21 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Question 1

**Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn **

Cho $\Delta ABC$ có góc $\widehat {BAC} = 60^\circ $ và cạnh $BC = \sqrt 3 $. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.

Accepted Answer

$R = 1$

Question 2

Cho $\Delta ABC$ với các cạnh $AB = c,\,\,AC = b,\,\,BC = a$. Gọi $R,\,\,r,\,\,S$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác $ABC$. Công thức nào sau đây **sai**?

Accepted Answer

$S = \frac{1}{2}ab\sin A$

Question 3

Cho tam giác *ABC* có $a = 8,b = 10$, góc $C$ bằng $60^\circ $. Độ dài cạnh $c$ là:

Accepted Answer

$c = 2\sqrt {21} $.

Question 4

Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng 12 và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Diện tích của tam giác $ABC$ bằng

Accepted Answer

$6$

Question 5

Một tam giác có ba cạnh là $13,14,15$. Diện tích tam giác đó bằng

Accepted Answer

$84$

Question 6

Khi giải tam giác $ABC$ biết $\,\widehat A = 15^\circ ,\,\,\widehat B = 130^\circ ,\,c = 6.$Ta có kết quả là:

Accepted Answer

$\widehat C = 35^\circ ; a \approx 2,71; b \approx 8,01$

Question 7

Cho tam giác $ABC$, biết $a = 13,b = 14,c = 15.$ Tính góc $B$.

Accepted Answer

$59^\circ 29'$

Question 8

Một chiếc thuyền xuất phát từ cảng chạy ra biển theo một đường thẳng được 3 km thì rẽ sang phải theo hướng lệch với hướng ban đầu một góc $45^\circ $ và đi thẳng theo hướng đó thêm 6 km nữa thì dừng lại. Hỏi tại vị trí mới này, chiếc thuyền cách vị trí xuất phát ban đầu của nó bao nhiêu kilômét? (*Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần trăm*).

Accepted Answer

$8,39\,{\rm{km}}.$

Question 9

Tam giác $ABC$ có $\widehat B = 45^\circ ,\widehat C = 60^\circ $, $b = 2$. Tính cạnh $c$.

Accepted Answer

$\sqrt 6 $.

Question 10

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 2a;\,\,AC = 4a$ và $\widehat {BAC} = 120^\circ $. Diện tích tam giác $ABC$ là:** **

Accepted Answer

$S = 2a^2\sqrt{3}$

Question 11

**Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai**

Cho tam giác $ABC$ có $b = 7\;\,{\rm{cm}},c = 5\;\,{\rm{cm}},\widehat A = 120^\circ $.

a) $a = \sqrt {127} \;\,{\rm{cm}}$.

b) $\cos B \approx 0,21$.

c) $\cos C \approx 0,91$.

d) $R \approx 6,03\,{\rm{cm}}$.

Accepted Answer

a) Sai. Áp dụng định lí côsin trong tam giác, ta có: ({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc cos A Rightarrow {a^2} = {7^2} + {5^2} - 2 cdot 7 cdot 5 cdot cos 120^ circ = 109. ) Do đó, (a = sqrt {109} ;{ rm{cm}} ). b) Sai. Ta có ({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac cos B Rightarrow cos B = frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = frac{{109 + {5^2} - {7^2}}}{{2 sqrt {109} cdot 5}} approx 0,81 ). c) Đúng. Tương tự, ( cos C = frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = frac{{109 + {7^2} - {5^2}}}{{2 sqrt {109} cdot 7}} approx 0,91 ). d) Đúng. Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có: ( frac{a}{{ sin A}} = frac{b}{{ sin B}} = frac{c}{{ sin C}} = 2R ) nên (R = frac{a}{{2 cdot sin A}} = frac{{ sqrt {109} }}{{2 cdot sin 120^ circ }} approx 6,03 , ,({ rm{cm}}) ).

Question 12

Cho tam giác $ABC$ có số đo các cạnh lần lượt là $7, 9$ và $12$. Gọi $S, R, p, r$ lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nửa chu vi, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

Giả sử (a = 7,b = 9,c = 12 ). a) Đúng. Ta có (p = frac{{a + b + c}}{2} = frac{{7 + 9 + 12}}{2} = 14 ). b) Sai. Theo công thức Heron, ta có: (S = sqrt {p left( {p - a} right) left( {p - b} right) left( {p - c} right)} = sqrt {14 left( {14 - 7} right) left( {14 - 9} right) left( {14 - 12} right)} = 14 sqrt 5 ). c) Sai. Ta có (S = frac{{abc}}{{4R}} Rightarrow R = frac{{abc}}{{4S}} = frac{{7 cdot 9 cdot 12}}{{4 cdot 14 sqrt 5 }} = frac{{27 sqrt 5 }}{{10}} ). d) Sai. Ta có (S = pr Rightarrow r = frac{S}{p} = frac{{14 sqrt 5 }}{{14}} = sqrt 5 ).

Question 13

Cho $\Delta ABC$ có $BC = \sqrt 6 ,CA = 2,AB = 1 + \sqrt 3 $. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

Đặt (a = BC = sqrt 6 ,b = CA = 2,c = AB = 1 + sqrt 3 ). a) Sai. ( cos A = frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = frac{1}{2} Rightarrow widehat A = 60^ circ ). b) Sai. ( cos B = frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = frac{{ sqrt 2 }}{2} Rightarrow hat B = 45^ circ ). c) Đúng. (S = frac{1}{2}bc sin A = frac{{3 + sqrt 3 }}{2} ). d) Đúng. (S = frac{{abc}}{{4R}} Rightarrow R = frac{{abc}}{{4S}} = sqrt 2 ).

Question 14

Cho tam giác $ABC$ có $BC = a = 8,AB = c = 5,\widehat {ABC} = 60^\circ $.

a) Độ dài cạnh $AC = 7$.

b) $\widehat {BAC}$ là góc tù.

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $\frac{{7\sqrt 3 }}{3}$.

d) Biểu thức $T = \sin A - 2\sin B + \sin C$ có giá trị bằng 0.

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có [A{C^2} = {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac cdot cos B = {8^2} + {5^2} - 2 cdot 8 cdot 5 cdot cos 60^ circ = 49 ]. Suy ra [AC = b = 7 ]. b) Sai. Ta có [ cos A = frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = frac{{{7^2} + {5^2} - {8^2}}}{{2 cdot 7 cdot 5}} = frac{1}{7} Rightarrow widehat {BAC} approx 81^ circ 47' < 90^ circ ]. Vậy [ widehat {BAC} ] là góc nhọn. c) Đúng. Nửa chu vi của tam giác [ABC ] là: (p = frac{{a + b + c}}{2} = 10 ). Diện tích tam giác [ABC ] là: [S = sqrt {p left( {p - a} right) left( {p - b} right) left( {p - c} right)} = 10 sqrt 3 ]. Mặt khác [S = frac{{abc}}{{4R}} Rightarrow R = frac{{abc}}{{4S}} = frac{{7 sqrt 3 }}{3} ]. d) Sai. Công thức định lý sin: ( frac{a}{{ sin A}} = frac{b}{{ sin B}} = frac{C}{{ sin C}} = 2R Rightarrow sin A = frac{a}{{2R}}; sin B = frac{b}{{2R}}; sin C = frac{c}{{2R}} ). Khi đó: [T = sin A - 2 sin B + sin C = frac{a}{{2R}} - frac{{2b}}{{2R}} + frac{c}{{2R}} = frac{{a - 2b + c}}{{2R}} = frac{{8 - 2 cdot 7 + 5}}{{2R}} = - frac{1}{{2R}} ne 0 ].

Question 15

Cho tam giác $ABC$, biết $AC = b = 7, AB = c = 5, \cos A = \frac{3}{5}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có ({ sin ^2}A = 1 - { cos ^2}A = frac{{16}}{{25}} Rightarrow sin A = frac{4}{5} ) (vì ( sin A > 0 )). b) Đúng. Ta có (S = frac{1}{2}bc sin A = 14 ). c) Sai. Theo định lí côsin, ta có: ({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc cos A = {7^2} + {5^2} - 2 cdot 7 cdot 5 cdot frac{3}{5} = 32 Rightarrow a = 4 sqrt 2 ). d) Sai. Ta có (p = frac{{a + b + c}}{2} = 6 + 2 sqrt 2 ). Mà (S = pr Rightarrow r = frac{S}{p} = frac{{14}}{{6 + 2 sqrt 2 }} = 3 - sqrt 2 ).

Question 16

**Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn**

Hai bạn An và Bình cùng xuất phát từ điểm $P$, đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau một góc $40^\circ $ để đến đích là điểm $D$ với $\widehat {PAD} = 100^\circ $. Biết rằng An và Bình dừng lại để ăn trưa lần lượt tại $A$ và $B$ (như hình vẽ minh hoạ).

![Hỏi bạn Bình phải đi bao xa nữa để đến được đích (số làm tròn đến hàng phần trăm; góc làm tròn đến hàng đơn vị)? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/14-1753105205.png)

Hỏi bạn Bình phải đi bao xa nữa để đến được đích (số làm tròn đến hàng phần trăm; góc làm tròn đến hàng đơn vị)?

Accepted Answer

Xét tam giác [PAD ] có [PD = sqrt {P{A^2} + A{D^2} - 2 cdot PA cdot AD cdot cos widehat {PAD}} = sqrt {{8^2} + {3^2} - 2 cdot 8 cdot 3 cdot cos 100^ circ } approx 9,02 ], và [ cos widehat {APD} = frac{{P{A^2} + P{D^2} - A{D^2}}}{{2 cdot PA cdot PD}} = frac{{{8^2} + 9,{{02}^2} - {3^2}}}{{2 cdot 8 cdot 9,02}} approx 0,94 ] suy ra [ widehat {APD} approx 19^ circ ]. Xét tam giác [PBD ] có [ widehat {BPD} = widehat {BPA} - widehat {APD} approx 40^ circ - 19^ circ = 21^ circ ], và [BD = sqrt {P{B^2} + P{D^2} - 2 cdot PB cdot PD cdot cos widehat {BPD}} ] [ approx 3,53 ] (km). Vậy bạn Bình phải đi khoảng [3,53 ] km nữa để đến đích. Đáp án: (3,53 ).

Question 17

Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng $N80^\circ E$ với vận tốc $20\,\,{\rm{km/h}}$. Sau khi đi được 30 phút, tàu chuyển sang hướng $E80^\circ S$ giữ nguyên vận tốc và chạy tiếp 36 phút nữa đến đảo Cát Bà (tham khảo hình vẽ). Hỏi khi đó tàu du lịch cách vị trí xuất phát bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

![Hỏi khi đó tàu du lịch cách vị trí xuất phát bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/15-1753105251.png)

Accepted Answer

Giả sử tàu du lịch xuất phát từ vị trí (A ), chuyển động theo hướng (N80^ circ E ) tới vị trí (B ) sau đó chuyển hướng (E80^ circ S ) tới vị trí (C ) như hình vẽ dưới đây: Ta có ( widehat {ABC} = 180^ circ - 10^ circ - 20^ circ = 150^ circ ). Tàu chạy từ vị trí (A ) đến vị trí (B ) với vận tốc (20 , ,{ rm{km/h}} ) trong 30 phút (tức 0,5 giờ) nên: (AB = 20 cdot 0,5 = 10 ) (km). Tàu chạy từ vị trí (B ) đến vị trí (C ) với vận tốc (20 , ,{ rm{km/h}} ) trong 36 phút (tức 0,6 giờ) nên: (BC = 20 cdot 0,6 = 12 ) (km). Áp dụng định lí côsin cho tam giác (ABC ) ta được: (A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB cdot AC cdot cos widehat {BAC} = {10^2} + {12^2} - 2 cdot 10 cdot 12 cdot cos 150^ circ approx 452 ). Suy ra (AC approx sqrt {452} approx 21,3 , , , left( {{ rm{km}}} right) ). Vậy khi tới đảo Cát Bà thì tàu du lịch cách vị trí xuất phát (bãi biển Đồ Sơn) một khoảng (21,3 ) km. Đáp án: 21,3.

Question 18

Tỉnh $A$ và $B$ bị ngăn cách nhau bởi một ngọn núi. Để đi từ tỉnh $A$ đến tỉnh $B$, người ta đi theo lộ trình từ tỉnh $A$ qua tỉnh $C$, rồi đến tỉnh $B$. Biết rằng lộ trình từ $A$ đến $C$ dài 70 km, từ $C$ đến $B$ dài 100 km, và hai con đường tạo với nhau góc $60^\circ $. Cứ mỗi 20 km quãng đường thì phương tiện tiêu hao 1 lít nhiên liệu. Để tiết kiệm nhiên liệu, người ta làm một đường hầm xuyên núi để đi từ tỉnh $A$ đến tỉnh $B$. Hỏi nếu đi theo đường hầm thì phương tiện tiết kiệm được bao nhiêu lít nhiên liệu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Accepted Answer

Tổng quãng đường mà phương tiện di chuyển từ (A ) qua (C ) đến (B ) là: (70 + 100 = 170 ,{ rm{km}} ). Thể tích nhiên liệu bị tiêu hao là: (170:20 = 8,5 ) lít. Áp dụng định lí côsin trong tam giác (ABC ): (A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC cdot BC cdot cos 60^ circ = 7900 Rightarrow AB = 10 sqrt {79} , , ,{ rm{(km)}} ). Thể tích nhiên liệu bị tiêu hao là: (10 sqrt {79} ,:20 = frac{{ sqrt {79} }}{2} approx 4,44 ) lít. Thể tích nhiên liệu tiết kiệm được: (8,5 - 4,44 = 4,06 ) lít. Đáp án: 4,06.

Question 19

Để đo chiều cao của một cột cờ trên đỉnh một toà nhà anh Bắc đã làm như sau: Anh đứng trên một đài quan sát có tầm quan sát cao $5\;\,{\rm{m}}$ so với mặt đất. Khi quan sát, anh Bắc đo được góc quan sát chân cột là $40^\circ $ và góc quan sát đỉnh cột là $50^\circ $, khoảng cách từ chân toà nhà đến vị trí quan sát là $18\;\,{\rm{m}}$. Tính chiều cao cột cờ (làm tròn đến hàng phần trăm).

![Tính chiều cao cột cờ (làm tròn đến hàng phần trăm). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/18-1753105353.png)

Accepted Answer

Trong tam giác (DAC ), ta có: ( cos widehat {ACD} = frac{{DC}}{{AC}} ), suy ra (AC = frac{{DC}}{{ cos A}} = frac{{18}}{{ cos 40^ circ }} approx 23,5 ,{ rm{m}} ). Trong tam giác (DBC ) ta có: ( cos widehat {BCD} = frac{{DC}}{{BC}} ), suy ra (BC = frac{{DC}}{{ cos B}} = frac{{18}}{{ cos 50^ circ }} approx 28 , ;{ rm{m}} ). Lại có góc ( widehat {ACB} = 50^ circ - 40^ circ = 10^ circ ), áp dụng định lí côsin trong tam giác (ABC ), ta có: (AB = sqrt {C{A^2} + C{B^2} - 2CA cdot CB cdot cos widehat {ACB}} ) ( approx sqrt {23,{5^2} + {{28}^2} - 2 cdot 23,5 cdot 28 cdot cos 10^ circ } approx 6,34 ,{ rm{m}}. ) Vậy chiều cao của cột cờ (làm tròn đến hàng phần trăm là) 6,34 m. Đáp án: 6,34.

Question 20

Gia đình bác An có mảnh đất như hình bên dưới. Nhà nước có dự án xây bệnh viện nên thu hồi mảnh đất của bác, giá đền bù là $1,2$ triệu đồng 1${{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.

![Hỏi số tiền gia đình nhà bác An nhận được khoảng bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/20-1753105392.png)

Hỏi số tiền gia đình nhà bác An nhận được khoảng bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Accepted Answer

Ta có (B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} - 2AD cdot AB cdot cos left( {73,07^ circ } right) approx 517 ) ( Rightarrow BD approx 23 , left( { rm{m}} right) ). [{S_{ABD}} = frac{1}{2}AD cdot AB cdot sin left( {73,07^ circ } right) approx 158 , left( {{{ rm{m}}^2}} right) ]. Nửa chu vi tam giác (BCD ) là: ( frac{{23 + 10 + 18}}{2} = frac{{51}}{2} = 25,5 ). ({S_{BCD}} = sqrt {25,5. left( {25,5 - 23} right) left( {25,5 - 10} right) left( {25,5 - 18} right)} approx 86 , left( {{{ rm{m}}^2}} right) ). ({S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}} approx 244 , left( {{{ rm{m}}^2}} right) ). Vậy số tiền gia đình nhà bác An nhận được khoảng (244 cdot 1,2 approx 293 ) triệu đồng. Đáp án: (293 ).

21 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Xem trước câu hỏi