} = left( {2t + 2;t + 2; - t - 1} right) ) mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến ( overrightarrow n = left( { - 1;2;2} right) ). Gọi φ là góc giữa d và (P), ta có ( sin varphi = frac{{ left| { - 2t - 2 + 2t + 4 - 2t - 2} right|}}{{3 sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} = frac{{ left| {2t} right|}}{{3 sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} ge 0 ). Suy ra d tạo với mặt phẳng (P) một góc φ nhỏ nhất khi φ = 0° hay sinφ = 0 Þ t = 0. Khi đó đường thẳng d đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương ( overrightarrow {AB} = left( {2;2; - 1} right) ). Vậy (a = 2;b = 2;c = - 1 Rightarrow a + 2b - 3c = 2 + 2.2 - 3. left( { - 1} right) = 9 ). Trả lời: 9.

Question 18

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz - 1 = 0$ với c < 0 đi qua 2 điểm A(0; 1; 0); B(1; 0; 0) và tạo với (Oyz) một góc 60°. Tính tổng a + b + c (làm tròn đến hàng phần trăm).

Accepted Answer

Mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A, B nên ta có ( left { begin{array}{l}b - 1 = 0 a - 1 = 0 end{array} right. Rightarrow a = b = 1 ). (P) tạo với (Oyz) một góc 60° nên ( cos left( { left( P right), left( {Oyz} right)} right) = frac{{ left| a right|}}{{ sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = frac{1}{2} ) ( Rightarrow frac{1}{{ sqrt {2 + {c^2}} }} = frac{1}{2} Rightarrow c = - sqrt 2 ). Khi đó (a + b + c = 2 - sqrt 2 approx 0,59 ). Trả lời: 0,59.

Question 19

Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí A(2; -1; 3) đến vị trí B(8; 7; 1). Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Accepted Answer

11

Question 20

Bản vẽ thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục tọa độ Oxyz. Sân nhà của công trình thuộc mặt phẳng (Oxy), đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm A(1; 2; -1) và B(5; 6; -2). Góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sân bằng bao nhiêu độ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Accepted Answer

10

20 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 16. Công thức tính góc trong không gian (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Xem trước câu hỏi