31 bài tập Tính xác suất bằng cách sử dụng công thức xác suất toàn phần (có lời giải)

Question 1

Cho hai biến cố $A$, $B$ với ${\rm{P}}(B) = 0,6;{\rm{P}}(A\mid B) = 0,7$ và ${\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,4$. Tính ${\rm{P}}(A)$.

Accepted Answer

Ta có (P(B) = 0,6 ). Suy ra (P( bar B) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4 ). Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: ({ rm{P}}({ rm{A}}) = { rm{P}}({ rm{B}}) cdot { rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) + { rm{P}}( bar B) cdot { rm{P}}({ rm{A}} mid bar B) = 0,6 cdot 0,7 + 0,4 cdot 0,4 = 0,58.{ rm{ }} )

Question 2

Chị An trà lời hai câu hòi. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0,7 . Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ hai là 0,9 nếu chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất và là 0,5 nếu chị An không trả lời đúng câu hỏi thứ nhất.

Gọi $A$ là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất" và $B$ là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hòi thứ hai". Hãy tìm các giá trị thích hợp điền vào các ô có dấu ? ở sơ đồ hình cây sau:

![Chị An trà lời hai câu hòi. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0,7 . Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ hai là 0,9 nếu chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid1-1755911752.png)

Accepted Answer

A là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất" và B là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai". Ta có ({ rm{P}}({ rm{A}}) = 0,7;{ rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) = 0,9;P(B mid bar A) = 0,5 ). Suy ra (P( bar A) = 1 - P(A) = 0,3;P( bar B mid A) = 1 - P(B mid A) = 0,1 ); (P( bar B mid bar A) = 1 - P(B mid bar A) = 0,5 ) Ta có sơ đồ hình cây

Question 3

Vào mỗi buối sáng ở tuyến phố H , xác suất xảy ra tắc đường khi trời mưa và không mưa lần lượt là 0,7 và 0,2 . Xác suất có mưa vào một buối sáng là 0,1 . Tính xác suất đế sáng đó tuyến phố H bị tắc đường.

Accepted Answer

Gọi A là biến cố "Tuyến phố H bị tắc đường" và B là biến cố "Buối sáng đó có mưa" Theo đề ta có: ({ rm{P}}({ rm{B}}) = 0,1;{ rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) = 0,7;P(A mid bar B) = 0,2 ) Suy ra (P( bar B) = 1 - P(B) = 0,9 ). Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có: (P(A) = P(B) cdot P(A mid B) + P( bar B) cdot P(A mid bar B) = 0,1 cdot 0,7 + 0,9 cdot 0,2 = 0,25 )

Question 4

Một hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2 , $3, \ldots ,24$; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố $A$ : "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3 " và biến cố $B$ : "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4 ".

a) Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố $A,B,A \cap B,A \cap \bar B$ (Hình 2).

![Một hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2 , ; 24 hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid2-1755911856.png)

b) So sánh: $n(A){\rm{ và }}n(A \cap B) + n(A \cap \bar B){\rm{. }}$

Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: ${\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(A \cap B) + {\rm{P}}(A \cap \bar B).$

c) So sánh: ${\rm{P}}(A \cap B)$ và ${\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B)$; ${\rm{P}}(A \cap \bar B){\rm{ và P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B){\rm{. }}$

Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: ${\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B){\rm{. }}$

Accepted Answer

({ rm{ a) }} Omega = { 1;2;3; ldots ;24 } . ) (A = { 3;6;9;12;15;18;21;24 } . ) (B = { 4;8;12;16;20;24 } . ) (A cap B = { 12;24 } ). ( bar B = { 1;2;3;5;6;7;9;10;11;13;14;15;17;18;19;21;22;23 } { rm{. }} ) (A cap bar B = { 3;6;9;15;18;21 } ). b) Từ câu a), suy ra (n(A) = 8,n(A cap B) = 2,n(A cap bar B) = 6 ). Do (8 = 2 + 6 ) nên (n(A) = n(A cap B) + n(A cap bar B) ). Khi đó, ({ rm{P}}({ rm{A}}) = frac{{n(A)}}{{n( Omega )}} = frac{{n(A cap B) + n(A cap B)}}{{n( Omega )}} = frac{{n(A cap B)}}{{n( Omega )}} + frac{{n(A cap B)}}{{n( Omega )}} ). Mà ({ rm{P}}({ rm{A}} cap { rm{B}}) = frac{{n(A cap B)}}{{n( Omega )}};{ rm{P}}(A cap bar B) = frac{{n(A cap bar B)}}{{n( Omega )}} ). Vậy ({ rm{P}}({ rm{A}}) = { rm{P}}({ rm{A}} cap { rm{B}}) + { rm{P}}(A cap bar B) ). c) Ta có ({ rm{P}}({ rm{B}}) cdot { rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) = { rm{P}}({ rm{B}}) cdot frac{{P(A cap B)}}{{P(B)}} = { rm{P}}({ rm{A}} cap { rm{B}}) ). ({ rm{P}}( bar B) cdot { rm{P}}({ rm{A}} mid bar B) = { rm{P}}( bar B) cdot frac{{P(A cap bar B)}}{{P( bar B)}} = { rm{P}}(A cap bar B). ) Vì hai biến cố ({ rm{A}} cap { rm{B}} ) và (A cap bar B ) là hai biến cố xung khắc và (({ rm{A}} cap { rm{B}}) cup (A cap bar B) ) = A nên theo công thức xác suất ta có: ({ rm{P}}({ rm{A}}) = { rm{P}}({ rm{A}} cap { rm{B}}) + { rm{P}}(A cap bar B) = { rm{P}}({ rm{B}}) cdot { rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) + { rm{P}}( bar B) cdot { rm{P}}({ rm{A}} mid bar B). )

Question 5

Dây chuyền lắp ráp ô tô điện gồm các linh kiện là sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra chiếm $55\% $ tổng số linh kiện, số linh kiện nhà máy II sản xuất ra chiếm $45\% $ tổng số linh kiện; tỉ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của nhà máy I là $90\% $, của nhà máy II là $87\% $. Biết rằng cả hai nhà máy sản xuất được 10000 linh kiện. Lấy ngẫu nhiên ra một linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó để kiểm tra.

Hãy lập bảng thống kê và tính xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn là bao nhiêu?

Accepted Answer

0,8865

Question 6

Theo một số liệu thống kê, năm 2004 ở Canada có $65\% $ nam giởi là thừa cân và $53,4\% $ nữ giởi là thừa cân. Nam giởi và nữ giới ở Canada đều chiếm $50\% $ dân số cả nước (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics - Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi rằng, trong năm 2004, xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Xét hai biến cố sau: (A ) : "Người được chọn ra là người thừa cân"; (B ) : "Người được chọn ra là nam giới" (biến cố ( bar B ) : "Người được chọn ra là nữ giới"). Từ giả thiết ta có: ({ rm{P}}(B) = { rm{P}}( bar B) = 50 % = 0,5;{ rm{P}}(A mid B) = 65 % = 0,65;{ rm{P}}(A mid bar B) = 53,4 % = 0,534. ) Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: ({ rm{P}}(A) = { rm{P}}(B) cdot { rm{P}}(A mid B) + { rm{P}}( bar B) cdot { rm{P}}(A mid bar B) = 0,5 cdot 0,65 + 0,5 cdot 0,534 = 0,592. ) Vậy xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng 0,592 . Nói cách khác, tỉ lệ người Canada thừa cân là (59,2 % ).

Question 7

Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh tại trường $X$. Nhóm này có $60\% $ học sinh là nam. Kết quả khảo sát cho thấy có $20\% $ học sinh nam và $15\% $ học sinh nữ biết chơi ít nhất một nhạc cụ.

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm này. Tính xác suất để chọn được học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ.

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm này. Tính xác suất để chọn được học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ.

Accepted Answer

Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm. Gọi (A ) là biến cố "Chọn được một học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cư" và (B, bar B ) lần lượt là các biến cố "Chọn được một học sinh nam" và "Chọn được một học sinh nữ". Theo đề bài: P(B)=60%=0,6;P(B¯˙)=1−0,6=0,4 (P(A mid B) = 20 % = 0,2;P(A mid bar B) = 15 % = 0,15. ) Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: (P(A) = P(B) cdot P(A mid B) + P( bar B) cdot P(A mid bar B) = 0,6 cdot 0,2 + 0,4 cdot 0,15 = 0,18.{ rm{ }} ) Vậy xác suất để chọn được một học sinh biết chơi nhạc cụ là 0,18 hay (18 % ).

Question 8

Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ.

Accepted Answer

Xét phép thử lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Cách 1: Gọi: - A là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ"; - (B ) là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ"; ( cdot ) ( bar B ) là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh". Ta có: (P(B) = frac{5}{{10}} = frac{1}{2};P( bar B) = frac{5}{{10}} = frac{1}{2} ). Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh. Do đó (P(A mid B) = frac{7}{{11}} ). Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh. Do đó (P(A mid bar B) = frac{6}{{11}} ). Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: (P(A) = P(B) cdot P(A mid B) + P( bar B) cdot P(A mid bar B) = frac{1}{2} cdot frac{7}{{11}} + frac{1}{2} cdot frac{6}{{11}} = frac{{13}}{{22}}. ) Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ bằng ( frac{{13}}{{22}} ). Cách 2: Gọi: - A là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ"; - C là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi của hộp thứ nhất"; ( cdot ) ( bar C ) là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi của hộp thứ hai". Sau khi chuyển một viên bi từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai thì hộp thứ hai có 11 viên bi. Ta có: (P(C) = frac{1}{{11}};P( bar C) = frac{{10}}{{11}} ). Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ của hộp thứ nhất: (P(A mid C) = frac{5}{{10}} = frac{1}{2} ). Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ của hộp thứ hai: (P(A mid bar C) = frac{6}{{10}} = frac{3}{5} ). Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: (P(A) = P(C) cdot P(A mid C) + P( bar C) cdot P(A mid bar C) = frac{1}{{11}} cdot frac{1}{2} + frac{{10}}{{11}} cdot frac{3}{5} = frac{{13}}{{22}}. ) Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ bằng ( frac{{13}}{{22}} ).

Question 9

Một hộp có 60 viên bi màu xanh và 40 viên bi màu đỏ; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi thống kê, người ta thấy: có $50\% $ số viên bi màu xanh có dán nhãn và $75\% $ số viên bi màu đỏ có dán nhãn; những viên bi còn lại không dán nhãn.

a) Chọn số thích hợp cho ô có dấu ? trong Bảng 3 (đơn vị: viên bi).

![Một hộp có 60 viên bi màu xanh và 40 viên bi màu đỏ; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid4-1755912181.png)

b) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Sử dụng công thức xác suất toàn phần, tính xác suất để viên bi được lấy ra có dán nhãn.

Accepted Answer

a) Số viên bi màu đỏ có dán nhãn là: (75 % .40 = 30 ) (viên bi). Số viên bi màu xanh có dán nhãn là: (50 % .60 = 30 ) (viên bi). b) Xét hai biến cố sau: A: "Viên bi được chọn ra có dán nhãn"; (B ) : "Viên bi được chọn ra có màu đỏ". Khi đó, ta có: ({ rm{P}}(B) = frac{{40}}{{100}} = frac{2}{5};{ rm{ P}}( bar B) = 1 - { rm{P}}(B) = 1 - frac{2}{5} = frac{3}{5};{ rm{P}}(A mid B) = frac{{30}}{{40}} = frac{3}{4};{ rm{ P}}(A mid bar B) = frac{{30}}{{60}} = frac{1}{2}. ) Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: ({ rm{P}}(A) = { rm{P}}(B) cdot { rm{P}}(A mid B) + { rm{P}}( bar B) cdot { rm{P}}(A mid bar B) = frac{2}{5} cdot frac{3}{4} + frac{3}{5} cdot frac{1}{2} = frac{3}{5}. ) Vậy xác suất để viên bi được lấy ra có dán nhãn bằng ( frac{3}{5} ).

Question 10

Dây chuyền lắp ráp ô tô điện gồm các linh kiện là sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra chiếm $55\% $ tổng số linh kiện, số linh kiện nhà máy II sản xuất ra chiếm $45\% $ tổng số linh kiện; tỉ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của nhà máy I là $90\% $, của nhà máy II là $87\% $. Biết rằng cả hai nhà máy sản xuất được 10000 linh kiện. Lấy ngẫu nhiên ra một linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó để kiểm tra.

Hãy lập bảng thống kê và tính xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn là bao nhiêu?

Hãy lập bảng thống kê và tính xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn là bao nhiêu?

Accepted Answer

Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra là: (55 % ) - (10000 = 5500 ) (linh kiện). Số linh kiện nhà máy II sản xuất ra là: (45 % cdot 10000 = 4500 ) (linh kiện). Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra đạt tiêu chuẩn là: (90 % ) - (5500 = 4950 ) (linh kiện), không đạt tiêu chuẩn là: (5500 - 4950 = 550 ) (linh kiện). Số linh kiện nhà máy II sản xuất ra đạt tiêu chuẩn là: (87 % cdot 4500 = 3915 ) (linh kiện), không đạt tiêu chuẩn là: (4500 - 3915 = 585 ) (linh kiện). Từ đó ta có bảng thống kê như sau (đơn vị: linh kiện) Xét hai biến cố sau: A: “Linh kiện được chọn ra đạt tiêu chuẩn"; B: "Linh kiện được chọn ra do nhà máy I sản xuất". Khi đó, ta có: ({ rm{P}}({ rm{B}}) = 0,55;{ rm{P}}( bar B) = 1 - { rm{P}}({ rm{B}}) = 1 - 0,55 = 0,45;{ rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) = 0,9;{ rm{P}}({ rm{A}} mid bar B) = 0,87.{ rm{ }} ) Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: ({ rm{P}}({ rm{A}}) = { rm{P}}({ rm{B}}) cdot { rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) + { rm{P}}( bar B) cdot { rm{P}}({ rm{A}} mid bar B) = 0,55 cdot 0,9 + 0,45 cdot 0,87 = 0,8865. ) Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn bằng 0,8865 .

Question 11

Trong trò chơi hái hoa có thưởng của lớp 12A, cô giáo treo 10 bông hoa trên cành cây, trong đó có 5 bông hoa chứa phiếu có thưởng. Bạn Bình hái bông hoa đầu tiên, sau đó bạn An hái bông hoa thứ hai.

a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên.

b) Từ đó, tính xác suất bạn An hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng.

Accepted Answer

Xét hai biến cố: (A ) : "Bông hoa bạn An hái được chứa phiếu có thưởng"; (B ) : "Bông hoa bạn Bình hái được chứa phiếu có thưởng". Khi đó, ta có: ({ rm{P}}(B) = frac{5}{{10}} = frac{1}{2}, quad { rm{P}}( bar B) = 1 - { rm{P}}(B) = 1 - frac{1}{2} = frac{1}{2},{ rm{P}}(A mid B) = frac{4}{9}, quad { rm{P}}(A mid bar B) = frac{5}{9}. ) a) Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là: b) Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: ({ rm{P}}(A) = { rm{P}}(B) cdot { rm{P}}(A mid B) + { rm{P}}( bar B) cdot { rm{P}}(A mid bar B) = frac{1}{2} cdot frac{4}{9} + frac{1}{2} cdot frac{5}{9} = frac{1}{2}{ rm{. }} ) Vậy xác suất bạn An hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng bằng ( frac{1}{2} ).

Question 12

Dây chuyền lắp ráp ô tô điện gồm các linh kiện là sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra chiếm $55\% $ tổng số linh kiện, số linh kiện nhà máy II sản xuất ra chiếm $45\% $ tổng số linh kiện; tỉ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của nhà máy I là $90\% $, của nhà máy II là $87\% $. Biết rằng cả hai nhà máy sản xuất được 10000 linh kiện. Lấy ngẫu nhiên ra một linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó để kiểm tra.

Hãy lập bảng thống kê và tính xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn là bao nhiêu?

Accepted Answer

0,8865

Question 13

Số khán giả đến xem buổi biểu diễn ca nhạc ngoài trời phụ thuộc vào thời tiết. Giả sử, nếu trời không mưa thì xác suất để bán hết vé là 0,9 ; còn nếu trời mưa thì xác suất để bán hết vé chỉ là 0,4 . Dự báo thời tiết cho thấy xác suất để trời mưa vào buổi biểu diễn là 0,75 . Nhà tổ chức sự kiện quan tâm đến xác suất để bán được hết vé là bao nhiêu.

Gọi A là biến cố "Trời mưa" và B là biến cố "Bán hết vé" trong tình huống mở đằu.

a) Tính ${\rm{P}}({\rm{A}}),P(\bar A),{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}),P(B\mid \bar A)$.

b) Trong hai xác suất ${\rm{P}}({\rm{A}})$ và ${\rm{P}}({\rm{B}})$, nhà tổ chức sự kiện quan tâm đến xác suất nào nhất?

c) Tính xác suất để nhà tổ chức sự kiện bán hết vé.

Accepted Answer

a) Với A là biến cố "Trời mưa" và B là biến cố "Bán hết vé". Theo bài ra ta có: ({ rm{P}}({ rm{A}}) = 0,75 ). Suy ra ({ rm{P}}( bar A) = 1 - { rm{P}}({ rm{A}}) = 1 - 0,75 = 0,25 ). Lại có: +) nếu trời mưa thì xác suất bán hết vé là 0,4 . Vậy ({ rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) = 0,4 ). +) nếu trời không mưa thì xác suất bán hết vé là 0,9 . Vậy (P(B mid bar A) = 0,9 ). b) Nhà tổ chức quan tâm tới ({ rm{P}}({ rm{B}}) ) nhất. c) Gọi A là biến cố: "Trời mưa" và B là biến cố: "Bán hết vé". Từ HÐ 1a, ta có: ({ rm{P}}({ rm{A}}) = 0,75;{ rm{P}}( bar A) = 1 - { rm{P}}({ rm{A}}) = 0,25 ); ({ rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) = 0,4;P(B mid bar A) = 0,9.{ rm{ }} ) Thay vào công thức xác suất toàn phần ta được ({ rm{P}}({ rm{B}}) = { rm{P}}({ rm{A}}) cdot { rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) + { rm{P}}( bar A) cdot P(B mid bar A) = 0,75 cdot 0,4 + 0,25 cdot 0,9 = 0,525.{ rm{ }} ) Vậy xác suất để nhà tổ chức sự kiện bán hết vé là 0,525 .

Question 14

Ông An hằng ngày đi làm bằng xe máy hoă̆c xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suá́t để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4 . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7 . Xét một tuần mà thứ Hai ông An đi làm bằng xe buýt. Tính xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông An đi làm bằng xe máy.

Accepted Answer

Gọi (A ) là biến cố: "Thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy"; (B ) là biến cố: "Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy". Ta cần tính (P(B) ). Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: (P(B) = P(A) cdot P(B mid A) + P( bar A) cdot P(B mid bar A). ) - Tính (P(A) ) : Vi thứ Hai, ông An đi làm bằng xe buýt nên xác suất để thứ Ba (hôm sau), ông đi làm bằng xe máy là 0,4 . Vậy (P(A) = 0,4 ). - Tính (P( bar A) ) : Ta có (P( bar A) = 1 - 0,4 = 0,6 ). - Tính (P(B mid A) ) : Đây là xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy. - Theo giả thiết, nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7 và đi làm bằng xe máy là (1 - 0,7 = 0,3 ). Do đó, nếu thứ Ba , ông An đi làm bằng xe máy thì xác suất để thứ Tư, ông đi làm bằng xe máy là 0,3 . Vậy (P(B mid A) = 0,3 ). - Tính (P(B mid bar A) ) : Đây là xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông An đi làm bằng xe buýt. Theo giả thiết, né́u hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4 . Do đó nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe buýt thì (P(B) = P(A) cdot P(B mid A) + P( bar A) cdot P(B mid bar A) = 0,4 cdot 0,3 + 0,6 cdot 0,4 = 0,36. )

Question 15

Ông An hằng ngày đi làm bằng xe máy hoă̆c xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suá́t để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4 . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7 . Xét một tuần mà thứ Hai ông An đi làm bằng xe buýt.

a) Tính xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông An đi làm bằng xe máy theo sơ đồ hình cây.

b) Tính xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông An đi làm bằng xe buýt theo sơ đồ hình cây.

Accepted Answer

a) Kí hiệu (A ) là biến cố: "Thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy"; (B ) là biến cố: "Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy". Ta vẽ sơ đồ hình cây như sau: Trên nhánh cây OA và (O bar A ) tương ứng ghi (P(A) ) và (P( bar A) ); Trên nhánh cây AB và (A bar B ) tương ứng ghi (P(B mid A) ) và (P( bar B mid A) ); Trên nhánh cây ( bar AB ) và ( overline {AB} ) tương ứng ghi (P(B mid bar A) ) và (P( bar B mid bar A) ). Có hai nhánh cây đi tới (B ) là OAB và (O bar AB ). Vậy: (P(B) = 0,4 cdot 0,3 + 0,6 cdot 0,4 = 0,36. ) b) Kí hiệu A là biến cố: "Thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy"; B là biến cố: "Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy". Khi đó, biến cố "Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe buýt" chính là ( bar B ). Ta có sơ đồ hình cây mô tả xác suất của biến cố như sau: Hai nhánh cây đi tới ( bar B ) là (OA bar B ) và (O bar A bar B ). Như vậy (P( bar B) = 0,4 cdot 0,7 + 0,6 cdot 0,6 = 0,64 ).

Question 16

Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: hạt trơn và hạt nhăn, có hai gene ứng với hai kiểu hình này là gene trội $B$ và gene lặn $b$.

Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây con lấy ngẫu nhiên một cách độc lập một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene. Giả sử cây bố và cây mẹ được chọn ngẫu nhiên từ một quần thể các cây đậu Hà Lan, ở đó tỉ lệ cây mang kiểu gene bb, Bb tương ứng là $40\% $ và $60\% $. Tính xác suất để cây con có kiểu gene bb.

Accepted Answer

Gọi (A ) là biến cố: "Cây bố có kiểu gene bb"; (M ) là biến cố: "Cây con lấy gene (b ) từ cây bố"; (N ) là biến cố: "Cây con lấy gene (b ) từ cây mẹ"; (E ) là biến cố: "Cây con có kiểu gene bb". Theo giả thiết, (M ) và (N ) độc lập nên (P(E) = P(M) cdot P(N) ). Tính (P(M) ) : Ta áp dụng công thức xác suất toàn phần: (P(M) = P(A) cdot P(M mid A) + P( bar A) cdot P(M mid bar A). ) Ta có (P(A) = 0,4;P( bar A) = 0,6 ). (P(M mid A) ) là xác suất để cây con lấy gene b từ cây bố với điều kiện cây bố có kiểu gene bb. Do đó (P(M mid A) = 1 ). (P(M mid bar A) ) là xác suất để cây con lấy gene (b ) từ cây bố với điều kiện cây bố có kiểu gene Bb . Do đó (P(M mid bar A) = frac{1}{2} ). Thay vào ({ rm{(}}*{ rm{)}} ) ta được: (P(M) = 0,4 + 0,3 = 0,7 ). Tương tự tính được (P(N) = 0,7 ). Vậy (P(E) = P(M) cdot P(N) = 0,7 cdot 0,7 = 0,49 ). Từ kết quả trên suy ra trong một quần thể các cây đậu Hà Lan, mà ở đó tỉ lệ cây bố và cây mẹ mang kiểu gene ({ rm{bb}},{ rm{Bb}} ) tương ứng là (40 % ) và (60 % ), thì tỉ lệ cây con có kiểu gene bb là khoảng (49 % ).

Question 17

Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: hạt trơn và hạt nhẵn, có hai gene ứng với hai kiểu hình này là gene trội B và gene lặn b.

Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây con lấy ngẫu nhiên một cách độc lập một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene. Giả sử cây bố và cây mẹ được chọn ngẫu nhiên từ một quần thể các cây đậu Hà Lan, ở đó tỉ lệ cây mang kiểu gene ${\rm{bb}},{\rm{Bb}}$ tương ứng là $40\% $ và $60\% $.

a) Hãy ước lượng tỉ lệ cây con có kiểu gene BB.

b) Sử dụng kết quả của vận dụng trên và câu a, hãy ước lượng tỉ lệ cây con có kiểu gene Bb .

Accepted Answer

a) Gọi A là biến cố: "Cây bố có kiểu gene bb"; K là biến cố: "Cây con nhận gene B từ bố"; H là biến cố: "Cây con nhận gene B từ mẹ"; F là biến cố: "Cây con có kiểu gene BB ". Theo giả thiết, (K ) và (H ) độc lập nên (P(F) = P(K) cdot P(H) ). Ta tính ({ rm{P}}({ rm{K}}) ) theo công thức xác suất toàn phần: ({ rm{P}}({ rm{K}}) = { rm{P}}({ rm{A}}) cdot { rm{P}}({ rm{K}} mid { rm{A}}) + { rm{P}}( bar A) cdot { rm{P}}({ rm{K}} mid bar A){ rm{. (1) }} ) Ta có ({ rm{P}}({ rm{A}}) = 0,4;{ rm{P}}( bar A) = 0,6 ). ({ rm{P}}({ rm{K}} mid { rm{A}}) ) là xác suất để cây con nhận gene B từ bố với điều kiện bố có kiểu gene bb. Vậy (P(K mid A) = 0 ). ({ rm{P}}({ rm{K}} mid bar A) ) là xác suất để cây con nhận gene B từ bố với điều kiện bố có kiểu gene $B b$. Vậy ({ rm{P}}({ rm{K}} mid bar A) = 0,5 ). Thay vào (2) ta được (P(K) = 0,4 cdot 0 + 0,6 cdot 0,5 = 0,3 ). Tương tự tính được ({ rm{P}}({ rm{H}}) = 0,3 ). Vậy (P(F) = P(K) cdot P(H) = 0,3 cdot 0,3 = 0,09 ). Vậy tỉ lệ cây con có kiểu gene BB là khoảng (9 % ). b) Gọi G là biến cố: "Cây con có kiểu gene Bb". Vì ( bar G = E cup F ) và hai biến cố ({ rm{E}},{ rm{F}} ) xung khắc nên ({ rm{P}}( bar G) = { rm{P}}({ rm{E}}) + { rm{P}}({ rm{F}}) = 0,49 + 0,09 = 0,58 ) Vậy ({ rm{P}}({ rm{G}}) = 1 - { rm{P}}( bar G) = 1 - 0,58 = 0,42 ). Vậy tỉ lệ cây con có kiểu gene Bb là khoảng (42 % ).

Question 18

Trong quân sự, một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở vị trí $X$ với xác suất 0,55 . Nếu máy bay đó không xuất hiện ở vị trí $X$ thì nó xuất hiện ở vị trí $Y$. Để phòng thủ, các bệ phóng tên lửa được bố trí tại các vị trí $X$ và $Y$. Khi máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí $X$ hoặc $Y$ thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy bay đó.

Xét phương án tác chiến sau: Nếu máy bay xuất hiện tại $X$ thì bắn 2 quả tên lửa và nếu máy bay xuất hiện tại $Y$ thì bắn 1 quả tên lửa.

Biết rằng, xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8 và các bệ phóng tên lửa hoạt động độc lập. Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất 1 quả tên lửa. Tính xác suất bắn hạ máy bay đối phương trong phương án tác chiến nêu trên.

Accepted Answer

Gọi A là biến cố: "Máy bay xuất hiện ở vị trí X"; B là biến cố: "Máy bay bị bắn rơi". Theo bài ra ta có (P(A) = 0,55 ). Suy ra (P( bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,55 = 0,45 ). Nếu máy bay xuất hiện tại (X ) thì có hai quả tên lửa bắn lên. Khi đó, ({ rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) ) là xác suất để máy bay bị bắn rơi khi có hai quả tên lửa bắn lên. Ta tính xác suất của biến cố đối (P( bar B mid A) ) : "Máy bay không rơi khi có hai quả tên lửa bắn lên". Ta có (P( bar B mid A) = (1 - 0,8) cdot (1 - 0,8) = {0,2^2} = 0,04 ). Vậy (P(B mid A) = 1 - P( bar B mid A) = 1 - 0,04 = 0,96 ). (P( bar B mid A) ) : Nếu máy bay xuất hiện tại (Y ) thì có một quả tên lửa bắn lên. Máy bay rơi khi bị quả tên lửa này bắn trúng. Do đó (P(B mid bar A) = 0,8 ). Theo công thức xác suất toàn phần ta có: ({ rm{P}}({ rm{B}}) = { rm{P}}({ rm{A}}) cdot { rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) + P( bar A) cdot P(B mid bar A) = 0,55 cdot 0,96 + 0,45 cdot 0,8 = 0,888.{ rm{ }} ) Vậy xác suất bắn hạ máy bay đối phương trong phương án tác chiến nêu trên là 0,888 .

Question 19

Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 7 con thỏ đen và 3 con thỏ trắng. Trước tiên, từ chuồng II lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ rồi cho vào chuồng I. Sau đó, từ chuồng I lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ. Tính xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng.

Accepted Answer

Gọi A là biến cố: "Bắt được thỏ trắng từ chuồng ॥"; B là biến cố: "Sau đó bắt được thỏ trắng từ chuồng I". Ta cần tính ({ rm{P}}({ rm{B}}) ). Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: ({ rm{P}}({ rm{B}}) = { rm{P}}({ rm{A}}) cdot { rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) + P( bar A) cdot P(B mid bar A) ) Vỉ chuồng II có 7 con thỏ đen và 3 con thỏ trắng nên ta có: (P(A) = frac{3}{{10}} ). Suy ra (P( bar A) = 1 - P(A) = 1 - frac{3}{{10}} = frac{7}{{10}} ). Nếu A xảy ra tức là bắt được thỏ trắng từ chuồng II rồi cho vào chuồng | thì chuồng I có 5 thỏ đen và 11 thỏ trắng. Do đó, (P(B mid A) = frac{{11}}{{16}} ). Nếu A không xảy ra thì chuồng I có 6 thỏ đen và 10 thỏ trắng. Do đó, (P(B mid bar A) = frac{{10}}{{16}} ). Khi đó, ({ rm{P}}({ rm{B}}) = { rm{P}}({ rm{A}}) cdot { rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) + P( bar A) cdot P(B mid bar A) = frac{3}{{10}} cdot frac{{11}}{{16}} + frac{7}{{10}} cdot frac{{10}}{{16}} = frac{{103}}{{160}} ).

Question 20

Tại nhà máy X sản xuất linh kiện điện tử tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là $80\% $. Trước khi xuất xưởng ra thị trường, các linh kiện điện tử đều phải qua khâu kiểm tra chất lượng để đóng dấu OTK. Vì sự kiểm tra không tuyệt đối hoàn hảo nên nếu một linh kiện điện tử đạt tiêu chuẩn thì nó có xác suất 0,99 được đóng dấu OTK; nếu một linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn thì nó có xác suất 0,95 không được đóng dấu OTK. Chọn ngẫu nhiên một linh kiện điện tử của nhà máy X trên thị trường.

a) Tính xác suất để linh kiện điện tử đó được đóng dấu OTK.

b) Dùng sơ đồ hình cây, hãy mô tả cách tính xác suất để linh kiện điện tử được chọn không được đóng dấu OTK.

Accepted Answer

a) Gọi A là biến cố: "Linh kiện điện tử được chọn đạt tiêu chuẩn"; B là biến cố: "Linh kiện điện tử được chọn được đóng dấu OTK". Ta cần tính ({ rm{P}}({ rm{B}}) ). Theo công thức xác suất toàn phần ta có: ({ rm{P}}({ rm{B}}) = { rm{P}}({ rm{A}}) cdot { rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) + P( bar A) cdot P(B mid bar A) ) Theo giá thiết ({ rm{P}}({ rm{A}}) = 0,8 ). Suy ra (P( bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2 ). Tính ({ rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) ) : Đây là xác suất để linh kiện điện tử đạt tiêu chuẩn được đóng dấu OTK. Theo giả thiết ta có ({ rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) = 0,99 ). Tính (P(B mid bar A) ) : Đây là xác suất để linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn được đóng dấu OTK. Theo giả thiết nếu linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn thỉ nó không được đóng dấu OTK với xác suất 0,95 . Vậy nếu linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn thì nó được đóng dấu OTK với xác suất là (1 - 0,95 = 0,05 ). Do đó (P(B mid bar A) = 0,05 ). Khi đó, ({ rm{P}}({ rm{B}}) = { rm{P}}({ rm{A}}) cdot { rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) + P( bar A) cdot P(B mid bar A) = 0,8 cdot 0,99 + 0,2 cdot 0,05 = ) 0,802 . Vậy xác suất để linh kiện điện tử đó được đóng dấu OTK là 0,802. b) Với A là biến cố: "Linh kiện điện tử được chọn đạt tiêu chuẩn"; B là biến cố: "Linh kiện điện tử được chọn được đóng dấu OTK". Khi đó, ( bar B ) là biến cố: "Linh kiện điện tử được chọn không được đóng dấu OTK". Ta vẽ sơ đồ hình cây như sau: Có hai nhánh cây đi tới ( bar B ) là (OA bar B ) và (O bar A bar B ). Vậy (P( bar B) = 0,8 cdot 0,01 + 0,2 cdot 0,95 = 0,198 )

31 bài tập Tính xác suất bằng cách sử dụng công thức xác suất toàn phần (có lời giải)

Xem trước câu hỏi