22 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án

Question 1

**PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN**

Nghiệm của phương trình $\sin x = - 1$ là:

Accepted Answer

$x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Question 2

Nghiệm của phương trình $\cos x = 1$ là:

Accepted Answer

$x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Question 3

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\sin x = m$ có nghiệm.

Accepted Answer

$ - 1 \le m \le 1$.

Question 4

Nghiệm của phương trình $\sqrt 3 + 3\tan x = 0$ là:

Accepted Answer

$x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Question 5

Tập nghiệm của phương trình $\sin 2x = \sin x$ là

Accepted Answer

$S = \left\{ {k2{\rm{\pi }};\frac{{\rm{\pi }}}{3} + \frac{{k2{\rm{\pi }}}}{3}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.

Question 6

Phương trình $\sin 2x = \cos x$ có nghiệm là

Accepted Answer

$\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Question 7

Giải phương trình $\sqrt {\rm{3}} \tan 2x - 3 = 0$.

Accepted Answer

$x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Question 8

Phương trình lượng giác $3\cot \,x - \sqrt 3 = 0$ có nghiệm là:

Accepted Answer

$x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Question 9

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\cos x - m = 0$ vô nghiệm.

Accepted Answer

$m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.

Question 10

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\cos \left( {\sin x} \right) = 1$ trên $\left[ {0;2\pi } \right]$ bằng:

Accepted Answer

$\pi $.

Question 11

Số nghiệm của phương trình ${\rm{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ là:

Accepted Answer

2.

Question 12

Giá trị $m$ để phương trình $5\sin x - m = {\tan ^2}x\left( {\sin x - 1} \right)$ có đúng 3 nghiệm thuộc $\left( { - \pi ;\frac{\pi }{2}} \right)$ là

Accepted Answer

$0 \le m \le \frac{{11}}{2}$.

Question 13

**PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI**

Cho phương trình $2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3 = 0$.

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)$.

b) Phương trình đã cho có nghiệm là: $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\,\,x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

c) Phương trình đã cho có nghiệm âm lớn nhất bằng $ - \frac{\pi }{4}$.

d) Số nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng $\left( { - \pi ;\pi } \right)$ là hai nghiệm.

Accepted Answer

Ta có: (2 sin left( {x - frac{ pi }{{12}}} right) + sqrt 3 = 0 Leftrightarrow sin left( {x - frac{ pi }{{12}}} right) = - frac{{ sqrt 3 }}{2} Leftrightarrow sin left( {x - frac{ pi }{{12}}} right) = sin left( { - frac{ pi }{3}} right) ) ( Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{x - frac{ pi }{{12}} = - frac{ pi }{3} + k2 pi } {x - frac{ pi }{{12}} = pi - left( { - frac{ pi }{3}} right) + k2 pi } end{array} Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{x = - frac{ pi }{4} + k2 pi } {x = frac{{17 pi }}{{12}} + k2 pi } end{array} left( {k in mathbb{Z}} right)} right.} right. ). Vậy phương trình có nghiệm là: [x = - frac{ pi }{4} + k2 pi ; , ,x = frac{{17 pi }}{{12}} + k2 pi , , left( {k in mathbb{Z}} right) ]. Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng ( - frac{ pi }{4} ). Số nghiệm của phương trình trong khoảng ( left( { - pi ; pi } right) ) là hai nghiệm. Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Question 14

Cho phương trình $\sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

Ta có ( sqrt 2 cos left( {2x + frac{ pi }{4}} right) - 1 = 0 Leftrightarrow cos left( {2x + frac{ pi }{4}} right) = frac{1}{{ sqrt 2 }} Leftrightarrow cos left( {2x + frac{ pi }{4}} right) = cos left( { frac{ pi }{4}} right) ) ( Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{c}}{2x + frac{ pi }{4} = frac{ pi }{4} + k2 pi } {2x + frac{ pi }{4} = - frac{ pi }{4} + k2 pi } end{array}} right. Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{c}}{x = k pi } {x = - frac{ pi }{4} + k pi } end{array}} right. left( {k in mathbb{Z}} right) ). + Xét nghiệm (x = k pi ): Do (x in left( {0; pi } right) ) nên (0 < k pi < pi Leftrightarrow 0 < k < 1 ) loại do ( left( {k in mathbb{Z}} right) ). + Xét nghiệm (x = - frac{ pi }{4} + k pi ): Do (x in left( {0; pi } right) ) nên (0 < - frac{ pi }{4} + k pi < pi Leftrightarrow frac{1}{4} < k < frac{5}{4} ), do đó (k = 1 Rightarrow x = frac{{3 pi }}{4}. ) Vậy trên khoảng ( left( {0; pi } right) ) phương trình ( left( 1 right) ) có tập nghiệm là (S = left { { frac{{3 pi }}{4}} right }. ) + Xét nghiệm (x = k pi ): Do (x in left( { - 3 pi ;3 pi } right) ) nên ( - 3 pi < k pi < 3 pi Leftrightarrow - 3 < k < 3 ) do (k in mathbb{Z} ) nên (k in left { { pm 1; pm 2;0} right } ). Vây trên khoảng ( left( { - 3 pi ;3 pi } right) ) phương trình có các nghiệm là ( pm 2 pi ; pm pi ;0 ). Tổng các nghiệm này là ({S_1} = 0 ). + Xét nghiệm (x = - frac{ pi }{4} + k pi ): Do (x in left( { - 3 pi ;3 pi } right) ) nên ( - 3 pi < - frac{ pi }{4} + k pi < 3 pi Leftrightarrow - frac{{11}}{4} < k < frac{{13}}{4} ) do (k in mathbb{Z} ) nên (k in left { { - 2; - 1;0;1;2;3} right } ). Vây trên khoảng ( left( { - 3 pi ;3 pi } right) ) phương trình có các nghiệm là (x = - frac{{9 pi }}{4};x = - frac{{5 pi }}{4};x = - frac{ pi }{4};x = frac{{3 pi }}{4};x = frac{{7 pi }}{4};x = frac{{11 pi }}{4} ). Tổng các nghiệm này là ({S_2} = frac{{3 pi }}{2} ). Vậy tổng các nghiệm của phương trình ( left( 1 right) ) trong khoảng ( left( { - 3 pi ;3 pi } right) ) là (S = {S_1} + {S_2} = frac{{3 pi }}{2}. ) Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Question 15

Cho hai hàm số $y = \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)$ và $y = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$. Xét các khẳng định sau:

Accepted Answer

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: [ begin{array}{l} sin left( {x - frac{ pi }{4}} right) = cos left( { frac{ pi }{2} - x} right) Leftrightarrow sin left( {x - frac{ pi }{4}} right) = sin x Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{x - frac{ pi }{4} = x + k2 pi } {x - frac{ pi }{4} = pi - x + k2 pi } end{array} left( {k in mathbb{Z}} right)} right. Leftrightarrow 2x = frac{{5 pi }}{4} + k2 pi , , left( {k in mathbb{Z}} right) Leftrightarrow x = frac{{5 pi }}{8} + k pi , , left( {k in mathbb{Z}} right) end{array} ] Vì [x in left[ {0 ,;2 pi } right] Rightarrow x in left { { frac{{5 pi }}{8}; frac{{13 pi }}{8}} right } ]. Với [x = frac{{5 pi }}{8} Rightarrow y = sin frac{{5 pi }}{8} Rightarrow A left( { frac{{5 pi }}{8}; sin frac{{5 pi }}{8}} right) ], với [x = frac{{13 pi }}{8} Rightarrow y = sin frac{{13 pi }}{8} Rightarrow B left( { frac{{13 pi }}{8}; sin frac{{13 pi }}{8}} right) ], với [x = frac{{21 pi }}{8} Rightarrow y = sin frac{{21 pi }}{8} Rightarrow C left( { frac{{21 pi }}{8}; sin frac{{21 pi }}{8}} right) ]. Vì [I ]là trung điểm của [AC ] [ Rightarrow I left( { frac{{13 pi }}{{16}}; frac{{ sin left( { frac{{5 pi }}{8}} right) + sin left( { frac{{21 pi }}{8}} right)}}{2}} right) = left( { frac{{13 pi }}{{16}}; frac{{2. sin left( { frac{{13 pi }}{4}} right). cos left( { - 2 pi } right)}}{2}} right) = left( { frac{{13 pi }}{{16}}; sin left( { frac{{13 pi }}{4}} right)} right) ]. Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Question 16

Cho phương trình $\tan \left( {2x - 15^\circ } \right) = 1$ (*). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

Ta có ( tan left( {2x - 15^ circ } right) = 1 Leftrightarrow 2x - 15^ circ = 45^ circ + k90^ circ Leftrightarrow x = 30^ circ + k90^ circ , , left( {k in mathbb{Z}} right) ). Với (k = - 1 ), ta có (x = - 60^ circ ) là nghiệm âm lớn nhất của phương trình (*). ( - 180^ circ < x < 90^ circ Rightarrow - 180^ circ < 30^ circ + k90^ circ < 90^ circ , , left( {k in mathbb{Z}} right) Rightarrow k in left { { - 2; - 1;0} right } ) ( Rightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{x = - 150^ circ } {x = - 60^ circ } {x = 30^ circ } end{array}} right. ). Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.

Question 17

**PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN**

Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h\,\,\left( {\rm{m}} \right)$ của mực nước trong kênh tính theo thời gian $t\left( h \right)$ được cho bởi công thức $h = 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) + 14$. Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất là $t = \frac{a}{b}$. Tính $a.b$?

Accepted Answer

Vì [ - 1 le sin left( { frac{{ pi t}}{4} + frac{ pi }{3}} right) le 1 ] [ Rightarrow 11 le h le 17 ]. Do đó [ max h = 17 ] [ Leftrightarrow sin left( { frac{{ pi t}}{4} + frac{ pi }{3}} right) = 1 ] [ Leftrightarrow frac{{ pi t}}{4} + frac{ pi }{3} = frac{ pi }{2} + k2 pi ] [ Leftrightarrow frac{{ pi t}}{4} = frac{ pi }{6} + k2 pi ] [ Leftrightarrow t = frac{2}{3} + 6k, ,k in mathbb{Z} ]. Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất [t = frac{2}{3} left( h right) ]. Vậy [a.b = 2.3 = 6 ] Đáp án: 6.

Question 18

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố $A$ trong ngày thứ $t$ (ở đây $t$ là số ngày tính từ ngày 1 tháng 1) của năm $2024$ được cho bởi hàm số $f\left( t \right) = 12 + 2,83\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right)$, $t \in {\mathbb{N}^*}$ và $0 < t \le 366$. Hỏi vào ngày nào trong tháng 6 thì thành phố $A$ có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

Accepted Answer

Ta có ( - 1 le sin left( { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right) le 1 ) ( Leftrightarrow 9,17 le 12 + 2,83 sin left( { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right) le 14,83 ). Như vậy có thể thấy số giờ có ánh sáng mặt trời nhiều nhất là (14,83 ) (giờ) và xảy ra khi ( sin left( { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right) = 1 ) ( Leftrightarrow frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right) = frac{ pi }{2} + k2 pi , , , , left( {k in mathbb{Z}} right) ) ( Leftrightarrow t - 80 = 91 + 366k ) ( Leftrightarrow t = 171 + 366k ) Vì (0 < t le 366 ) nên (0 < 171 + 366k le 366 ) ( Leftrightarrow - frac{{171}}{{366}} < k le frac{{195}}{{366}} ) ( Rightarrow k = 0 ) vì (k in mathbb{Z} ). Với (k = 0 ) ( Rightarrow t = 171 ). Có thể thấy năm 2024 là năm nhuận, nên với (t = 171 ) thì ngày có số giờ ánh sáng mặt trời nhiều nhất là ngày 19 tháng 6. Đáp án: (19 ).

Question 19

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình $x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)$.

Ở đây, thời gian $t$ tính bằng giây và quãng đường $x$ tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Accepted Answer

Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì (x = 0 ), ta có: (2 cos left( {5t - frac{ pi }{6}} right) = 0 ) ( Leftrightarrow cos left( {5t - frac{ pi }{6}} right) = 0 ) ( Leftrightarrow 5t - frac{ pi }{6} = frac{ pi }{2} + k pi ), (k in mathbb{Z} ) ( Leftrightarrow 5t = frac{{2 pi }}{3} + k pi ) , (k in mathbb{Z} ) ( Leftrightarrow t = frac{{2 pi }}{{15}} + frac{{k pi }}{5} ), (k in mathbb{Z} ). Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, ta có: (0 le frac{{2 pi }}{{15}} + frac{{k pi }}{5} le 6 ) ( Leftrightarrow frac{{ - 2}}{3} le k le frac{{90 - 2 pi }}{{3 pi }} ). Vì k∈ℤ⇒k∈0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần. Đáp án: (9 ).

22 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án

Xem trước câu hỏi