23 bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Phương trình mặt cầu (có lời giải)

Trong không gian Oxyz (đơn vị của các trục toạ độ là mét), các nhà nghiên cứu khí tượng dùng một phần mềm mô phỏng bề mặt của một quả bóng thám không có dạng hình cầu bằng phương trình \({(x - 300)^2} + {(y - 400)^2} + {(z - 2000)^2} = 1\). Tìm toạ độ tâm, bán kính của quả bóng và tính khoảng cách từ tâm của quả bóng đến mặt đất có phương trình \(z = 0\).

Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ tọa độ Oxyz để theo dõi vị trí của quả bóng \(M\). Cho biết \(M\) đang nằm trên mặt sân có phương trình \(z = 0\), đồng thời thuộc mặt cầu \((S):{(x - 32)^2} + {(y - 50)^2} + {(z - 10)^2} = 109\) (đơn vị độ dài tính theo mét).



a) Tìm toạ độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \((S)\).

b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc \(J\) của tâm \(I\) trên mặt sân.

c) Tính khoảng cách từ vị trí \(M\) của quả bóng đến điểm \(J\).

Trong không gian Oxyz (đơn vị của các trục toạ độ là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu phát được đặt tại điềm \(I( - 6; - 1;4)\).

a) Cho biết bán kính phủ sóng của trạm là 2 km . Viết phương trình mặt cầu \((S)\) biểu diễn ranh giới của vùng phủ sóng.



b) Một người sử dụng điện thoại tại điểm \(M( - 5; - 2;5)\). Hãy cho biết điểm \(M\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu \((S)\) và người đó có thể sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên hay không.

c) Câu hỏi tương tự đối với người sử dụng điện thoại ở điểm \(N( - 1;0;1)\).

Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 200x - 600y - 4000z + 4099900 = 0.{\rm{ }}\)



Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu.

Đầu in phun của một máy in 3D đang in bề mặt của một mặt cầu có phương trình:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{8}x - \frac{1}{8}y - z + \frac{1}{{16}} = 0.\)



Tính khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu.

Phần mềm mô phỏng thiết bị thám hiểm đại dương có dạng hình cầu trong không gian Oxyz. Cho biết toạ độ tâm mặt cầu là \(I(360;200;400)\) và bán kính \(r = 2\;{\rm{m}}\). Viết phương trình mặt cầu.

Trong không gian Oxyz, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí A(2;0;0). Vùng phủ sóng của thiết bị là hình cầu có bán kính bằng 1. Hỏi vị trí M(2;1;1) có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không?

Biết rằng nếu vị trí M có vĩ độ và kinh độ tương ứng là α°N,β°E(0<α<90, 0<β<90) thì có toạ độ Mcosα°cosβ°;cosα°sinβ°;sinα°. Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí đến vị trí Q:80°N,70°E.

Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí B:45°N,30°E.

Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị tri đôi một cách nhau 2 m , người ta lần lượt thả dầy dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị tri đó lần lượt có độ dài \(4\;{\rm{m}};4,4\;{\rm{m}};4,8\;{\rm{m}}\). Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?