22 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15. Giới hạn của dãy số có đáp án

Question 1

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Chọn khẳng định đúng?

Accepted Answer

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}$ nếu $\left| {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right|$có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Question 2

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

Accepted Answer

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a > 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = + \infty $.

Question 3

Phát biểu nào sau đây là sai?

Accepted Answer

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0$ ($|q| > 1$).

Question 4

Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{\rm{n + 2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 3n}} - 1}}$ bằng:

Accepted Answer

0.

Question 5

Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{5}}^{{\rm{n + 1}}}}}}{{{{\rm{2}}^{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ + }}{{\rm{5}}^{\rm{n}}}}}$ bằng:

Accepted Answer

−10.

Question 6

Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {{\rm{2n + 3}}} }}{{\sqrt {{\rm{2n}}} {\rm{ + 5}}}}$ bằng:

Accepted Answer

1.

Question 7

Tính giới hạn ${\rm{L}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{\rm{3}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5n}} - 3} \right)$

Accepted Answer

$ + \infty $.

Question 8

Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{\rm{n}} + 5} - \sqrt {{\rm{n}} + 1} } \right)$ bằng

Accepted Answer

0.

Question 9

Giá trị của giới hạn ${\rm{S}} = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{{49}} + ... + \frac{2}{{{7^{\rm{n}}}}} + ...$ là:

Accepted Answer

$\frac{7}{3}$

Question 10

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,15555… = 3,1(5) viết dưới dạng hữu tỉ là

Accepted Answer

$\frac{142}{45}$

Question 11

Bạn An thả một quả bóng cao su từ độ cao 9 m so với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao của lần rơi trước. Giả sử quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường bóng đã di chuyển (từ lúc bắt đầu thả đến lúc bóng không di chuyển nữa) gần nhất với kết quả nào sau đây?

Accepted Answer

45

Question 12

Cho dãy số (un) với ${{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{an + 4}}}}{{{\rm{5n + 3}}}}$ trong đó a là tham số thực. Để dãy số có giới hạn bằng 2, giá trị của a là

Accepted Answer

10.

Question 13

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Cho hai dãy số (un), (vn) với un = 4.3n – 7n + 1 ; vn = 7n.

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{v_n}}} = 0$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = + \infty $.

c) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n} - {v_n}}}{{3{u_n} + 2{v_n}}} = \frac{8}{{19}}$.

d) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty $.

Accepted Answer

a) ( mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{1}{{{v_n}}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } { left( { frac{1}{7}} right)^n} = 0 ). b) ( mathop { lim } limits_{n to + infty } {7^n} = + infty ). c) ( mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{{u_n} - {v_n}}}{{3{u_n} + 2{v_n}}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{{{4.3}^n} - {{8.7}^n}}}{{{{12.3}^n} - {{19.7}^n}}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{4.{{ left( { frac{3}{7}} right)}^n} - 8}}{{12.{{ left( { frac{3}{7}} right)}^n} - 19}} = frac{8}{{19}} ). d) Ta có ( mathop { lim } limits_{n to + infty } {u_n} = mathop { lim } limits_{n to + infty } left( {{{4.3}^n} - {7^{n + 1}}} right) = mathop { lim } limits_{n to + infty } {7^n} left[ {4.{{ left( { frac{3}{7}} right)}^n} - 7} right] ). Vì ( mathop { lim } limits_{n to + infty } {7^n} = + infty ); ( mathop { lim } limits_{n to + infty } left[ {4.{{ left( { frac{3}{7}} right)}^n} - 7} right] = - 7 < 0 ) nên ( mathop { lim } limits_{n to + infty } {u_n} = - infty ). Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Question 14

Biết giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^3} - 3n + 3}} = a$ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\sqrt {{n^2} + 1} }}{{\sqrt {4{n^4} - {n^2} + 3} }} = b$. Khi đó:

a) Giá trị $a$ nhỏ hơn 0.

b) Giá trị $b$ lớn hơn 0.

c) Phương trình lượng giác $\cos x = a$ có một nghiệm là $x = \frac{\pi }{2}$.

d) Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với công sai $d = b$ và ${u_1} = a$, thì ${u_3} = \frac{3}{2}$.

Accepted Answer

a) Ta có: ( mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^3} - 3n + 3}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{{n^3} left( { frac{2}{n} + frac{1}{{{n^3}}}} right)}}{{{n^3} left( {3 - frac{3}{{{n^2}}} + frac{3}{{{n^3}}}} right)}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{ frac{2}{n} + frac{1}{{{n^3}}}}}{{3 - frac{3}{{{n^2}}} + frac{3}{{{n^3}}}}} = frac{0}{3} = 0 ). b) Ta có: ( mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{n sqrt {{n^2} + 1} }}{{ sqrt {4{n^4} - {n^2} + 3} }} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{{n^2} sqrt {1 + frac{1}{{{n^2}}}} }}{{{n^2} sqrt {4 - frac{1}{{{n^2}}} + frac{3}{{{n^4}}}} }} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{ sqrt {1 + frac{1}{{{n^2}}}} }}{{ sqrt {4 - frac{1}{{{n^2}}} + frac{3}{{{n^4}}}} }} = frac{1}{2} ). c) Phương trình lượng giác ( cos x = 0 ) có một nghiệm là (x = frac{ pi }{2} ). d) Cho cấp số cộng ( left( {{u_n}} right) ) với công sai (d = frac{1}{2} ) và ({u_1} = 0 ), thì ({u_3} = 0 + 2. frac{1}{2} = 1 ). Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Question 15

Cho dãy số (un) với u1 = 2; un + 1 = un + 2/3^n, n >= 1. Đặt vn = un + 1 – un. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) ({u_2} = {u_1} + frac{2}{3} = 2 + frac{2}{3} = frac{8}{3} ). b) Có vn = un + 1 – un ( Rightarrow {v_n} = frac{2}{{{3^n}}} Rightarrow {v_2} = frac{2}{{{3^2}}} = frac{2}{9} ). c) ( mathop { lim } limits_{n to + infty } {v_n} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{2}{{{3^n}}} = 0 ). d) Có ({v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = frac{2}{3}. frac{{1 - {{ left( { frac{1}{3}} right)}^{n - 1}}}}{{1 - frac{1}{3}}} = 1 - frac{3}{{{3^n}}}, forall n ge 2 ). Mặt khác v1 + v2 + … + vn – 1 = un – 2, ∀n ³ 2. Nên ({u_n} = 3 - frac{3}{{{3^n}}} ). Do đó ( mathop { lim } limits_{n to + infty } {u_n} = mathop { lim } limits_{n to + infty } left( {3 - frac{3}{{{3^n}}}} right) = 3 ). Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Question 16

Cho các dãy số (un), (vn) với ${u_n} = \sqrt {4{n^2} + 5n + 1} $ và ${v_n} = 2n + 1$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Ta có vn = 2n + 1 ( = n left( {2 + frac{1}{n}} right) ). Vì ( mathop { lim } limits_{n to + infty } n = + infty ; mathop { lim } limits_{n to + infty } left( {2 + frac{1}{n}} right) = 2 ). Do đó ( mathop { lim } limits_{n to + infty } {u_n} = mathop { lim } limits_{n to + infty } left( {2n + 1} right) = + infty ). b) Ta có ({u_n} = sqrt {4{n^2} + 5n + 1} = n sqrt {4 + frac{5}{n} + frac{1}{{{n^2}}}} ). Vì ( mathop { lim } limits_{n to + infty } n = + infty ; mathop { lim } limits_{n to + infty } sqrt {4 + frac{5}{n} + frac{1}{{{n^2}}}} = 2 ) nên ( mathop { lim } limits_{n to + infty } {u_n} = mathop { lim } limits_{n to + infty } sqrt {4{n^2} + 5n + 1} = + infty ). c) Có ({u_n} + {v_n} = sqrt {4{n^2} + 5n + 1} + 2n + 1 = n left( { sqrt {4 + frac{5}{n} + frac{1}{{{n^2}}}} + 2 + frac{1}{n}} right) ). Vì ( mathop { lim } limits_{n to + infty } n = + infty ; mathop { lim } limits_{n to + infty } left( { sqrt {4 + frac{5}{n} + frac{1}{{{n^2}}}} + 2 + frac{1}{n}} right) = 4 ). Do đó ( mathop { lim } limits_{n to + infty } left( {{u_n} + {v_n}} right) = + infty ). d) Có ({u_n} - {v_n} = sqrt {4{n^2} + 5n + 1} - left( {2n + 1} right) = frac{{{{ left( { sqrt {4{n^2} + 5n + 1} } right)}^2} - {{ left( {2n + 1} right)}^2}}}{{ sqrt {4{n^2} + 5n + 1} + left( {2n + 1} right)}} = frac{n}{{ sqrt {4{n^2} + 5n + 1} + left( {2n + 1} right)}} ). Do đó ( mathop { lim } limits_{n to + infty } left( {{u_n} - {v_n}} right) = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{n}{{ sqrt {4{n^2} + 5n + 1} + left( {2n + 1} right)}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{1}{{ sqrt {4 + frac{5}{n} + frac{1}{{{n^2}}}} + left( {2 + frac{1}{n}} right)}} = frac{1}{4} ). Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Question 17

Cho hai dãy số (un) và (vn) có un = 4n^2 – n + 3; vn = 3n^2 + 7. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) ( mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{4{n^2} - n + 3}}{{3{n^2} + 7}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{{n^2} left( {4 - frac{1}{n} + frac{3}{{{n^2}}}} right)}}{{{n^2} left( {3 + frac{7}{{{n^2}}}} right)}} = frac{4}{3} ). b) ( mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{{u_n}}}{{{{ left( {{v_n}} right)}^2}}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{4{n^2} - n + 3}}{{{{ left( {3{n^2} + 7} right)}^2}}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{{n^2} left( {4 - frac{1}{n} + frac{3}{{{n^2}}}} right)}}{{{n^4}{{ left( {3 + frac{7}{{{n^2}}}} right)}^2}}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } left[ { frac{1}{{{n^2}}}. frac{{ left( {4 - frac{1}{n} + frac{3}{{{n^2}}}} right)}}{{{{ left( {3 + frac{7}{{{n^2}}}} right)}^2}}}} right] = 0 ). c) ( mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{{{ left( {{u_n}} right)}^2}}}{{{v_n}}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{{{ left( {4{n^2} - n + 3} right)}^2}}}{{3{n^2} + 7}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{{n^4}{{ left( {4 - frac{1}{n} + frac{3}{{{n^2}}}} right)}^2}}}{{{n^2} left( {3 + frac{7}{{{n^2}}}} right)}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } left[ {{n^2}. frac{{{{ left( {4 - frac{1}{n} + frac{3}{{{n^2}}}} right)}^2}}}{{ left( {3 + frac{7}{{{n^2}}}} right)}}} right] = + infty ). d) ( mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{{u_n} + a{n^2} + 7}}{{{v_n}}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{4{n^2} - n + 3 + a{n^2} + 7}}{{3{n^2} + 7}} ) ( = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{ left( {a + 4} right){n^2} - n + 10}}{{3{n^2} + 7}} ) ( = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{{n^2} left[ { left( {a + 4} right) - frac{1}{n} + frac{{10}}{{{n^2}}}} right]}}{{{n^2} left( {3 + frac{7}{{{n^2}}}} right)}} ) ( = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{ left( {a + 4} right) - frac{1}{n} + frac{{10}}{{{n^2}}}}}{{3 + frac{7}{{{n^2}}}}} = frac{{a + 4}}{3} ). Khi đó ( frac{{a + 4}}{3} = 8 Leftrightarrow a = 20 ). Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Question 18

PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN

Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} - 3\sqrt n + 1}}{{3n\sqrt n + 2n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{a\sqrt n - \frac{3}{n} + \frac{1}{{n\sqrt n }}}}{{b + \frac{2}{{\sqrt n }}}}$ với a; b là các số tự nhiên. Tính P = a + b2.

Accepted Answer

( mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{2{n^2} - 3 sqrt n + 1}}{{3n sqrt n + 2n}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{n sqrt n left( {2 sqrt n - frac{3}{n} + frac{1}{{n sqrt n }}} right)}}{{n sqrt n left( {3 + frac{2}{{ sqrt n }}} right)}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{2 sqrt n - frac{3}{n} + frac{1}{{n sqrt n }}}}{{3 + frac{2}{{ sqrt n }}}} ). Suy ra a = 2; b = 3. Do đó P = 11. Trả lời: 11.

Question 19

Tìm giới hạn sau: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + 2 + ... + n}}{{{n^2} + 3n}}$.

Accepted Answer

Ta có (1 + 2 + ... + n = frac{{n left( {n + 1} right)}}{2} ). Khi đó ( mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{1 + 2 + ... + n}}{{{n^2} + 3n}} ) ( = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{n left( {n + 1} right)}}{{2 left( {{n^2} + 3n} right)}} ) ( = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{{n^2} left( {1 + frac{1}{n}} right)}}{{2{n^2} left( {1 + frac{3}{n}} right)}} = frac{1}{2} ). Trả lời: 0,5.

Question 20

Tìm tổng $S = \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} - ... + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{3^n}}} + ...$.

Accepted Answer

Ta nhận thấy S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu ({u_1} = frac{1}{3} ), công bội (q = - frac{1}{3} ) Vì vậy (S = frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = frac{{ frac{1}{3}}}{{1 + frac{1}{3}}} = frac{1}{3}. frac{3}{4} = frac{1}{4} = 0,25 ). Trả lời: 0,25.

22 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15. Giới hạn của dãy số có đáp án

Xem trước câu hỏi