20 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 17. Phương trình mặt cầu (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Question 1

**PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN**

Cho điểm M nằm ngoài mặt cầu tâm I, bán kính R. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Accepted Answer

OM > R.

Question 2

Cho mặt cầu (S): ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$. Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) là

Accepted Answer

I(−1; 2; 1) và R = 3.

Question 3

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6$. Đường kính của (S) bằng

Accepted Answer

$2\sqrt 6 $.

Question 4

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0$. Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là

Accepted Answer

I(1; −2; −1) và R = 3.

Question 5

Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu có tâm I(7; 6; −5) và bán kính 9?

Accepted Answer

${\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 81$.

Question 6

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(2; 1; −3) và bán kính 9 có phương trình là

Accepted Answer

**A. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 81$**.

Question 7

Mặt cầu tâm I(−3; 0; 4) và đi qua điểm A(−3; 0; 0) có phương trình là

Accepted Answer

${\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16$

Question 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; 7), B(−3; 8; −1). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là

Accepted Answer

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 45$

Question 9

Mặt cầu có tâm I(1; −2; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) là

Accepted Answer

**C. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1$**.

Question 10

Trong không gian (Oxyz), một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí I(1; 0; −1). Vùng phủ sóng của thiết bị có ranh giới là một mặt cầu bán kính bằng $\sqrt 2 $. Điểm nào sau đây thuộc vùng phủ sóng của thiết bị?

Accepted Answer

$B(1; 1; -1)$

Question 11

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Question 12

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 3 = 0$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Question 13

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\y = - 1 - t\z = 0\end{array} \right.$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đường thẳng d đi qua M(4; −1; 0) và có một vectơ chỉ phương là ( overrightarrow u = left( {1; - 1;0} right) ). b) Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; 0), R = 2. c) d) Tọa độ giao điểm của d và mặt cầu (S) là nghiệm của hệ ( left { begin{array}{l}{ left( {x - 1} right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4 x = 4 + t y = - 1 - t z = 0 end{array} right. ) ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}{ left( {3 + t} right)^2} + { left( { - 1 - t} right)^2} + {0^2} = 4 x = 4 + t y = - 1 - t z = 0 end{array} right. ) ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}2{t^2} + 8t + 6 = 0 x = 4 + t y = - 1 - t z = 0 end{array} right. ) ( Leftrightarrow left { begin{array}{l} left[ begin{array}{l}t = - 1 t = - 3 end{array} right. x = 4 + t y = - 1 - t z = 0 end{array} right. ). Với t = −1 thì ( left { begin{array}{l}x = 3 y = 0 z = 0 end{array} right. ) ( Rightarrow A left( {3;0;0} right) ). Với t = −3 thì ( left { begin{array}{l}x = 1 y = 2 z = 0 end{array} right. ) ( Rightarrow B left( {1;2;0} right) ). Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Question 14

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 3). Xét các khẳng định sau:

a) Mặt cầu tâm B, bán kính R = 3 có phương trình {x^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 3.

b) Mặt cầu tâm A, đi qua B có phương trình là {(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 5.

c) Mặt cầu nhận BC làm đường kính có phương trình là {x^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 3)^2} = 13/4.

d) Mặt cầu tâm O và có bán kính R = OG với G là trọng tâm tam giác ABC, có phương trình là {x^2} + {y^2} + {z^2} = 14/9.

Accepted Answer

a) Mặt cầu tâm B, bán kính R = 3 có phương trình ({x^2} + { left( {y - 2} right)^2} + {z^2} = 9 ). b) Có (R = AB = sqrt {{{ left( {0 - 1} right)}^2} + {{ left( {2 - 0} right)}^2} + {{ left( {0 - 0} right)}^2}} = sqrt 5 ). Mặt cầu tâm A, đi qua B có phương trình là ({ left( {x - 1} right)^2} + {y^2} + {z^2} = 5 ). c) Mặt cầu đường kính BC nhận trung điểm (I left( {0;1; frac{3}{2}} right) ) của BC làm tâm và (R = frac{{BC}}{2} = frac{{ sqrt {{2^2} + {3^2}} }}{2} = frac{{ sqrt {13} }}{2} ). Suy ra mặt cầu nhận BC làm đường kính có phương trình ({x^2} + { left( {y - 1} right)^2} + { left( {z - frac{3}{2}} right)^2} = frac{{13}}{4} ). d) (G left( { frac{1}{3}; frac{2}{3};1} right) ) là trọng tâm của DABC. (R = OG = sqrt { frac{1}{9} + frac{4}{9} + 1} = sqrt { frac{{14}}{9}} ). Phương trình mặt cầu cần tìm là ({x^2} + {y^2} + {z^2} = frac{{14}}{9} ). Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Question 15

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm D(4; 0; -1), E(2; 2; 3), F(5; 3; 7). Gọi T là trung điểm của đoạn DE.

Accepted Answer

a) (T left( { frac{{4 + 2}}{2}; frac{{0 + 2}}{2}; frac{{ - 1 + 3}}{2}} right) = left( {3;1;1} right) ). b) Có (R = frac{{DE}}{2} = frac{{ sqrt {{{ left( {2 - 4} right)}^2} + {{ left( {2 - 0} right)}^2} + {{ left( {3 + 1} right)}^2}} }}{2} = sqrt 6 ). Phương trình mặt cầu (S) là ({ left( {x - 3} right)^2} + { left( {y - 1} right)^2} + { left( {z - 1} right)^2} = 6 ). c) Có [TF = sqrt {{{ left( {5 - 3} right)}^2} + {{ left( {3 - 1} right)}^2} + {{ left( {7 - 1} right)}^2}} = 2 sqrt {11} > sqrt 6 ]. Do đó một người dùng ở vị trí F thì không nhận được tín hiệu sóng của trạm. d) Nếu hai người dùng đều nhận được tín hiệu của trạm phát sóng thì khoảng cách giữa hai người nhỏ hơn hoặc bằng đường kính phủ sóng là (2 sqrt 6 ) km. Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Question 16

**PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN**

Một quả bóng bay hình cầu có phương trình ${x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 1$ trong hệ trục tọa độ Oxyz (với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, đơn vị trên trục là mét). Giả sử một chú chim bay lên cao và đậu lên đỉnh của quả bóng bay (xem hình vẽ minh họa). Hỏi chú chim cách mặt đất bao nhiêu mét?

![Mặt cầu \({x^2} + {y^2} (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/14-1760675985.png)

Accepted Answer

Mặt cầu ({x^2} + {y^2} + { left( {z - 2} right)^2} = 1 ) có tâm (I left( {0;0;2} right),R = 1 ). Ta có (d left( {I, left( {Oxy} right)} right) = 2 ). Do đó chú chim cách mặt đất: 2 + 1 = 3 mét. Trả lời: 3.

Question 17

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}$, $\left( P \right):x + 2y - 2z - 2 = 0$, $\left( Q \right):x + 2y - 2z + 4 = 0$. Gọi mặt cầu S(I, R) có tâm I thuộc D và tiếp xúc với (P), (Q). Khi đó đường kính của mặt cầu có giá trị bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Vì I Î D nên (I left( {2 - 3t;1 + 2t;1 + 2t} right) ). Vì (R = d left( {I, left( P right)} right) = d left( {I, left( Q right)} right) ) ( Leftrightarrow frac{{ left| {2 - 3t + 2 + 4t - 2 - 4t - 2} right|}}{{ sqrt {{1^2} + {2^2} + {{ left( { - 2} right)}^2}} }} = frac{{ left| {2 - 3t + 2 + 4t - 2 - 4t + 4} right|}}{{ sqrt {{1^2} + {2^2} + {{ left( { - 2} right)}^2}} }} ) ( Leftrightarrow left| { - 3t} right| = left| {6 - 3t} right| ) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l} - 3t = 6 - 3t - 3t = 3t - 6 end{array} right. ) ( Leftrightarrow t = 1 ). Với (t = 1 ) thì (R = d left( {I, left( P right)} right) = frac{{ left| { - 3} right|}}{3} = 1 ). Đường kính của mặt cầu là 2. Trả lời: 2.

Question 18

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua hai điểm A(1; 0; −1), B(−1; 2; 1) và có tâm I thuộc mặt phẳng (P): x + y – z – 1 = 0. Tính bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).

Accepted Answer

Giả sử I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S). Vì I Î (P) nên a + b – c – 1 = 0. Lại có (IA = IB ) ( Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} ) ( Leftrightarrow { left( {1 - a} right)^2} + {b^2} + { left( { - 1 - c} right)^2} = { left( { - 1 - a} right)^2} + { left( {2 - b} right)^2} + { left( {1 - c} right)^2} ) ( Leftrightarrow a - b - c + 1 = 0 ). Khi đó ( left { begin{array}{l}a + b - c - 1 = 0 a - b - c + 1 = 0 end{array} right. ) ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}b = 1 a = c end{array} right. ). Khi đó (I left( {c;1;c} right) ). Ta có (R = IA = sqrt {{{ left( {1 - c} right)}^2} + {1^2} + {{ left( { - 1 - c} right)}^2}} = sqrt {2{c^2} + 3} ge sqrt 3 ). Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) là ( sqrt 3 approx 1,73 ) khi (I left( {0;1;0} right) ). Trả lời: 1,73.

Question 19

Khi đặt hệ tọa độ Oxyz vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu (S) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu (S) có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 4y - 6z + 13 = 0$. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm của vùng phủ sóng là a (km). Giá trị của a bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm của vùng phủ sóng chính là đường kính của mặt cầu. Mặt cầu (S) có tâm I(4; 2; 3) và R = 4. Suy ra khoảng cách xa nhất giữa hai điểm phú sóng là 8 km. Trả lời: 8.

Question 20

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): ${\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} + {\left( {z + 12} \right)^2} = 25$ có tâm I(a; b; c). Hãy tính $a + 2b - 3c$.

Accepted Answer

51

20 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 17. Phương trình mặt cầu (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Xem trước câu hỏi