20 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 6. Vectơ trong không gian (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Question 1

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Vectơ nào sau đây cùng phương với vectơ $\overrightarrow {AB} $?

Accepted Answer

$\overrightarrow {CD} $.

Question 2

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Vectơ $\overrightarrow {BA} $ bằng với vectơ nào sau đây?

Accepted Answer

$\overrightarrow {CD} $.

Question 3

Cho hình chóp S.ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Accepted Answer

$\overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {BA} $.

Question 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tính tổng $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} $.

Accepted Answer

$4\overrightarrow {SO} $.

Question 5

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tính tổng $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A'C'} $.

Accepted Answer

$2\overrightarrow {AC} $

Question 6

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {A'C'} $.

![Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {A'C'} $.
 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid4-1756603154.png)

Accepted Answer

45°.

Question 7

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có E là trung điểm của BB', biết $\overrightarrow {AE} = m\overrightarrow {AA'} + n\overrightarrow {CA} + p\overrightarrow {CB} $. Giá trị của 2m – n + p bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

3.

Question 8

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow a } \right| = 3;\left| {\overrightarrow b } \right| = 2$ và $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 3$. Xác định góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $.

Accepted Answer

α = 120°.

Question 9

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DA'} $ bằng

Accepted Answer

60°.

Question 10

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và $\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {SA} $ và $\overrightarrow {BC} $?

Accepted Answer

90°.

Question 11

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm MN. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Có ( overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} = 2 overrightarrow {GM} ; overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = 2 overrightarrow {GN} ). Do đó ( overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = 2 left( { overrightarrow {GM} + overrightarrow {GN} } right) = overrightarrow 0 ). b) ( overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} + overrightarrow {MD} ) ( = 4 overrightarrow {MG} + overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} ) ( = 4 overrightarrow {MG} ). c) d) Ta có ( overrightarrow {MN} = overrightarrow {MB} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {CN} ); ( overrightarrow {MN} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {DN} ). Suy ra (2 overrightarrow {MN} = overrightarrow {MB} + overrightarrow {MA} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {CN} + overrightarrow {DN} ) ( = overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} ) ( = overrightarrow {BA} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {AB} + overrightarrow {BD} ) ( = overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} ). Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Question 12

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi I là tâm hình vuông ABCD và G là trọng tâm của tam giác AB'C. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

Gọi I là tâm hình vuông ABCD. gọi G là trọng tâm của tam giác AB'C. (a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} $. (b) $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI} $. (c) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {A'C'} $. (d)$\overrightarrow {BD'} = 2\overrightarrow {BG} $.

Question 13

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a và M là trung điểm của CD. Khi đó:

(a)$\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SD} = \overrightarrow 0 $.

(b)$\cos \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SM} } \right) = \frac{{2\sqrt {21} }}{{21}}$.

(c)$\left| {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {SA} } \right| = a\sqrt {21} $.

(d)$\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}{a^2}$.

Accepted Answer

a) ( overrightarrow {SB} - overrightarrow {MB} - overrightarrow {SC} - overrightarrow {SD} ) ( = overrightarrow {SB} + overrightarrow {BM} - left( { overrightarrow {SC} + overrightarrow {SD} } right) ) ( = overrightarrow {SM} - 2 overrightarrow {SM} = - overrightarrow {SM} = overrightarrow {MS} ). b) Có (AM = sqrt {A{D^2} + D{M^2}} = sqrt {4{a^2} + frac{{{a^2}}}{4}} = frac{{a sqrt {17} }}{2} ). Xét SAM vuông tại A, có (SM = sqrt {S{A^2} + A{M^2}} = sqrt {{a^2} + frac{{17{a^2}}}{4}} = frac{{a sqrt {21} }}{2} ). Có ( left( { overrightarrow {SA} , overrightarrow {SM} } right) = widehat {ASM} ). Khi đó ( cos left( { overrightarrow {SA} , overrightarrow {SM} } right) = cos widehat {ASM} = frac{{SA}}{{SM}} = a: frac{{a sqrt {21} }}{2} = frac{{2 sqrt {21} }}{{21}} ). c) ({ left| { overrightarrow {AM} - overrightarrow {SA} } right|^2} = { overrightarrow {AM} ^2} + { overrightarrow {SA} ^2} - 2 overrightarrow {AM} . overrightarrow {SA} ) ( = { overrightarrow {AM} ^2} + { overrightarrow {SA} ^2} - 2 left| { overrightarrow {AM} } right|. left| { overrightarrow {SA} } right|. cos left( { overrightarrow {AM} , overrightarrow {SA} } right) ) ( = frac{{17{a^2}}}{4} + {a^2} - 2. frac{{a sqrt {17} }}{2}.a. cos 90^ circ = frac{{21{a^2}}}{4} ) ( Rightarrow left| { overrightarrow {AM} - overrightarrow {SA} } right| = frac{{a sqrt {21} }}{2} ). d) Ta có ( overrightarrow {SM} . overrightarrow {AB} = left( { overrightarrow {AM} - overrightarrow {AS} } right). overrightarrow {AB} = overrightarrow {AM} . overrightarrow {AB} - overrightarrow {AS} . overrightarrow {AB} = overrightarrow {AM} . overrightarrow {AB} ) (vì ( overrightarrow {AS} bot overrightarrow {AB} )). Ta có (BM = sqrt {B{C^2} + C{M^2}} = sqrt {4{a^2} + {{ left( { frac{a}{2}} right)}^2}} = frac{{a sqrt {17} }}{2} ); (AM = frac{{a sqrt {17} }}{2} ). Xét ABM có ( cos widehat {BAM} = frac{{A{B^2} + A{M^2} - B{M^2}}}{{2.AB.AM}} ) ( = frac{{{a^2} + frac{{17{a^2}}}{4} - frac{{17{a^2}}}{4}}}{{2.a. frac{{a sqrt {17} }}{2}}} ) ( = frac{1}{{ sqrt {17} }} ). Ta có ( overrightarrow {AM} . overrightarrow {AB} = left| { overrightarrow {AM} } right|. left| { overrightarrow {AB} } right|. cos left( { overrightarrow {AM} , overrightarrow {AB} } right) ) ( = left| { overrightarrow {AM} } right|. left| { overrightarrow {AB} } right|. cos widehat {BAM} ) ( = frac{{a sqrt {17} }}{2}.a. frac{1}{{ sqrt {17} }} = frac{{{a^2}}}{2} ). Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Question 14

Trong không gian, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 $(tham khảo hình vẽ)

![Trong không gian, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid11-1756603250.png)

(a) Hai vectơ \(\overrightarrow {AO} ;\overrightarrow {CO} $ bằng nhau.

(b)$\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} $.

(c)$\overrightarrow {GS} = 4\overrightarrow {OG} $.

(d) Nếu tam giác ABC có AB = 2a; $BC = a\sqrt 7 $; AC = 3a thì $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 3{a^2}$.

Accepted Answer

a) Hai vectơ ( overrightarrow {AO} ; overrightarrow {CO} ) cùng độ dài nhưng ngược hướng nên hai vectơ này không bằng nhau. b) Ta có ( overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} = overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = 2 overrightarrow {SO} ). c) ( overrightarrow {GS} + overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = overrightarrow 0 ) ( Leftrightarrow overrightarrow {GS} + overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} + overrightarrow {OD} - 4 overrightarrow {OG} = overrightarrow 0 ) ( Leftrightarrow overrightarrow {GS} - 4 overrightarrow {OG} = overrightarrow 0 ) (vì ( overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} + overrightarrow {OD} = overrightarrow 0 )) ( Leftrightarrow overrightarrow {GS} = 4 overrightarrow {OG} ). d) Xét ABC có ( cos widehat {BAC} = frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = frac{{4{a^2} + 9{a^2} - 7{a^2}}}{{2.2a.3a}} = frac{{6{a^2}}}{{12{a^2}}} = frac{1}{2} ). Ta có ( overrightarrow {AB} . overrightarrow {AC} = left| { overrightarrow {AB} } right|. left| { overrightarrow {AC} } right|. cos left( { overrightarrow {AB} , overrightarrow {AC} } right) = left| { overrightarrow {AB} } right|. left| { overrightarrow {AC} } right|. cos widehat {BAC} ) ( = 2a.3a. frac{1}{2} = 3{a^2} ). Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Question 15

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 8 và M là trung điểm CD. Tính $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} $.

Accepted Answer

Vì ACD, BCD là tam giác đều cạnh 8 nên (AM = BM = frac{{8 sqrt 3 }}{2} = 4 sqrt 3 ). Xét ABM có ( cos widehat {BAM} = frac{{A{B^2} + A{M^2} - B{M^2}}}{{2.AB.AM}} = frac{{{8^2} + {{ left( {4 sqrt 3 } right)}^2} - {{ left( {4 sqrt 3 } right)}^2}}}{{2.8.4 sqrt 3 }} = frac{1}{{ sqrt 3 }} ). Ta có [ overrightarrow {AB} . overrightarrow {AM} = left| { overrightarrow {AB} } right|. left| { overrightarrow {AM} } right|. cos left( { overrightarrow {AB} , overrightarrow {AM} } right) = left| { overrightarrow {AB} } right|. left| { overrightarrow {AM} } right|. cos widehat {BAM} = 8.4 sqrt 3 . frac{1}{{ sqrt 3 }} = 32 ]. Trả lời: 32.

Question 16

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' như hình vẽ. Đặt một vật tại đỉnh A, khi đó tác động vào vật bởi những lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} $ có giá trị lần lượt nằm trên các cạnh AB, AD, AA' và $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 2N,\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 3N,\left| {{F_3}} \right| = 4N$. Hãy xác định độ lớn của hợp lực $\overrightarrow F $ tác động lên vật (làm tròn đến hàng phần trăm).

![Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' như hình vẽ. Đặt một vật tại đỉnh A, khi đó tác động vào vật bởi những lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} $ c (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid15-1756603292.png)

Accepted Answer

Ta có ( overrightarrow F = overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} ) Theo quy tắc hình hộp ta có ( overrightarrow F ) có giá nằm trên cạnh AC'. Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên ( left| { overrightarrow F } right| = sqrt {{{ left| { overrightarrow {{F_1}} } right|}^2} + {{ left| { overrightarrow {{F_2}} } right|}^2} + {{ left| { overrightarrow {{F_3}} } right|}^2}} = sqrt {29} approx 5,39 ) N. Trả lời: 5,39.

Question 17

Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc 100° và có độ lớn lần lượt là 25 N và 12 N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn 4 N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Accepted Answer

Gọi ( overrightarrow {{F_1}} , overrightarrow {{F_2}} , overrightarrow {{F_3}} ) là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm O lần lượt có độ lớn là 25 N, 12 N, 4 N. Vẽ ( overrightarrow {OA} = overrightarrow {{F_1}} , overrightarrow {OB} = overrightarrow {{F_2}} , overrightarrow {OC} = overrightarrow {{F_3}} ). Dựng hình bình hành OADB và hình bình hành ODEC. Hợp lực tác động vào vật là ( overrightarrow F = overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} = overrightarrow {OD} + overrightarrow {OC} = overrightarrow {OE} ). Áp dụng định lí côsin trong tam giác OBD ta có: OD2 = BD2 + OB2 – 2BD.OB.cos ( widehat {OBD} )= OA2 + OB2 + 2OA.OB.cos100°. Vì OC  (OADB) nên OC  OD suy ra ODEC là hình chữ nhật. Do đó tam giác ODE vuông tại D. Ta có OE2 = OC2 + OD2 = OC2 + OA2 + OB2 + 2.OA.OB.cos100°. Suy ra (OE = sqrt {O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2.OA.OB. cos 100^ circ } ) ( = sqrt {{4^2} + {{25}^2} + {{12}^2} + 2.25.12. cos 100^ circ } approx 26,092 ). Vậy độ lớn của hợp lực là (F = OE approx 26 ;N ). Trả lời: 26.

Question 18

Nếu một vật có khối lượng m(kg) thì lực hấp dẫn $\overrightarrow P $ của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức $\overrightarrow P = m\overrightarrow g $, trong đó $\overrightarrow g $ là gia tốc rơi tự do có độ lớn g = 9,8 m/s2. Tính độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng 105 gam (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Accepted Answer

Đổi 105 g = 0,105 kg. Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo là: ( left| { overrightarrow P } right| = m left| { overrightarrow g } right| = 0,105.9,8 = 1,029N approx 1,03N ). Trả lời: 1,03.

Question 19

Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng $m = 3\,{\rm{kg}}$ được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích $SA\,,\,SB\,,\,SC\,,\,SD$ sao cho $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $\widehat {ASC} = 90^\circ $. Biết độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích có dạng $\frac{{a\sqrt 2 }}{4}$. Lấy $g = 10\,{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$, khi đó giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

![Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng $m = 3\,{\rm{kg}}$ được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích $SA\,,\,SB\,,\,SC\,,\,SD$ sao cho $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid18-1756603326.png)

Accepted Answer

30

20 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 6. Vectơ trong không gian (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Xem trước câu hỏi