20 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương II (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Question 1

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi O là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Accepted Answer

$\overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)$.

Question 2

Cho tứ diện ABCD. Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện?

Accepted Answer

3.

Question 3

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2. Khi đó $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} $ bằng

Accepted Answer

−2.

Question 4

Cho vectơ $\overrightarrow u = \left( {1; - 1;3} \right)$. Tọa độ của vectơ $ - 3\overrightarrow u $ là:

Accepted Answer

(−3; 3; −9).

Question 5

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; −1; 5). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OA} $ là

Accepted Answer

(3; −1; 5).

Question 6

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M\left( {\frac{1}{2};1; - 3} \right)$ và $N\left( {\frac{1}{2}; - 2;4} \right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {MN} $.

Accepted Answer

(0; −3; 7).

Question 7

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−2; 1; 0), B(0; −2; 5), C(6; −2; 1). Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {BC} $ là

Accepted Answer

−8.

Question 8

Trong không gian $Oxyz$ tìm tọa độ của điểm $A$ biết điểm $A$ nằm trên tia $Oy$ và $OA = 3$.

Accepted Answer

$A\left( {0;\,\,3;\,0} \right)$.

Question 9

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có ${M_1}\left( { - 1;0;0} \right),{M_2}\left( {0;2;0} \right),{M_3}\left( {0;0; - 3} \right)$lần lượt là hình chiếu của $M$ trên các trục $Ox\,,\,Oy\,,\,Oz$, tọa độ điểm $M$ là:

Accepted Answer

M(-1; 2; -3).

Question 10

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I\left( { - 5;0;5} \right)$ là trung điểm của đoạn $MN$, biết $M\left( {1; - 4;7} \right)$. Tìmtọa độ của điểm $N$.

Accepted Answer

$N\left( { - 11;4;3} \right)$.

Question 11

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a và $AA' = a\sqrt 2 $. Xét các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Ta có ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {AC} ). b) Ta có ( overrightarrow {A'M} = overrightarrow {A'A} + overrightarrow {AM} ) ( = overrightarrow {A'A} + overrightarrow {AB} + overrightarrow {BM} ) ( = overrightarrow {A'A} + overrightarrow {A'B'} + overrightarrow {MC} ) ( = overrightarrow {A'A} + overrightarrow {A'B'} - overrightarrow {CM} ). c) ( overrightarrow {A'M} . overrightarrow {AC} = left( { overrightarrow {A'A} + overrightarrow {A'B'} - overrightarrow {CM} } right). overrightarrow {AC} ) ( = overrightarrow {A'A} . overrightarrow {AC} + overrightarrow {A'B'} . overrightarrow {AC} - overrightarrow {CM} . overrightarrow {AC} ) ( = - overrightarrow {AA'} . overrightarrow {AC} + overrightarrow {AB} . overrightarrow {AC} + overrightarrow {CM} . overrightarrow {CA} ) [ = left| { overrightarrow {AB} .} right| left| { overrightarrow {AC} } right|. cos left( { overrightarrow {AB} , overrightarrow {AC} } right) + left| { overrightarrow {CM} } right|. left| { overrightarrow {CA} } right|. cos left( { overrightarrow {CM} , overrightarrow {CA} } right) ] [ = {a^2}. cos 60^ circ + frac{{{a^2}}}{2}. cos 60^ circ = frac{{3{a^2}}}{4} ]. d) Ta có ( overrightarrow {AB'} . overrightarrow {BC'} = left( { overrightarrow {AB} + overrightarrow {BB'} } right) left( { overrightarrow {BC} + overrightarrow {CC'} } right) ) ( = overrightarrow {AB} . overrightarrow {BC} + overrightarrow {AB} . overrightarrow {CC'} + overrightarrow {BB'} . overrightarrow {BC} + overrightarrow {BB'} . overrightarrow {CC'} ) ( = - overrightarrow {BA} . overrightarrow {BC} + overrightarrow {BB'} . overrightarrow {BB'} ) ( = - left| { overrightarrow {BA} } right|. left| { overrightarrow {BC} } right|. cos left( { overrightarrow {BA} , overrightarrow {BC} } right) + { left| { overrightarrow {BB'} } right|^2} ) ( = - {a^2}. cos 60^ circ + { left( {a sqrt 2 } right)^2} ) ( = - frac{{{a^2}}}{2} + { left( {a sqrt 2 } right)^2} ) ( = frac{{3{a^2}}}{2} ). Khi đó ( cos left( { overrightarrow {AB'} , overrightarrow {BC'} } right) = frac{{ overrightarrow {AB'} . overrightarrow {BC'} }}{{ left| { overrightarrow {AB'} } right|. left| { overrightarrow {BC'} } right|}} = frac{{ frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a sqrt 3 .a sqrt 3 }} = frac{1}{2} ) ( Rightarrow left( { overrightarrow {AB'} , overrightarrow {BC'} } right) = 60^ circ ). Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Question 12

Cho hình chóp ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc, cạnh AB = AC = a, M là trung điểm của CB, H là trung điểm của MD. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

(a) $\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}$.

(b) $\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AD} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}$.

(c) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH} = \frac{{{a^2}}}{4}$.

(d) Góc giữa vectơ $\overrightarrow {AH} $ và $\overrightarrow {BC} $ bằng 60°.

Accepted Answer

a) ( overrightarrow {DM} = frac{{ overrightarrow {DB} + overrightarrow {{ rm{DC}}} }}{2} ) ( Rightarrow overrightarrow {DM} = frac{{ overrightarrow {BD} + overrightarrow {{ rm{CD}}} }}{{ - 2}} ) b) ( overrightarrow {AH} = frac{{ overrightarrow {AM} + overrightarrow {A{ rm{D}}} }}{2} ), ( overrightarrow {AM} = frac{{ overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} }}{2} ) ( Rightarrow overrightarrow {AH} = frac{{ frac{{ overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} }}{2} + overrightarrow {A{ rm{D}}} }}{2} ) ( Rightarrow overrightarrow {AH} = frac{{ overrightarrow {A{ rm{D}}} }}{2} + frac{{ overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} }}{4} ) c) ( overrightarrow {AB} . overrightarrow {AH} = overrightarrow {AB} .( frac{{ overrightarrow {A{ rm{D}}} }}{2} + frac{{ overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} }}{4}) ) ( = frac{{ overrightarrow {AB} . overrightarrow {A{ rm{D}}} }}{2} + frac{{ overrightarrow {AB} . overrightarrow {AB} + overrightarrow {AB} . overrightarrow {AC} }}{4} ) ( = frac{{A{B^2}}}{4} = frac{{{a^2}}}{4} ) d) [ overrightarrow {BC} = overrightarrow {AC} - overrightarrow {AB} ], ( overrightarrow {AH} = frac{{ overrightarrow {A{ rm{D}}} }}{2} + frac{{ overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} }}{4} ) Vậy [ overrightarrow {BC} . overrightarrow {AH} = ( overrightarrow {AC} - overrightarrow {AB} ).( frac{{ overrightarrow {A{ rm{D}}} }}{2} + frac{{ overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} }}{4}) ] [ overrightarrow {BC} . overrightarrow {AH} = frac{{ overrightarrow {AC} . overrightarrow {A{ rm{D}}} }}{2} + frac{{ overrightarrow {AC} . overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} . overrightarrow {AC} }}{4} - frac{{ overrightarrow {AD} . overrightarrow {AB} }}{2} - frac{{ overrightarrow {AB} . overrightarrow {AB} + overrightarrow {AB} . overrightarrow {AC} }}{4} ] [ overrightarrow {BC} . overrightarrow {AH} = frac{{ overrightarrow {AC} . overrightarrow {AC} }}{4} - frac{{ overrightarrow {AB} . overrightarrow {AB} }}{4} = 0 ] . Vậy góc giữa vectơ [ overrightarrow {AH} ] và ( overrightarrow {BC} ) bằng (90^ circ ). Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Question 13

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(8;9;2), B(3;5;1) và C(11;10;4). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Ta có ( overrightarrow {AB} = left( { - 5; - 4; - 1} right) ), ( overrightarrow {DC} = left( {11 - x;10 - y;4 - z} right) ). Để (ABCD ) là hình bình hành thì ( overrightarrow {AB} = overrightarrow {DC} Leftrightarrow left { begin{array}{l} - 5 = 11 - x - 4 = 10 - y - 1 = 4 - z end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}x = 16 y = 14 z = 5. end{array} right. ) Vậy (D left( {16;14;5} right) ). b) Tọa độ trung điểm (M ) của (BC ) là (M left( {7; frac{{15}}{2}; frac{5}{2}} right) ). Ta có ( overrightarrow {AM} = left( { - 1; - frac{3}{2}; frac{1}{2}} right) ). Suy ra (AM = sqrt {{{ left( { - 1} right)}^2} + {{ left( { - frac{3}{2}} right)}^2} + {{ left( { frac{1}{2}} right)}^2}} = frac{{ sqrt {14} }}{2} ). c) Ta có ( overrightarrow {AB} = left( { - 5; - 4; - 1} right) ); ( overrightarrow {AC} = left( {3;1;2} right) ). Ta có ( cos widehat {BAC} = cos left( { overrightarrow {AB} , overrightarrow {AC} } right) = frac{{ overrightarrow {AB} . overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = frac{{ left( { - 5} right).3 + left( { - 4} right).1 + left( { - 1} right).2}}{{ sqrt {{{ left( { - 5} right)}^2} + {{ left( { - 4} right)}^2} + {{ left( { - 1} right)}^2}} . sqrt {{3^2} + {1^2} + {2^2}} }} = - frac{{ sqrt 3 }}{2} ). Suy ra ( widehat {BAC} = 150^ circ ). d) Vì (N in left( {Oxy} right) ) nên (N left( {x;y;0} right) ). Ta có ( overrightarrow {AB} = left( { - 5; - 4; - 1} right) ); ( overrightarrow {AN} = left( {x - 8;y - 9; - 2} right) ). Vì 3 điểm (A,B,N ) thẳng hàng nên ( overrightarrow {AB} ) cùng phương với ( overrightarrow {AN} ). Khi đó: [ left { begin{array}{l} frac{{x - 8}}{{ - 5}} = 2 frac{{y - 9}}{{ - 4}} = 2 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}x - 8 = - 10 y - 9 = - 8 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}x = - 2 y = 1 end{array} right. ]. Vậy (N left( { - 2;1;0} right) ). Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Question 14

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; −1; 1), B(−1; 3; −1), C(5; −3; 4).

(a) Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {BC} $ bằng −52.

(b) Góc ABC là góc tù.

(c) Với điểm D(2; 1; −1) thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

(d) Điểm E(1; 2; x) với $\Delta ABE$ vuông tại B thì giá trị x = −6.

Accepted Answer

a) Ta có ( overrightarrow {AB} = left( { - 3;4; - 2} right) ), ( overrightarrow {BC} = left( {6; - 6;5} right) ) ( Rightarrow overrightarrow {AB} . overrightarrow {BC} = left( { - 3} right).6 + 4. left( { - 6} right) + left( { - 2} right).5 = - 52 ). b) ( cos widehat {ABC} = cos left( { overrightarrow {BA} , overrightarrow {BC} } right) = frac{{ overrightarrow {BA} . overrightarrow {BC} }}{{ left| { overrightarrow {BA} } right|. left| { overrightarrow {BC} } right|}} ) ( = frac{{52}}{{ sqrt {{3^2} + {{ left( { - 4} right)}^2} + {2^2}} . sqrt {{6^2} + {{ left( { - 6} right)}^2} + {5^2}} }} ) ( = frac{{52}}{{ sqrt {2813} }} > 0 ). Suy ra ( widehat {ABC} ) là góc nhọn. c) Ta có ( overrightarrow {AB} = left( { - 3;4; - 2} right), overrightarrow {DC} = left( {3; - 4;5} right) ) ( Rightarrow overrightarrow {AB} ne overrightarrow {DC} ). Do đó ABCD không là hình bình hành. d) Ta có ( overrightarrow {BE} = left( {2; - 1;x + 1} right) ). Để ABE vuông tại B thì ( overrightarrow {AB} . overrightarrow {BE} = 0 ) ( Rightarrow - 6 - 4 - 2 left( {x + 1} right) = 0 Rightarrow x = - 6 ). Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Question 15

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(3; 0; 0), B(0; -2; 0) và C(0; 0; -1). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) A(3; 0; 0)  Ox. b) ( overrightarrow {AB} = left( { - 3; - 2;0} right) ). c) Ta có A  Ox; B  Oy nên tam giác OAB vuông tại O. Diện tích tam giác OAB bằng (S = frac{1}{2}OA.OB = frac{1}{2} left| {{x_A}} right|. left| {{y_B}} right| = 3 ). d) Ta có A  Ox; B  Oy; C  Oz nên tứ diện OABC có OA; OB; OC đôi một vuông góc. Suy ra ({V_{OABC}} = frac{1}{6}OA.OB.OC = frac{1}{6}.3.2.1 = 1 ). Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Question 16

Một chiếc máy bay đang bay trong không gian Oxyz, với tọa độ hiện tại là M(40; 10; 40). Đường bay mong muốn của máy bay đi qua hai điểm A(0; 10; 0) và B(20; 0; 10). Hãy tìm khoảng cách ngắn nhất từ vị trí hiện tại của máy bay đến đường bay mong muốn này (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Accepted Answer

Gọi H(x; y; z) là hình chiếu của M trên đường thẳng AB. Khi đó mind(M, AB) = MH. Ta có ( overrightarrow {MH} = left( {x - 40;y - 10;z - 40} right) ), ( overrightarrow {AH} = left( {x;y - 10;z} right) ), ( overrightarrow {AB} = left( {20; - 10;10} right) ). Vì MH  AB và vectơ ( overrightarrow {AH} , overrightarrow {AB} ) cùng phương nên ( left { begin{array}{l}20 left( {x - 40} right) - 10 left( {y - 10} right) + 10 left( {z - 40} right) = 0 frac{x}{{20}} = frac{{y - 10}}{{ - 10}} = frac{z}{{10}} end{array} right. ) ( Rightarrow left { begin{array}{l}2x - y + z - 110 = 0 x = 2z y = 10 - z end{array} right. ) ( Rightarrow left { begin{array}{l}x = 40 y = - 10 z = 20 end{array} right. ). Suy ra (H left( {40; - 10;20} right) Rightarrow MH = 20 sqrt 2 approx 28,3 ). Trả lời:28,3.

Question 17

Trong không gian với hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo là km, ra đa phát hiện một máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(1000; 600; 14) đến điểm N trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là Q(1400; 800; 16). Tính tổng hoành độ và tung độ của điểm N.

Accepted Answer

2050

Question 18

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc 80° và có độ lớn đều bằng 50 N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc 60° và có độ lớn bằng 60 N. Độ lớn của hợp lực của ba lực trên đạt bao nhiêu Niutơn? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Accepted Answer

Cả hai lực tạo với nhau một góc 80° là ( overrightarrow {{F_1}} ) và ( overrightarrow {{F_2}} ), ta có ( left| { overrightarrow {{F_1}} } right| = left| { overrightarrow {{F_2}} } right| = 50N ). Lực còn lại là ( overrightarrow {{F_3}} ), ta có ( left| { overrightarrow {{F_3}} } right| = 60N ). Gọi ( overrightarrow F ) là hợp lực của ba lực trên ta có: ( left| { overrightarrow F } right| = sqrt {{{ left( { overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} } right)}^2}} ) ( = sqrt {{{ left| { overrightarrow {{F_1}} } right|}^2} + {{ left| { overrightarrow {{F_2}} } right|}^2} + {{ left| { overrightarrow {{F_3}} } right|}^2} + 2 left( { left| { overrightarrow {{F_1}} } right|. left| { overrightarrow {{F_2}} } right|. cos left( { overrightarrow {{F_1}} , overrightarrow {{F_2}} } right) + left| { overrightarrow {{F_1}} } right|. left| { overrightarrow {{F_3}} } right|. cos left( { overrightarrow {{F_1}} , overrightarrow {{F_3}} } right) + left| { overrightarrow {{F_3}} } right|. left| { overrightarrow {{F_2}} } right|. cos left( { overrightarrow {{F_3}} , overrightarrow {{F_2}} } right)} right)} ) ( = sqrt {{{50}^2} + {{50}^2} + {{60}^2} + 2 left( {50.50. cos 80^ circ + 50.60. cos 60^ circ + 60.50. cos 60^ circ } right)} approx 124 ) N. Trả lời: 124.

Question 19

Một trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 80 m, sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 500 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam, trục Oz hướng thẳng đứng lên phía trên (tham khảo hình) (đơn vị trên mỗi trục tính theo km).

![Một trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 80 m, sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 500 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng (ảnh 1)](https://assets.nganla.com/migrated/2026/05/08/1778227610689118995.png)

Một máy bay tại vị trí A cách mặt đất 10 km, cách 300 km về phía đông và 200 km về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu. Tính khoảng cách từ máy bay đến ra đa (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Accepted Answer

Theo giả thiết, ra đa ở vị trí có tọa độ B(0; 0; 0,08); điểm A(−300; −200; 10). Vậy khoảng cách từ máy bay đến ra đa là: (BA = sqrt {{{ left( { - 300 - 0} right)}^2} + {{ left( { - 200 - 0} right)}^2} + {{ left( {10 - 0,08} right)}^2}} approx 361 ) km. Trả lời: 361.

Question 20

Một chiếc đèn trang trí hình tròn được treo song song với mặt phẳng trần nhà nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn $OA,\,OB,\,OC$ đôi một vuông góc (như hình vẽ dưới đây). Biết lực căng dây tương ứng trên mỗi dây $OA,\,OB,\,OC$ lần lượt là $\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} $ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 16$(N). Tính trọng lượng (đơn vị: N) của chiếc đèn đó. (Làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

![Một chiếc đèn trang trí hình tròn được treo song song với mặt phẳng trần nhà nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn $OA,\,OB,\,OC$ đôi một vuông góc (như hình vẽ dưới đây). Biết lực căng dây t (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid5-1756605614.png)

Accepted Answer

Ta có: [P = left| { overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} } right| = left| { overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} } right| ]. Vẽ hình vuông (OAEB ), ta có [ overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} = overrightarrow {OE} ]. (Quy tắc hình bình hành) Vẽ hình chữ nhật (OCFE ), ta có [ overrightarrow {OC} + overrightarrow {OE} = overrightarrow {OF} ]. (Quy tắc hình bình hành) Suy ra: [P = left| { overrightarrow {OF} } right| = OF ]. Xét hình vuông (OAEB ), cạnh (16 ), có đường chéo (OE = 16 sqrt 2 ). Xét tam giác vuông (OEF ), vuông tại (E ), có (OF = sqrt {O{E^2} + E{F^2}} = sqrt {{{ left( {16 sqrt 2 } right)}^2} + {{16}^2}} = 16 sqrt 3 approx 27,7 ) Vậy (P approx 27,7 )(N). Trả lời: 27,7.

20 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương II (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Xem trước câu hỏi