23 bài tập Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (có lời giải)

Question 1

Tính khoảng cách từ điểm $M(1;2;3)$ đến các mặt phẳng sau:

a) $(P):x + y + z + 12 = 0$; b) $(Q):4x + 3y + 10 = 0$.

Accepted Answer

a) (d(M,(P)) = frac{{|1.1 + 1.2 + 1.3 + 12|}}{{ sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = frac{{18}}{{ sqrt 3 }} = 6 sqrt 3 ); b) (d(M,(Q)) = frac{{|4.1 + 3.2 + 0.3 + 10|}}{{ sqrt {{4^2} + {3^2} + {0^2}} }} = frac{{20}}{5} = 4 ).

Question 2

Tính chiều cao của hình chóp S.ABC có toạ độ các đỉnh là $S(5;0;1),A(1;1;1)$, $B(2;3;4),C(5;2;3)$.

Accepted Answer

Mặt phẳng ((ABC) ) đi qua ba điểm (A(1;1;1),B(2;3;4),C(5;2;3) ) nên có cặp vectơ chỉ phương là ( overrightarrow {AB} = (1;2;3), overrightarrow {AC} = (4;1;2) ), suy ra ((ABC) ) có vectơ pháp tuyến ( vec n = (2.2 - 3.1;3.4 - 1.2;1.1 - 2.4) = (1;10; - 7) ). Phương trình của ((ABC) ) là: (1(x - 1) + 10(y - 1) - 7(z - 1) = 0 ) hay (x + 10y - 7z - 4 = 0 ). Chiều cao SH cùa hình chóp S.ABC chính là khoàng cách từ điểm (S ) đến ((ABC) ). Ta có: (SH = d(S,(ABC)) = frac{{|1.5 + 10 cdot 0 + ( - 7) cdot 1 - 4|}}{{ sqrt {{1^2} + {{10}^2} + {{( - 7)}^2}} }} = frac{6}{{5 sqrt 6 }} = frac{{ sqrt 6 }}{5} ).

Question 3

Tính khoàng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$ cho bởi các phương trình sau đây: $(P):2x + y + 2z + 9 = 0{\rm{; }}$$(Q):$2 x+y+2 z+99=0.

Accepted Answer

Ta lấy điểm (M(0; - 9;0) ) thuộc ((P) ). Do hai mặt phẳng ((P) ) và ((Q) ) song song nên khoảng cách giữa chúng là: (d((P),(Q)) = d(M,(Q)) = frac{{|2 cdot 0 + 1 cdot ( - 9) + 2 cdot 0 + 99|}}{{ sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = frac{{90}}{3} = 30. )

Question 4

a) Tính chiều cao của hình chóp O.MNP với toạ độ các đỉnh là $O(0;0;0), M(2;1;2), N(3;3;3), P(4;5;6)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(R): 8x + 6y + 70 = 0$ và $(S): 16x + 12y - 2 = 0$.

Accepted Answer

a) Mặt phẳng ((MNP) ) có cặp vectơ chỉ phương là ( overrightarrow {MN} = (1;2;1) ) và ( overrightarrow {MP} = (2;4;4) ) nên mặt phẳng ((P) ) có vectơ pháp tuyến là ( vec n = (2; - 1;0) ). Phương trình mặt phẳng ((MNP) ) là (2(x - 2) - (y - 1) = 0 Leftrightarrow 2x - y - 3 = 0 ). Chiều cao của hình chóp O.MNP là: (d(O,(MNP)) = frac{{|2.0 - 0 - 3|}}{{ sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = frac{3}{{ sqrt 5 }}. ) b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ((R) ) và ((S) ) là khoảng cách từ điểm (M left( {0; frac{1}{6};0} right) ) thuộc ((S) ) đến mặt phẳng ((R) ) : (d((R),(S)) = d(M,(R)) = frac{{ left| {8 cdot 0 + 6 cdot frac{1}{6} + 70} right|}}{{ sqrt {{8^2} + {6^2}} }} = frac{{71}}{{10}} = 7,1. )

Question 5

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2 $, chiều cao bằng 2a và $O$ là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz như Hình vẽ, tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

![Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a= sqrt 2, chiều cao bằng 2a (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid0-1753932914.png)

Accepted Answer

Dựa vào hệ trục toạ độ như hình vẽ, ta có (O(0;0;0),S(0;0;2a) ), (A( - a;0;0),B(0;a;0) ) và (C(a;0;0) ). Khi đó ((SAB) ) có phương trình là ( frac{x}{{ - a}} + frac{y}{a} + frac{z}{{2a}} = 1 ) hay ( - 2x + 2y + z - 2a = 0 ). Vậy (d(C,(SAB)) = frac{{| - 2 cdot a - 2a|}}{{ sqrt {{{( - 2)}^2} + {2^2} + {1^2}} }} = frac{{4a}}{3} ).

Question 6

Tính khoảng cách từ gốc toạ độ và từ điểm $M(1; - 2;13)$ đến mặt phẳng $(P):2x - 2y - z + 3 = 0$.

Accepted Answer

Ta có (d(O,(P)) = frac{{|3|}}{{ sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 1 ) và (d(M,(P)) = frac{{|2 cdot 1 - 2 cdot ( - 2) - 13 + 3|}}{{ sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = frac{4}{3} ).

Question 7

Cho mặt phẳng $(P): 2x - 3y + 6z - 7 = 0$ và điểm $M(5; 2; -3)$. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$.

Accepted Answer

3

Question 8

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P): x - 2 = 0$ và $(Q): x - 8 = 0$.

Accepted Answer

6

Question 9

Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB = 2a,AD = 5a,SA = 3a$ và $SA \bot (ABCD)$. Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz như Hình vẽ, tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

![Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a,AD = 5a,SA = 3a và SA thuộc (ABCD)\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid0-1754316574.png)

Accepted Answer

Theo Hình 19 , ta có (A(0;0;0),S(0;0;3a),B(2a;0;0),D(0;5a;0) ) và (C(2a;5a;0) ). Ta có ( overrightarrow {SB} = (2a;0; - 3a), overrightarrow {SC} = (2a;5a; - 3a) ), suy ra ([ overrightarrow {SB} , overrightarrow {SC} ] = left( {15{a^2};0;10{a^2}} right) ). Mặt phẳng ((SBC) ) có vectơ pháp tuyến là ( vec n = (3;0;2) ). Vậy mặt phẳng ((SBC) ) có phương trình là: (3(x - 0) + 2(z - 3a) = 0 Leftrightarrow 3x + 2z - 6a = 0. ) Khi đó (d(A,(SBC)) = frac{{| - 6a|}}{{ sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = frac{6}{{ sqrt {13} }}a ).

Question 10

Cho điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$. Tính khoảng cách từ $M$ đến các mặt phẳng $x - a = 0$, $y - b = 0,z - c = 0$.

Accepted Answer

Khoảng cách từ (M left( {{x_0};{y_0};{z_0}} right) ) đến các mặt phẳng (x - a = 0,y - b = 0,z - c = 0 ) lần lượt bằng ( left| {{x_0} - a} right|, left| {{y_0} - b} right|, left| {{z_0} - c} right| ).

Question 11

Cho hai mă̆t phẳng $\left( {{P_1}} \right):x + 2y - 3z + 5 = 0$ và $\left( {{P_2}} \right): - 4x - 8y + 12z + 3 = 0$.

a) Chứng minh rằng $\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$.

Accepted Answer

a) Ta có ({ vec n_1} = (1;2; - 3),{ vec n_2} = ( - 4; - 8;12) ) lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng ( left( {{P_1}} right), left( {{P_2}} right) ). Do ({ vec n_2} = - 4{ vec n_1},3 ne ( - 4) ). 5 nên ( left( {{P_1}} right)// left( {{P_2}} right) ). b) Chọn điểm ({M_0} left( { frac{3}{4};0;0} right) in left( {{P_2}} right) ). Suy ra khoảng cách từ điểm ({M_0} ) đến mặt phẳng ( left( {{P_1}} right) ) bằng: (d left( {{M_0}, left( {{P_1}} right)} right) = frac{{ left| { frac{3}{4} + 5} right|}}{{ sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 3)}^2}} }} = frac{{23 sqrt {14} }}{{56}}. ) Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( left( {{P_1}} right), left( {{P_2}} right) ) bằng ( frac{{23 sqrt {14} }}{{56}} ).

Question 12

Cho mặt phẳng $(P):2x - 2y - z + 3 = 0$ và điểm ${M_0}(3;1; - 5)$. Tính khoảng cách từ điểm ${M_0}$ đến mặt phẳng $(P)$.

Accepted Answer

Khoảng cách từ điểm ({M_0} ) đến mặt phẳng ((P) ) là: (d left( {{M_0},(P)} right) = frac{{|2 cdot 3 + ( - 2) cdot 1 + ( - 1) cdot ( - 5) + 3|}}{{ sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 4.{ rm{ }} )

Question 13

Cho mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):2x - 4y - 4z + 3 = 0$ và mặt phẳng $\left( {{P_2}} \right):x - 2y - 2z + 1 = 0$.

a) Chứng minh rằng $\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$.

Accepted Answer

a) Ta có ({ vec n_1} = (2; - 4; - 4),{ vec n_2} = (1; - 2; - 2) ) lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng ( left( {{P_1}} right), left( {{P_2}} right) ). Do ({ vec n_1} = 2{ vec n_2},{D_1} = 3 ne 2 = 2{D_2} ) nên ( left( {{P_1}} right)// left( {{P_2}} right) ). b) Chọn điểm ({M_0} left( { - frac{3}{2};0;0} right) in left( {{P_1}} right) ). Suy ra khoảng cách từ điểm ({M_0} ) đến mặt phẳng ( left( {{P_2}} right) ) là: (d left( {{M_0}, left( {{P_2}} right)} right) = frac{{ left| { - frac{3}{2} + 1} right|}}{{ sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = frac{1}{6}. )Nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( left( {{P_1}} right), left( {{P_2}} right) ) bằng ( frac{1}{6} ).

Question 14

Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 1 = 0.

Accepted Answer

1/3

Question 15

Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm $M(1;2; - 1)$ đến mặt phẳng $(P):x + 2y - 2z + 5 = 0$.

Accepted Answer

Khoảng cách từ điểm (M(1;2; - 1) ) đến mặt phẳng ((P) ) : (x + 2y - 2z + 5 = 0 ) là: ({ rm{d}}(M,(P)) = frac{{|1 + 2 cdot 2 - 2 cdot ( - 1) + 5|}}{{ sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 4. )

Question 16

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0 và (Q): x + y + z + 6 = 0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Accepted Answer

Vì vectơ pháp tuyến của (P) là nP = (1; 1; 1) và của (Q) là nQ = (1; 1; 1) nên hai vectơ cùng phương. Vì 2 khác 6 nên (P) song song với (Q). Lấy điểm M(0; 0; -2) thuộc (P). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là d((P), (Q)) = d(M, (Q)) = |0 + 0 - 2 + 6| / sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = 4 / sqrt(3) = (4 * sqrt(3)) / 3.

Question 17

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P):x + 3y + z + 2 = 0$ và $(Q):x + 3y + z + 5 = 0$.

a) Chứng minh rằng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc $(P)$, tính khoảng cách từ điểm đó đến $(Q)$. Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

Accepted Answer

a) Ta có ( overrightarrow {{n_P}} = (1;3;1), overrightarrow {{n_Q}} = (1;3;1) ). Vì ( overrightarrow {{n_P}} = overrightarrow {{n_Q}} ) và (2 ne 5 ). Do đó (({ rm{P}}) ) và (({ rm{Q}}) ) song song với nhau. b) Lấy điểm ({ rm{M}}(0;0; - 2) in ({ rm{P}}) ). Khi đó khoảng cách từ (M ) đến mặt phẳng ((Q) ) là: (d(M,(Q)) = frac{{| - 2 + 5|}}{{ sqrt {1 + {3^2} + 1} }} = frac{3}{{ sqrt {11} }} ) Do đó (d(M,(Q)) = d((P),(Q)) = frac{3}{{ sqrt {11} }} )

Question 18

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x + 3y - 6z - 7 = 0 và (β): 2x + 3y - 6z + 14 = 0.

a) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O và từ điểm M(1; -2; 3) đến mặt phẳng (α).

b) Chứng minh (α) // (β) và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β).

Accepted Answer

a) d(O, (α)) = 1; d(M, (α)) = 29/7. b) (α) // (β); d((α), (β)) = 3.

Question 19

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): $x + 3y - z = 0,(Q):x - y - 2z + 1 = 0$.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $({\rm{P}})$ và $({\rm{Q}})$ vuông góc với nhau.

b) Tim điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng $({\rm{P}})$ và $({\rm{Q}})$.

Accepted Answer

Ta có ( overrightarrow {{n_P}} = (1;3; - 1), overrightarrow {{n_Q}} = (1; - 1; - 2) ) vì ( overrightarrow {{n_P}} cdot overrightarrow {{n_Q}} = 1 cdot 1 + 3 cdot ( - 1) + ( - 1) cdot ( - 2) = 0 ) Do đó hai mặt phẳng (({ rm{P}}) ) và (({ rm{Q}}) ) vuông góc với nhau. ( begin{array}{l}{ rm{ b) Do M}} in { rm{Ox nên M}} ({ rm{a}};0;0){ rm{. Do d}}({ rm{M}},({ rm{P}})) = { rm{d}}({ rm{M}},({ rm{Q}})) { rm{ nên }} frac{{|a|}}{{ sqrt {1 + 9 + 1} }} = frac{{|a + 1|}}{{ sqrt {1 + 1 + 4} }} Leftrightarrow sqrt 6 |a| = sqrt {11} |a + 1| Leftrightarrow 6{a^2} = 11{a^2} + 22a + 11 Leftrightarrow 5{a^2} + 22a + 11 = 0 Leftrightarrow a = frac{{ - 11 - sqrt {66} }}{5}{ rm{ hay }}a = frac{{ - 11 + sqrt {66} }}{5} end{array} )Vậy có hai điểm (M ) thỏa mãn yêu cầu là: ({M_1} left( { frac{{ - 11 - sqrt {66} }}{5};0;0} right),{M_2} left( { frac{{ - 11 + sqrt {66} }}{5};0;0} right) )

Question 20

Cho hình chóp S.ABC thoả mãn ASB^=BSC^=CSA^=90°. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}}{\rm{. }}$

Accepted Answer

Đặt (SA = a,SB = b,SC = c(a,b,c > 0) ). Vì các đường thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc nên có thể gắn hệ trục toạ độ Oxyz thoả mãn (S(0;0;0),A(a;0;0) ), (B(0;b;0),C(0;0;c) ). Phương trình mặt phẳng ((ABC) ) là: ( frac{x}{a} + frac{y}{b} + frac{z}{c} = 1 Leftrightarrow frac{x}{a} + frac{y}{b} + frac{z}{c} - 1 = 0 ). Khoảng cách từ điểm (S ) đến mặt phẳng ((ABC) ) là: (SH = frac{{ left| { frac{0}{a} + frac{0}{b} + frac{0}{c} - 1} right|}}{{ sqrt {{{ left( { frac{1}{a}} right)}^2} + {{ left( { frac{1}{b}} right)}^2} + {{ left( { frac{1}{c}} right)}^2}} }} = frac{1}{{ sqrt {{{ left( { frac{1}{a}} right)}^2} + {{ left( { frac{1}{b}} right)}^2} + {{ left( { frac{1}{c}} right)}^2}} }}. ) Suy ra ( frac{1}{{S{H^2}}} = frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{c^2}}} = frac{1}{{S{A^2}}} + frac{1}{{S{B^2}}} + frac{1}{{S{C^2}}} ).

23 bài tập Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (có lời giải)

Xem trước câu hỏi