3 bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax^3 + bx^2 + cx + d, (a ≠ 0) (có lời giải)

Question 1

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$.

Accepted Answer

1. Tập xác định: D = [ mathbb{R} ]. 2. Sự biến thiên: Chiều biến thiên: Đạo hàm y' = 3x2 − 6x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2. Trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (0; 2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó. Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và ycđ = 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yct = –2. Các giới hạn tại vô cực: [ mathop { lim } limits_{x to - infty } y = - infty ; mathop { lim } limits_{x to + infty } y = + infty ] Bảng biến thiên: 3. Đồ thị: Khi x = 0 thì y = 2 nên (0; 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy. Ta có y = 0 ⇔ x3 − 3x2 + 2 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = [1 - sqrt 3 ] hoặc x = [1 + sqrt 3 ] Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại ba điểm (1; 0), ( [1 - sqrt 3 ]; 0), ( [1 + sqrt 3 ]; 0). Điểm (0; 2) là điểm cực đại và điểm (2; −2) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn trên Hình 1. Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(1; 0).

Question 2

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số $y = - {x^3} - \frac{3}{2}{x^2} - \frac{3}{2}x$.

Accepted Answer

1. Tập xác định: D = $\mathbb{R}$. 2. Sự biến thiên: Đạo hàm $y' = - 3{x^2} - 3x - \frac{3}{2}$. Vì $y' < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Hàm số không có cực trị. Giới hạn: $\lim_{x \to -\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} y = -\infty$. 3. Đồ thị: Đồ thị đi qua các điểm (0; 0), (-1; 1). Tâm đối xứng là điểm $I\left( -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right)$.

Question 3

Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2.

a) Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình y" = 0.

b) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Accepted Answer

a) Xét hàm số ({ rm{y}} = {{ rm{x}}^3} - 3{{ rm{x}}^2} + 2 ). Tập xác định của hàm số là ({ rm{D}} = { rm{R}} ). Ta có ({{ rm{y}}^ prime } = 3{{ rm{x}}^2} - 6{ rm{x}};{{ rm{y}}^{ prime prime }} = 6{ rm{x}} - 6 ); ({{ rm{y}}^{ prime prime }} = 0 Leftrightarrow { rm{x}} = 1.{ rm{ }} ) Với ({ rm{x}} = 1 ), ta có ({ rm{y}}(1) = 0 ). Vậy ({ rm{I}}(1;0) ). b) Ta có ({{ rm{y}}^ prime } = 0 Leftrightarrow 3{{ rm{x}}^2} - 6{ rm{x}} = 0 Leftrightarrow { rm{x}} = 0 ) hoă̆c ({ rm{x}} = 2 ). Bảng biến thiên:

3 bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax^3 + bx^2 + cx + d, (a ≠ 0) (có lời giải)

Xem trước câu hỏi