25 bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (có lời giải)

Question 1

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\{y = 2 + t}\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\{y = 5 + 2{t^\prime }}\{z = 1 + 4{t^\prime }}\end{array}} \right.$

b) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 3}}{6}$.

Accepted Answer

a) Đường thẳng (d ) đi qua điểm (M(1;2;1) ) và có vectơ chỉ phương ( vec a = (1;1;2) ). Đường thẳng ({d^ prime } ) có vectơ chỉ phương ({ vec a^ prime } = (2;2;4) = 2 vec a ). Thay toạ độ điểm (M ) vào phương trình của ({d^ prime } ), ta được: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{1 = 2 + 2{t^ prime }} {2 = 5 + 2{t^ prime }} {1 = 1 + 4{t^ prime }} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{{t^ prime } = - frac{1}{2}} {{t^ prime } = - frac{3}{2}} {{t^ prime } = 0} end{array}} right.} right.{ rm{ (vô nghiệm)}}{ rm{. }} )Suy ra (M ) không thuộc ({d^ prime } ). Vậy (d//{d^ prime } ). b ) Đường thẳng (d ) đi qua điểm (M(1;2;1) ) và có vectơ chỉ phương ( vec a = (1;1;2) ). Đường thẳng ({d^ prime } ) có vectơ chỉ phương ({ vec a^ prime } = (3;3;6) = 3 vec a ). Thay toạ độ điểm (M ) vào phương trình của ({d^ prime } ), ta được: ( frac{{1 - 2}}{3} = frac{{2 - 3}}{3} = frac{{1 - 3}}{6}{ rm{. }} ) Phương trình nghiệm đúng, suy ra (M ) thuộc ({d^ prime } ). Vậy (d equiv {d^ prime } ).

Question 2

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 7 + 4t}\{y = 3 - 2t}\{z = 2 - 2t}\end{array}} \right.$ và d': $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}$;

b) $d:\frac{x}{3} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{4}$ và d': $\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}$.

Accepted Answer

a) Đường thẳng d đi qua ({ rm{M}}(7;3;2) ) và có vectơ chí phương ( vec a = (4; - 2; - 2) ) Đường thắng d' đi qua ({ rm{N}}(3;5;4) ) và có vectơ chí phương ( overrightarrow {{a^ prime }} = (2; - 1; - 1) = frac{1}{2} vec a ) Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng d' ta được ( frac{{7 - 3}}{2} = frac{{3 - 5}}{{ - 1}} = frac{{2 - 4}}{{ - 1}} ) (luôn đúng). Suy ra điếm ({ rm{M}} in {{ rm{d}}^ prime } ). Vậy ({ rm{d}} equiv d ) '. b) Đường thắng d đi qua ({ rm{M}}(0;0;1) ) và có vectơ chỉ phương ( vec a = (3;3;4) ) Đường thẳng d' đi qua ({ rm{N}}(2;9;5) ) và có vectơ chí phương ( overrightarrow {{a^ prime }} = (3;3;4) = vec a ) Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng ({{ rm{d}}^ prime } ) ta có: ( frac{{0 - 2}}{3} = frac{{0 - 9}}{3} = frac{{1 - 5}}{4} ) (vô lí). Suy ra (M notin {d^ prime } ). Vậy d // d'.

Question 3

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\{y = 1 + t}\{z = 2 + t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2{t^\prime }}\{y = 2 + 5{t^\prime }}\{z = 3 + {t^\prime }}\end{array}} \right.$

b) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\{y = 2 + t}\{z = 3 + t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z - 9}}{6}$.

Accepted Answer

a) (d ) và ({d^ prime } ) có vectơ chi phương lần lượt là ( vec a = (1;1;1) ) và ({ vec a^ prime } = (2;5;1) ). Ta có ( frac{1}{2} ne frac{1}{5} ), suy ra ( vec a ) và ({ vec a^ prime } ) không cùng phương. Vậy (d ) và ({d^ prime } ) hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau. Xét hệ phương trình ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{t = 1 + 2{t^ prime }} {1 + t = 2 + 5{t^ prime }} {2 + t = 3 + {t^ prime }} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{t - 2{t^ prime } = 1} {t - 5{t^ prime } = 1} {t - {t^ prime } = 1.} end{array}} right.} right. ) Từ (1) và (2) suy ra (t = 1;{t^ prime } = 0 ). Thay vào (3) ta thấy phương trình thoà mãn. Vậy (d ) cắt ({d^ prime } ) tại điềm (M(1;2;3) ). b) (d ) và ({d^ prime } ) có vectơ chi phương lần lượt là ( vec a = (1;1;1) ) và ({ vec a^ prime } = (2;5;6) ). Ta co ( frac{1}{2} ne frac{1}{5} ), suy ra ( vec a ) và ({ vec a^ prime } ) không cùng phương. Vậy (d ) và ({d^ prime } ) hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau. ({d^ prime } ) có phương trình tham số là: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2{t^ prime }} {y = 2 + 5{t^ prime }} {z = 9 + 6{t^ prime }} end{array}} right. ) Xét hệ phương trình ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{1 + t = 1 + 2{t^ prime }} {2 + t = 2 + 5{t^ prime }} {3 + t = 9 + 6{t^ prime }} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{t - 2{t^ prime } = 0} {t - 5{t^ prime } = 0} {t - 6{t^ prime } = 6.} end{array}} right.} right. ) Từ (1) và (2) suy ra (t = 0;{t^ prime } = 0 ). Thay vào (3) ta thấy phương trình không thoȧ mãn ((0 ne 6) ). Vậy (d ) và ({d^ prime } ) chéo nhau.

Question 4

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\{y = 1 - t}\{z = 2 - 3t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 2}}{4} = \frac{y}{7} = \frac{{z + 1}}{{11}}$;

b) $d:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{9}$.

Accepted Answer

a) Đường thắng d và d' lằn lượt có vectơ chỉ phương là ( overrightarrow {{a_1}} = (2; - 1; - 3), overrightarrow {{a_2}} = (4;7;11) ). Ta có ( frac{2}{4} ne frac{{ - 1}}{7} ) nên ( overrightarrow {{a_1}} , overrightarrow {{a_2}} ) không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau. Xét phương trình d' ở dạng tham số ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 4{t^ prime }} {y = 7{t^ prime }} {z = - 1 + 11{t^ prime }} end{array}} right. ) Xét hệ phương trình ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{2 + 4{t^ prime } = 2t} {7{t^ prime } = 1 - t} { - 1 + 11{t^ prime } = 2 - 3t} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{4{t^ prime } - 2t = - 2} {7{t^ prime } + t = 1} {11{t^ prime } + 3t = 3} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{{t^ prime } = 0} {t = 1} {11.0 + 3.1 = 3} end{array}} right.} right.} right. ) Suy ra hệ có nghiệm duy nhắt. Do đó d và d' cắt nhau. b) Đường thắng d và d' lần lượt có vectơ chí phương là ( overrightarrow {{a_1}} = (1;2;2), overrightarrow {{a_2}} = (3;2;9) ). Ta có ( frac{1}{3} ne frac{2}{2} ) do đó ( overrightarrow {{a_1}} , overrightarrow {{a_2}} ) không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau. Ta có phương trình đường thắng d và d' viết dưới dạng tham số lần lượ là: Ta có hệ phương trình ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{4 + t = 2 + 3{t^ prime }} {1 + 2t = 1 + 2{t^ prime }} {1 + 2t = 1 + 9{t^ prime }} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{t - 3{t^ prime } = - 2} {2t - 2{t^ prime } = 0} {2t - 9{t^ prime } = 0} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{t = 1} {{t^ prime } = 1} {2.1 - 9.1 = 0} end{array}} right.} right.} right. ) (vô nghiệm). Suy ra hệ vô nghiệm. Do đó d và d' chéo nhau.

Question 5

Cho hai đường thẳng d: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 + t}\{y = 1 + 2t}\{z = 1 - t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {t^\prime }}\{y = 7 + 4{t^\prime }}\{z = 9{t^\prime }}\end{array}} \right.$

a) Tìm vectơ chỉ phương $\vec a$ và $\overrightarrow {{a^\prime }} $ lần lượt của d và d'.

b) Tính tích vô hướng $\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }} $. Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng d và d'?

Accepted Answer

a) Đường thằng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là ( vec a = (1;2; - 1), overrightarrow {{a^ prime }} = (1;4;9) ) b) ( vec a cdot overrightarrow {{a^ prime }} = 1.1 + 2 cdot 4 + ( - 1) cdot 9 = 0 ). Do đó ({ rm{d}} bot {{ rm{d}}^ prime } ).

Question 6

Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 3}}{1}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + t}\{y = 7 + t}\{z = 9 - 8t}\end{array}} \right.$

b) $d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 3}}{1}$ và ${d^\prime }:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 7}}{1} = \frac{{z - 9}}{1}$.

Accepted Answer

a) (d ) và ({d^ prime } ) có vectơ chỉ phương lần lượt là ( vec a = (3;5;1) ) và ({ vec a^ prime } = (1;1; - 8) ). Ta có ( vec a cdot { vec a^ prime } = 3 + 5 - 8 = 0 ). Vậy (d ) và ({d^ prime } ) vuông góc với nhau. b) (d ) và ({d^ prime } ) có vectơ chỉ phương lần lượt là ( vec a = (3;5;1) ) và ({ vec a^ prime } = (2;1;1) ). Ta có ( vec a cdot { vec a^ prime } = 6 + 5 + 1 ne 0 ). Vậy (d ) và ({d^ prime } ) không vuông góc với nhau.

Question 7

Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + t}\{y = t}\{z = - 6 + 2t}\end{array}} \right.$

b) $d:\frac{{x + 2}}{7} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}$ và ${d^\prime }:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 5}}{2}$.

Accepted Answer

a) Đường thắng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là ( vec a = (1; - 3;1), overrightarrow {{a^ prime }} = (1;1;2) ). Ta có ( vec a cdot overrightarrow {{a^ prime }} = 1.1 + ( - 3) cdot 1 + 1.2 = 0 ). Do đó d và d' vuông góc với nhau. b) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là ( vec a = (7;3;1), overrightarrow {{a^ prime }} = (2;2;2) ). Ta có ( vec a cdot overrightarrow {{a^ prime }} = 7.2 + 3.2 + 1.2 = 22 ne 0 ). Do đó d và d' không vuông góc với nhau.

Question 8

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) d':x=2+2t'y=3+4t'z=2t' và $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\{y = - 1 + 2t}\{z = - 2 + t}\end{array}} \right.$

b) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{1}$.

Accepted Answer

a) Đường thắng d đi qua ({ rm{M}}(1; - 1; - 2) ) và có vectơ chí phương ( vec a = (1;2;1) ) Đường thắng d' đi qua ({ rm{N}}(2;3;0) ) và có vectơ chí phương ( overrightarrow {{a^ prime }} = (2;4;2) = 2 vec a ) Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng d' ta được: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{1 = 2 + 2{t^ prime }} { - 1 = 3 + 4{t^ prime }} { - 2 = 2{t^ prime }} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{{t^ prime } = frac{{ - 1}}{2}} {{t^ prime } = - 1{ rm{ (vô lí )}}{ rm{. }}} {{t^ prime } = - 1} end{array}} right.} right. )Suy ra d// d'. b) Đường thắng d đi qua ({ rm{M}}(1;2;3) ) và có vectơ chỉ phương ( vec a = (1;2;2) ) Đường thẳng d' đi qua ({ rm{N}}(2;1;1) ) và có vectơ chỉ phương ( overrightarrow {{a^ prime }} = (1;5;1) ) ({ rm{Có }} overrightarrow {MN} = (1; - 1; - 2). left[ { vec a, overrightarrow {{a^ prime }} } right] = ( - 8;1;3){ rm{. Có }} overrightarrow {MN} cdot left[ { vec a, overrightarrow {{a^ prime }} } right] = 1 cdot ( - 8) + ( - 1) cdot 1 + ( - 2) cdot 3 = - 15 ne 0.{ rm{ }} ) Do đó d và d' chéo nhau.

Question 9

Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;1)$ và song song với đường thẳng ${d^\prime }:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{4}$.

Accepted Answer

Đường thắng d' có vectơ chí phương là ( vec a = (3;2;4) ) Vi d // d' nên đường thắng d nhận ( vec a = (3;2;4) ) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng d đi qua điếm ({ rm{A}}(1;0;1) ) và nhận ( vec a = (3;2;4) ) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t} {y = 2t} {z = 1 + 4t} end{array}} right. )

Question 10

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 11 - 6t}\{y = - 6 - 3t}\{z = 10 + 3t}\end{array}} \right.$ ( $t$ là tham số);

b) ${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{{z - 3}}{5}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 6}}{2} = \frac{{z - 15}}{{ - 3}}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{z}{1}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}$.

Accepted Answer

a) ${\Delta _1} // {\Delta _2}$; b) ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$; c) ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.

Question 11

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\{y = - 1 - 3t}\{z = 2 - t}\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + s}\{y = 1 - 2s}\{z = 3 + 8s}\end{array}} \right.$

Chứng minh rằng hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ vuông góc với nhau.

Accepted Answer

Các đường thẳng ${\Delta _1}, {\Delta _2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = (2; - 3; - 1)$ và $\overrightarrow {{u_2}} = (1; - 2; 8)$. Ta có $\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = 2 \cdot 1 + (-3) \cdot (-2) + (-1) \cdot 8 = 2 + 6 - 8 = 0$. Vậy ${\Delta _1} \bot {\Delta _2}$.

Question 12

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$. Đường thẳng $\Delta $ có vuông góc với trục Oz hay không?

Accepted Answer

Không

Question 13

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau và chéo nhau:

Δ1: x = 1 + t, y = 2 - t, z = -1 + 2t
Δ2: (x - 4)/3 = (y + 1)/1 = z/(-1)

Accepted Answer

Đường thẳng Δ1 đi qua điểm A1(1; 2; -1) và có vectơ chỉ phương u1 = (1; -1; 2). Đường thẳng Δ2 đi qua điểm A2(4; -1; 0) và có vectơ chỉ phương u2 = (3; 1; -1). Vì u1.u2 = 1.3 + (-1).1 + 2.(-1) = 0 nên u1 vuông góc với u2. Do đó Δ1 vuông góc với Δ2. Ta có A1A2 = (3; -3; 1) và [u1, u2] = (-1; 7; 4). Do A1A2.[u1, u2] = 3.(-1) + (-3).7 + 1.4 = -20 ≠ 0 nên Δ1 và Δ2 chéo nhau.

Question 14

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:

Δ1: (x-3)/1 = (y-0)/(-2) = (z-1)/3 và Δ2: (x-1)/1 = (y-2)/(-2) = z/3.

Accepted Answer

Đường thẳng Δ1 có vectơ chỉ phương u1 = (1; -2; 3) và đi qua điểm A(3; 0; 1). Đường thẳng Δ2 có vectơ chỉ phương u2 = (1; -2; 3) và đi qua điểm B(1; 2; 0). Vì u1 = u2 và điểm A không thuộc Δ2 (thay tọa độ A vào Δ2: (3-1)/1 = 2/1 = 2; (0-2)/(-2) = 1; 1/3 = 1/3, các tỉ số không bằng nhau), nên Δ1 song song với Δ2.

Question 15

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau cắt nhau:

Δ1: x = 1 - t, y = 2 + t, z = -1 + 2t
Δ2: x = -6 + s, y = 5 + s, z = 5 + 2s

Accepted Answer

Hai đường thẳng cắt nhau vì hệ phương trình giao điểm có nghiệm duy nhất (t=3, s=4).

Question 16

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Δ1:x=1+5t1y=2−t1z=3+2t1,Δ2:x=2+10t2y=4−2t2z=1+4t2;

b) Δ1:x−23=y−32=z+41,Δ2:x+22=y−11=z−2−3;

c) Δ1:x+31=y−1−1=z−22,Δ2:x=6+3ty=8+2tz=−1−t

Accepted Answer

a) Đường thẳng ({ Delta _1} ) đi qua điểm ({M_1}(1;2;3) ) và có ({ vec u_1} = (5; - 1;2) ) là vectơ chỉ phương. Đường thẳng ({ Delta _2} ) đi qua điểm ({M_2}(2;4;1) ) và có ({ vec u_2} = (10; - 2;4) ) là vectơ chỉ phương. Ta có: (2{ vec u_1} = (10; - 2;4) = { vec u_2} ), suy ra ({ vec u_1},{ vec u_2} ) cùng phương; ( overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (1;2; - 2) ) và ( frac{1}{5} ne frac{2}{{ - 1}} ) nên ({ vec u_1}, overrightarrow {{M_1}{M_2}} ) không cùng phương. Vậy ({ Delta _1}//{ Delta _2} ). b) Đường thẳng ({ Delta _1} ) đi qua điểm ({M_1}(2;3; - 4) ) và có ({ vec u_1} = (3;2;1) ) là vectơ chỉ phương. Đường thẳng ({ Delta _2} ) đi qua điểm ({M_2}( - 2;1;2) ) và có ({ vec u_2} = (2;1; - 3) ) là vectơ chỉ phương. Ta có: ( frac{2}{3} ne frac{1}{2} ), suy ra ({ vec u_1},{ vec u_2} ) không cùng phương; ( overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 4; - 2;6), left[ {{{ vec u}_1},{{ vec u}_2}} right] = left( { left| { begin{array}{*{20}{c}}2&1 1&{ - 3} end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}1&3 { - 3}&2 end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{l}}3&2 2&1 end{array}} right|} right) = ( - 7;11; - 1){ rm{. }} ) Do ( left[ {{{ vec u}_1},{{ vec u}_2}} right] cdot overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 7) cdot ( - 4) + 11 cdot ( - 2) + ( - 1) cdot 6 = 0 ) nên ({ vec u_1},{ vec u_2}, overrightarrow {{M_1}{M_2}} ) đồng phẳng. Vậy ({ Delta _1} ) cắt ({ Delta _2} ). c) Đường thẳng ({ Delta _1} ) đi qua điểm ({M_1}( - 3;1;2) ) và có ({ vec u_1} = (1; - 1;2) ) là vectơ chỉ phương. Đường thẳng ({ Delta _2} ) đi qua điểm ({M_2}(6;8; - 1) ) và có ({ vec u_2} = (3;2; - 1) ) là vectơ chi phương. Ta có: ( overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (9;7; - 3), left[ {{{ vec u}_1},{{ vec u}_2}} right] = left( { left| { begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2 2&{ - 1} end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}2&1 { - 1}&3 end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1} 3&2 end{array}} right|} right) = ( - 3;7;5). ) Do ( left[ {{{ vec u}_1},{{ vec u}_2}} right] cdot overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 3) cdot 9 + 7 cdot 7 + 5 cdot ( - 3) = 7 ne 0 ) nên ({ vec u_1},{ vec u_2}, overrightarrow {{M_1}{M_2}} ) không đồng phẳng. Vậy ({ Delta _1} ) và ({ Delta _2} ) chéo nhau.

Question 17

Bằng cách giải hệ phương trình, xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:

${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {t_1}}\{y = 1}\{z = 0}\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\{y = {t_2}}\{z = 0.}\end{array}} \right.$

Accepted Answer

Xét hệ phương trình ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} = 2} {1 = {t_2}} {0 = 0} end{array}} right. ) Ta thấy hệ phương trình này có đúng một nghiệm là ({{ rm{t}}_1} = 2,{{ rm{t}}_2} = 1 ). Vậy hai đường thẳng ({ Delta _1} ) và ({ Delta _2} ) cắt nhau.

Question 18

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}$. Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau;

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ và trục Ox chéo nhau;

c) Đường thẳng ${\Delta _2}$ trùng với đường thẳng ${\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}$;

d) Đường thẳng ${\Delta _2}$ cắt trục Oz.

Accepted Answer

Đường thả̉ng ({ Delta _1} ) đi qua điếm ({ rm{A}}(1; - 2;3) ) và có vectơ chí phương ( overrightarrow {{u_{{ Delta _1}}}} = (1;1;4) ) Đường thắng ({ Delta _2} ) đi qua điếm ({ rm{B}}( - 1; - 1;0) ) và có vectơ chí phương ( overrightarrow {{u_{{ Delta _2}}}} = (1;1;4) ) a) vi ( overrightarrow {{u_{{ Delta _1}}}} = overrightarrow {{u_{{ Delta _2}}}} = (1;1;4) ) và (A notin { Delta _2} ) nên hai đường thẳng ({ Delta _1} ) và ({ Delta _2} ) song song với nhau. b) Trục OX đi qua điếm ({ rm{O}}(0;0;0) ) và có vectơ chỉ phương là ( vec i = (1;0;0) ) Có ( overrightarrow {OA} = (1; - 2;3) ) và ( left[ { vec i, overrightarrow {{u_{{ Delta _1}}}} } right] = (0; - 4;1) ). Có ( overrightarrow {OA} cdot left[ { vec i, overrightarrow {{u_{{ Delta _1}}}} } right] = 8 + 3 = 11 ne 0 ). Do đó đường thẳng ({ Delta _1} ) và trục Ox chéo nhau. c) Đường thắng ({ Delta _3} ) đi qua điểm ({ rm{C}}( - 2; - 2; - 4) ) và có vectơ chỉ phương . vi ( overrightarrow {{u_{{ Delta _2}}}} = overrightarrow {{u_{{ Delta _3}}}} = (1;1;4) ) và ({ rm{B}} in { Delta _3} ) nên đường thắng ({ Delta _2} ) trùng với đường thắng ({ Delta _3} ). d) Trục Oz đi qua điếm ({ rm{O}}(0;0;0) ) và có vectơ chỉ phương là ( vec k = (0;0;1) ). Có ( overrightarrow {OB} = ( - 1; - 1;0), left[ { vec k, overrightarrow {{u_{{ Delta _2}}}} } right] = ( - 1;1;0) ne vec 0 ) Có ( overrightarrow {OB} cdot left[ { vec k, overrightarrow {{u_{{ Delta _2}}}} } right] = 1 - 1 = 0 ). Do đó đường thắng ({ Delta _2} ) cắt trục Oz .

Question 19

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Δ1: x=1+2t, y=3+t, z=1-t và Δ2: x=s, y=1+2s, z=3s.

Accepted Answer

Chéo nhau

Question 20

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng:

Δ1:x=1+2ty=3−tz=2+3t và Δ2:x−8−1=y+21=z−22.

a) Chứng minh rằng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$.

Accepted Answer

a) Đường thẳng ({ Delta _1} ) đi qua điếm ({ rm{A}}(1;3;2) ) và có vectơ chỉ phương ( overrightarrow {{u_1}} = (2; - 1;3) ) Đường thẳng ({ Delta _2} ) đi qua điếm ({ rm{B}}(8; - 2;2) ) và có vectơ chí phương ( overrightarrow {{u_2}} = ( - 1;1;2) ) Ta có ( overrightarrow {AB} = (7; - 5;0) ) và ( left[ { overrightarrow {{u_1}} , overrightarrow {{u_2}} } right] = ( - 5; - 7;1) ne vec 0 ) (1). Có ( overrightarrow {AB} cdot left[ { overrightarrow {{u_1}} , overrightarrow {{u_2}} } right] = - 35 + 35 = 0(2) ). Từ (1) và (2) suy ra ({ Delta _1} ) và ({ Delta _2} ) cắt nhau. b) Mặt phẳng (({ rm{P}}) ) chứa ({ Delta _1} ) và ({ Delta _2} ) nên có một vectơ pháp tuyến là ( vec n = left[ { overrightarrow {{u_1}} , overrightarrow {{u_2}} } right] = ( - 5; - 7;1) ). Mặt phắng (P) đi qua điếm ({ rm{A}}(1;3;2) ), có vectơ pháp tuyĕ́n ( vec n = ( - 5; - 7;1) ) có phương trình là: ( - 5(x - 1) - 7(y - 3) + (z - 2) = 0 Leftrightarrow 5x + 7y - z - 24 = 0 ).

25 bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (có lời giải)

Xem trước câu hỏi