25 bài tập Hai mặt phẳng song song – vuông góc (có lời giải)

Question 1

Mặt phẳng $(P): 4x + 3y + z + 5 = 0$ song song với mặt phẳng nào sau đây?

Accepted Answer

B

Question 2

Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và song song với mặt phẳng $(P):2x + y + z + 12 = 0$.

Accepted Answer

2x + y + z - 7 = 0

Question 3

Mặt phẳng $(E): 2x - y + 8z + 1 = 0$ song song với mặt phẳng nào sau đây?

Accepted Answer

A

Question 4

Cho ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ có phương trình là:

$(P):x - 4y + 3z + 2 = 0;(Q):4x + y + 88 = 0 {\rm{ và }} (R):x + y + z + 9 = 0.{\rm{ }}$

Chứng minh rằng $(P) \bot (Q)$ và $(P) \bot (R)$.

Accepted Answer

Các mặt phẳng ((P),(Q),(R) ) có vectơ pháp tuyến lần lượt là ({ vec n_1} = (1; - 4;3),{ vec n_2} = (4;1;0) ), ({ vec n_3} = (1;1;1) ). Ta có ({ vec n_1} cdot { vec n_2} = 1.4 + ( - 4).1 + 3.0 = 0 ). Vậy ((P) bot (Q) ). Ta có ({ vec n_1} cdot { vec n_3} = 1 cdot 1 + ( - 4) cdot 1 + 3.1 = 0 ). Vậy ((P) bot (R) ).

Question 5

Tìm các cặp mặt phẳng vuông góc trong các mặt phẳng sau:

(F): $3x + 2y + 5z + 3 = 0$,

(H): $x - 4y + z + 23 = 0$,

(G): $x - y + 3z + 24 = 0$.

Accepted Answer

(F) vuông góc với (H)

Question 6

** **Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua hai điểm $A(3;1; - 1)$, $B(2; - 1;4)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\beta )$ có phương trình là $2x - y + 3z - 1 = 0$.

Accepted Answer

Gọi ( overrightarrow {{n_ beta }} = (2; - 1;3) ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (( beta ) ). ( ( alpha ) ) vuông góc với (( beta ) ) nên ( overrightarrow {{n_ beta }} = (2; - 1;3) ) có giá song song hoặc nằm trong (( alpha ) ). (( alpha ) ) đi qua (A ) và (B ) nên ( overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;5) ) có giá nằm trong (( alpha ) ). Hơn nữa ( overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;5) ) và ( overrightarrow {{n_ beta }} = (2; - 1;3) ) không cùng phương nên chúng là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (( alpha ) ). Do đó mặt phẳng (( alpha ) ) có vectơ pháp tuyến ( overrightarrow {{n_u}} = left[ { overrightarrow {AB} , overrightarrow {{n_ beta }} } right] = ( - 1;13;5) ). Vậy phương trình của (( alpha ) ) là: ( - 1(x - 3) + 13(y - 1) + 5(z + 1) = 0{ rm{ hay }}x - 13y - 5z + 5 = 0. )

Question 7

Cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):3x + 2y - z + 1 = 0$ và $\left( {{P_2}} \right):6x + 4y - 2z + 3 = 0$. Chứng minh rằng $\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right)$.

Accepted Answer

Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n}_1 = (3; 2; -1)$ và $\vec{n}_2 = (6; 4; -2)$. Ta thấy $\vec{n}_2 = 2\vec{n}_1$, do đó hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Mặt khác, xét điểm $M(0; 0; 1) \in (P_1)$, ta thấy $6(0) + 4(0) - 2(1) + 3 = 1 \neq 0$, nên $M \notin (P_2)$. Vậy $(P_1) // (P_2)$.

Question 8

Cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):4x - 3y - 2z + 4 = 0,\left( {{P_2}} \right):5x - 2y + 13z + 9 = 0$. Chứng minh rằng $\left( {{P_1}} \right) \bot \left( {{P_2}} \right)$.

Accepted Answer

Các vectơ ({ vec n_1} = (4; - 3; - 2),{ vec n_2} = (5; - 2;13) ) lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng ( left( {{P_1}} right) ) và ( left( {{P_2}} right) ). Vì ({ vec n_1} cdot { vec n_2} = 4 cdot 5 + ( - 3) cdot ( - 2) + ( - 2) cdot 13 = 0 ) nên ({ vec n_1} bot { vec n_2} ). Vậy ( left( {{P_1}} right) bot left( {{P_2}} right) ).

Question 9

Cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):2x - y - 3z + 1 = 0$ và $\left( {{P_2}} \right):6x - 3y - 9z + 1 = 0.$ Chứng minh rằng $\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right).$

Accepted Answer

Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n}_1 = (2; -1; -3)$ và $\vec{n}_2 = (6; -3; -9)$. Ta thấy $\vec{n}_2 = 3\vec{n}_1$, do đó hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Mặt khác, lấy điểm $M(0; 1; 0) \in (P_1)$, ta thấy $6(0) - 3(1) - 9(0) + 1 = -2 \neq 0$, nên $M \notin (P_2)$. Vậy $(P_1) // (P_2)$.

Question 10

Cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):x - y - 2z + 4 = 0,\left( {{P_2}} \right):x - y + z + 5 = 0.$ Chứng minh rằng $\left( {{P_1}} \right) \bot \left( {{P_2}} \right)$.

Accepted Answer

Hai mặt phẳng ( left( {{P_1}} right), left( {{P_2}} right) ) có vectơ pháp tuyến lần lượt là ({ vec n_1} = (1; - 1; - 2),{ vec n_2} = (1; - 1;1) ). Vì ({ vec n_1} cdot { vec n_2} = 1 cdot 1 + ( - 1) cdot ( - 1) + ( - 2) cdot 1 = 0 ) nên ({ vec n_1} bot { vec n_2} ). Vậy ( left( {{P_1}} right) bot left( {{P_2}} right) ).

Question 11

a) Lập phương trình của các mặt phẳng toạ độ $(Oxy),(Oyz),(Oxz)$.

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm $A( - 1;9;8)$ và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ trên.

Accepted Answer

a) Mp ((Oxy) ) đi qua điểm (O(0;0;0) ) và có vectơ pháp tuyến là ( vec k = (0;0;1) ) nên có phương trình là (z = 0 ). Mp ((Oyz) ) đi qua điểm (O(0;0;0) ) và có vectơ pháp tuyến là ( vec i = (1;0;0) ) nên có phương trình là (x = 0 ). Mp ((Oxz) ) đi qua điểm (O(0;0;0) ) và có vectơ pháp tuyến là ( vec j = (0;1;0) ) nên có phương trình là (y = 0 ). b) Mặt phẳng đi qua điểm (A( - 1;9;8) ) và song song với mặt phẳng ((Oxy) ) thì có vectơ pháp tuyến là ( vec k = (0;0;1) ) nên có phương trình là (z - 8 = 0 ). Mặt phẳng đi qua điểm (A( - 1;9;8) ) và song song với mă̆t phẳng ((Oyz) ) thì có vectơ pháp tuyến là ( vec i = (1;0;0) ) nên có phương trình là (x + 1 = 0 ). Mặt phẳng đi qua điểm (A( - 1;9;8) ) và song song với mặt phẳng ((Oxz) ) thì có vectơ pháp tuyến là ( vec j = (0;1;0) ) nên có phương trình là (y - 9 = 0 ).

Question 12

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai mặt phắng sau vuông góc với nhau:

$(\alpha ):x - 3y + 2z + 1 = 0,(\beta ):5x + y - z + 2 = 0.{\rm{ }}$

Accepted Answer

Hai mặt phẳng (( alpha ),( beta ) ) có vectơ pháp tuyến tương ứng là ( vec n = (1; - 3;2), overrightarrow {{n^ prime }} = (5;1; - 1) ). Ta có ( vec n cdot overrightarrow {{n^ prime }} = 1 cdot 5 + ( - 3) cdot 1 + 2 cdot ( - 1) = 0 ) nên ( vec n bot overrightarrow {{n^ prime }} ). Do đó (( alpha ) ) vuông góc với (( beta ) ).

Question 13

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A(1;2; - 2),B(2;4;1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):x + 3y + z - 1 = 0$.

Accepted Answer

Mặt phẳng ((Q) ) có vectơ pháp tuyến ( overrightarrow {{n_Q}} = (1;3;1) ). Mặt phẳng ((P) ) đi qua A, B và vuông góc với ((Q) ) nên có cặp vectơ chỉ phương là ( overrightarrow {AB} = (1;2;3) ) và ( overrightarrow {{n_Q}} = (1;3;1) ). Do đó ((P) ) có vectơ pháp tuyến là: ( overrightarrow {{n_P}} = left[ { overrightarrow {AB} , overrightarrow {{n_Q}} } right] = ( - 7;2;1) ). Mặt phẳng ((P) ) đi qua (A(1;2; - 2) ) và có vectơ pháp tuyến ({ vec n_P} = ( - 7;2;1) ) nên có phương trình: ( - 7x + 2y + z - (( - 7) cdot 1 + 2 cdot 2 + 1 cdot ( - 2)) = 0 Leftrightarrow 7x - 2y - z - 5 = 0 ).

Question 14

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: $(\alpha ):3x - y + z + \sqrt 2 = 0$ và $(\beta ):3\sqrt 2 x - \sqrt 2 y + \sqrt 2 z + 1 = 0$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Accepted Answer

Hai mặt phẳng song song với nhau.

Question 15

Luyện tập 10. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: $(\alpha ):5x + 2y - 4z + 6 = 0$ và

($\beta ):10x + 4y - 2z + 12 = 0$.

a) Hỏi $(\alpha )$ và $(\beta )$ có song song với nhau hay không?

b) Chứng minh rằng điểm $M(1; - 3;5)$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ nhưng thuộc mặt phẳng $(\beta )$.

c) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1; - 3;5)$ và song song với $(\alpha )$.

Accepted Answer

a) Ta có ( overrightarrow {{n_ alpha }} = (5;2; - 4), overrightarrow {{n_ beta }} = (10;4; - 2) ) không cùng phương nên (a) và ( ( beta ) ) không song song với nhau. b) Ta có (5.1 + 2.( - 3) - 4.5 + 6 = - 15 ne 0 ). Do đó điểm (M(1; - 3;5) ) không thuộc mặt phẳng (a). Ta có (10.1 + 4.( - 3) - 2.5 + 12 = 0 ). Do đó điểm ({ rm{M}}(1; - 3;5) ) thuộc mặt phẳng (( beta ) ). c) Vi (P) // ( ( alpha )) nên mặt phẳng (P) nhận ( overrightarrow {{n_ alpha }} = (5;2; - 4) ) làm một vectơ pháp tuyến. Mặt phằng (({ rm{P}}) ) đi qua ({ rm{M}}(1; - 3;5) ), có vectơ pháp tuyến ( overrightarrow {{n_ alpha }} = (5;2; - 4) ) có phương trình là: (5(x - 1) + 2(y + 3) - 4(z - 5) = 0 ) hay (5x + 2y - 4z + 21 = 0 ).

Question 16

Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $C(1; - 5;0)$ và song song với mặt phẳng $(P):3x - 5y + 4z - 2024 = 0$.

Accepted Answer

3x - 5y + 4z - 28 = 0

Question 17

Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua hai điểm $A(1;0;1),B(5;2;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\beta ):2x - y + z - 7 = 0$.

Accepted Answer

Mặt phẳng (( alpha ) ) có cặp vectơ chỉ phương là ( overrightarrow {AB} = (4;2;2),{ vec n_ beta } = (2; - 1;1) ) nên có vectơ pháp tuyến là ( vec n = left[ { overrightarrow {AB} ,{{ vec n}_ beta }} right] = (4;0; - 8) ). Phương trình mặt phẳng (( alpha ) ) là: (4(x - 1) + 0(y - 0) - 8(z - 1) = 0 Leftrightarrow x - 2z + 1 = 0. )

Question 18

Viết phương trình mặt phẳng $(R)$ đi qua điểm $A(1;2; - 1)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(P):4x - 2y + 6z - 11 = 0,(Q):2x + 2y + 2z - 7 = 0$.

Accepted Answer

Mặt phẳng ((R) ) có cặp vectơ chỉ phương là ({ vec n_P} = (4; - 2;6),{ vec n_Q} = (2;2;2) ) nên có vectơ pháp tuyến là ( vec n = left[ {{{ vec n}_P},{{ vec n}_Q}} right] = ( - 16;4;12) ). Phương trình mặt phẳng ((R) ) là: ( - 16(x - 1) + 4(y - 2) + 12(z + 1) = 0 Leftrightarrow - 4x + y + 3z + 5 = 0. )

Question 19

Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $K(4; - 3;7)$ và song song với mặt phẳng $(Q):3x - 2y + 4z + 7 = 0$.

Accepted Answer

Vì ((P)//(Q) ) nên ( vec n = (3; - 2;4) ) là một vectơ pháp tuyến của ((P) ). Vậy phương trình ((P) ) là: (3 cdot (x - 4) - 2 cdot (y + 3) + 4 cdot (z - 7) = 0 Leftrightarrow 3x - 2y + 4z - 46 = 0 ).

Question 20

Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $I(1; - 2;4)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(Q):x - y - 2 = 0,(R):y + z + 3 = 0$.

Accepted Answer

Ta có: ({ vec n_1} = (1; - 1;0),{ vec n_2} = (0;1;1) ) lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng ((Q),(R) ) và ( left[ {{{ vec n}_1},{{ vec n}_2}} right] = ( - 1; - 1;1) ). Vì ((P) ) vuông góc với hai mặt phẳng ((Q),(R) ) nên vectơ pháp tuyến của ((P) ) vuông góc với cả ({ vec n_1} ) và ({ vec n_2} ). Suy ra ( left[ {{{ vec n}_1},{{ vec n}_2}} right] ) là một vectơ pháp tuyến của ((P) ). Vậy phương trình ((P) ) là: (( - 1) cdot (x - 1) - 1 cdot (y + 2) + 1 cdot (z - 4) = 0 Leftrightarrow - x - y + z - 5 = 0 ).

25 bài tập Hai mặt phẳng song song – vuông góc (có lời giải)

Xem trước câu hỏi