38 bài tập Tính xác suất bằng cách sử dụng công thức Bayes (có lời giải)

Question 1

Khảo sát thị lực của 100 học sinh, ta thu được bảng số liệu sau:

![Khảo sát thị lực của 100 học sinh, ta thu được bảng số liệu sau: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid0-1755914937.png)

Chọn ngã̃u nhiên 1 bạn trong 100 học sinh trên.

a) Biết rằng bạn đó có tật khúc xạ, tính xác suắt bạn đó là học sinh nam.

b) Biết rằng bạn đó là học sinh nam, tính xác suắt bạn đó có tật khúc xạ.

Accepted Answer

Gọi A là biến cố "Học sinh đó có tật khúc xạ" và B là biến cố "Học sinh đó là học sinh nam". a) Ta có (P(B mid A) = frac{{18}}{{12 + 18}} = frac{3}{5} ). b) Ta có (P(A mid B) = frac{{18}}{{18 + 32}} = frac{9}{{25}} ).

Question 2

Một nhà máy có hai phân xường I và II. Phân xường I sản xuất $40\% $ số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất $60\% $ số sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là $2\% $ và của phân xưởng II là $1\% $. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.

a) Tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi.

b) Biết rằng sản phẩm được kiểm tra bị lỗi. Hỏi xác suất sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất cao hơn?

Accepted Answer

a) Gọi (A ) là biến cố "Sản phẩm được kiểm tra bị lỗi" và (B ) là biến cố "Sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng I sản xuất". Do phân xưởng I sản xuất (40 % ) số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất (60 % ) số sản phẩm nên (P(B) = 0,4{ rm{ và }}P( bar B) = 1 - 0,4 = 0,6.{ rm{ }} ) Do tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là (2 % ) và của phân xưởng II là (1 % ) nên (P(A mid B) = 0,02{ rm{ và }}P(A mid bar B) = 0,01.{ rm{ }} ) Xác suất để sản phẩm được kiểm tra bị lỗi là (P(A) = P(B)P(A mid B) + P( bar B)P(A mid bar B) = 0,4.0,02 + 0,6.0,01 = 0,014. ) b) Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sàn xuất là (P(B mid A) = frac{{P(B)P(A mid B)}}{{P(A)}} = frac{{0,4 cdot 0,02}}{{0,014}} = frac{4}{7}. ) Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất là (P( bar B mid A) = 1 - P(B mid A) = frac{3}{7}. ) Vậy nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất cao hơn xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất.

Question 3

Một loại xét nghiệm nhanh SARS-CoV-2 cho kết quá dương tính với $76,2\% $ các ca thực sự nhiểm virus và kết quả âm tích với $99,1\% $ các ca thực sự không nhiểm virus (nguồn: https://tapchiyhocvietnam.vn/index.php/vmj/article/view/2124/1921). Giả sử tỉ lệ người nhiểm virus SARS-CoV-2 trong một cộng đồng là $1\% $. Một người trong cộng đồng đó làm xét nghiệm và nhận kết quả dương tính. Hói khả năng người đó thực sự nhiễm virus là cao hay thấp?

Accepted Answer

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau: Gọi A là biến cố "Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính" và B là biến cố "Người làm xét nghiệm thực sự nhiêm vi rút". Ta có ({ rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) = 0,762;P( bar A mid bar B) = 0,991;{ rm{P}}({ rm{B}}) = 0,01 ). Suy ra (P(A mid bar B) = 1 - P( bar A mid bar B) = 0,009,P( bar B) = 1 - P(B) = 0,99 ) Theo công thức xác suất toàn phần ta có: (P(A) = P(B) cdot P(A mid B) + P( bar B) cdot P(A mid bar B) = 0,01 cdot 0,762 + 0,99 cdot 0,009 = 0,01653. ) Xác suất một người thực sự nhiễm virus khi người đó có kết quá xét nghiệm dương tính là ({ rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) ). Ta có (P(B mid A) = frac{{P(B) cdot P(A mid B)}}{{P(A)}} = frac{{0,01.0,762}}{{0,01653}} approx 0,461 ) Vậy khả năng thực sự người đó nhiễm virus là (46,1 % ).

Question 4

Khi phát hiện một vật thể bay, xác suất một hệ thống radar phát cảnh báo là 0,9 nếu vật thể bay đó là mục tiêu thật và là 0,05 nếu đó là mục tiêu giả. Có $99\% $ các vật thể bay là mục tiêu giả. Biết rằng hệ thống radar đang phát cảnh báo khi phát hiện một vật thể bay. Tính xác suất vật thể đó là mục tiêu thật.

![Khi phát hiện một vật thể bay, xác suất một hệ thống radar phát cảnh báo là 0,9 nếu vật thể bay đó là mục tiêu thật (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid1-1755915074.png)

Accepted Answer

Gọi A là biến cố "Hệ thống radar phát cảnh báo" và B là biến cố "Vật thế bay đó là mục tiêu thật". Theo đề ta có ({ rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) = 0,9;P(A mid bar B) = 0,05;P( bar B) = 0,99 ). Suy ra (P(B) = 1 - P( bar B) = 0,01 ). Ta có (P(A) = P(B) cdot P(A mid B) + P( bar B) cdot P(A mid bar B) = 0,01.0,9 + 0,99 cdot 0,05 = 0,0585 ). Ta cằn tính (P(B mid A) = frac{{P(B) cdot P(A mid B)}}{{P(A)}} = frac{{0,01.0,9}}{{0,0585}} = frac{2}{{13}} ).

Question 5

Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có $2\% $ tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Trong các vụ tai nạn ở địa phương đó, người ta nhận thấy có $10\% $ là do tài xế có sử dụng điện thoại khi lái xe gây ra. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần?

![Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có 2 phần trăm tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid2-1755915126.png)

Accepted Answer

Gọi A là biến cố "Tài xế gây tai nạn" và B là biến cố "Tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe". Theo đề ta có ({ rm{P}}({ rm{B}}) = 0,02;{ rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) = 0,1 ). Suy ra (P( bar B) = 1 - P(B) = 0,98;P( bar B mid A) = 1 - P(B mid A) = 0,9 ). Cần tính (P(A mid B) = frac{{P(A) cdot P(B mid A)}}{{P(B)}} ). Có (P(A) = P(B) cdot P(A mid B) + P( bar B) cdot P(A mid bar B) = 0,02 cdot x + 0,98 cdot y ) (đặt (P(A mid B) = x;P(A mid bar B) = y ) ). Có (P(B mid A) = frac{{P(B) cdot P(A mid B)}}{{P(A)}} Leftrightarrow 0,1 = frac{{0,02 cdot x}}{{0,02x + 0,98y}} Leftrightarrow 0,02x + 0,98y = 0,2.x ) ( Rightarrow > y = frac{9}{{49}}x ). Ta có ( frac{{P(A mid B)}}{{P(A mid bar B)}} = frac{x}{y} = frac{x}{{ frac{9}{{49}}x}} = frac{{49}}{9} approx 5,44 ). Vậy việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên 5,44 lần.

Question 6

Cho hai biến cố $A$, $B$ sao cho ${\rm{P}}(A) = 0,6$; ${\rm{P}}(B) = 0,4;{\rm{P}}(A\mid B) = 0,3$. Tính ${\rm{P}}(B\mid A)$.

Accepted Answer

Áp dụng công thức Bayes, ta có: ({ rm{P}}(B mid A) = frac{{{ rm{P}}(B) cdot { rm{P}}(A mid B)}}{{{ rm{P}}(A)}} = frac{{0,4 cdot 0,3}}{{0,6}} = 0,2. )

Question 7

Cho hai biến cố $A$, $B$ sao cho ${\rm{P}}(A) = 0,4$; ${\rm{P}}(B) = 0,8;{\rm{P}}(B\mid A) = 0,3$. Tính ${\rm{P}}(A\mid B)$.

Accepted Answer

Áp dụng công thức Bayes, ta có: ({ rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) = frac{{P(A) cdot P(B mid A)}}{{P(B)}} = frac{{0,4 cdot 0,3}}{{0,8}} = 0,15 )

Question 8

Cho hai biến cố $A$, $B$ với ${\rm{P}}(B) = 0,6;{\rm{P}}(A\mid B) = 0,7$ và ${\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,4$. Tính ${\rm{P}}(A)$.

Accepted Answer

Ta có (P(B) = 0,6 ). Suy ra (P( bar B) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4 ). Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: ({ rm{P}}({ rm{A}}) = { rm{P}}({ rm{B}}) cdot { rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) + { rm{P}}( bar B) cdot { rm{P}}({ rm{A}} mid bar B) = 0,6 cdot 0,7 + 0,4 cdot 0,4 = 0,58.{ rm{ }} )

Question 9

Cho hai biến cố xung khắc $A$, $B$ với $P(A) = 0,2$ và $P(B) = 0,4$. Tính $P(A|B)$.

Accepted Answer

0

Question 10

Có hai chiếc hộp, hộp I chứa 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen, hộp II chứa 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II . Sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II.

a) Tính xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng.

b) Giả sử viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng. Tính xác suất để viên bi màu trắng đó thuộc hộp I .

Accepted Answer

a) Xét các biến cố: A: "Lấy được viên bi màu trắng từ hộp II "; (B ) : "Lấy được viên bi màu trắng từ hộp I bỏ sang hộp II"; ( bar B ) : "Lấy được viên bi màu đen từ hộp I bỏ sang hộp II". Theo giả thiết ta có: ({ rm{P}}(B) = { rm{P}}( bar B) = frac{5}{{10}} = frac{1}{2};{ rm{P}}(A mid B) = frac{7}{{11}};{ rm{P}}(A mid bar B) = frac{6}{{11}}. ) Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: ({ rm{P}}(A) = { rm{P}}(B) cdot { rm{P}}(A mid B) + { rm{P}}( bar B) cdot { rm{P}}(A mid bar B) = frac{1}{2} cdot frac{7}{{11}} + frac{1}{2} cdot frac{6}{{11}} = frac{{13}}{{22}}. ) Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng là ( frac{{13}}{{22}} ). b) Gọi (N ) là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi thuộc hộp I ". Khi đó ta cần tính ({ rm{P}}(N mid A) ). Ta có: ({ rm{P}}(N) = frac{1}{{11}};{ rm{P}}(A) = frac{{13}}{{22}} ). Để tính ({ rm{P}}(A mid N) ), hay xác suất để lấy được viên bi màu trắng từ hộp II , biết rằng viên bi đó thuộc hộp I , ta xét các trường hợp sau: - Viên bi được lấy từ hộp I bỏ sang hộp II có màu đen. Khi đó xác suất lấy được viên bi trắng thuộc hộp I bằng 0 . - Viên bi được lấy từ hộp I bỏ sang hộp II có màu trắng. Khi đó xác suất lấy được viên bi màu trắng thuộc hộp I bằng ({ rm{P}}(B) = frac{1}{2} ). Do đó, ({ rm{P}}(A mid N) = 0 + frac{1}{2} = frac{1}{2} ). Theo công thức Bayes, ta có: ({ rm{P}}(N mid A) = frac{{{ rm{P}}(A mid N) cdot { rm{P}}(N)}}{{{ rm{P}}(A)}} = frac{{ frac{1}{2} cdot frac{1}{{11}}}}{{ frac{{13}}{{22}}}} = frac{1}{{13}}. ) Vậy xác suất viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi thuộc hộp I , biết rằng viên bi đó màu trắng, là ( frac{1}{{13}} ).

Question 11

Một loại linh kiện do hai nhà máy I, II cùng sản xuất. Tî lệ phế phẩm của các nhà máy ${\rm{I}},{\rm{II}}$ lần lượt là: 0,04 ; 0,03. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy I và 120 sản phẩm của nhà máy II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó.

a) Tính xác suất để linh kiện được lấy ra không phải là phế phẩm.

b) Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Hỏi xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao hơn?

Accepted Answer

a) Xét các biến cố: A: "Linh kiện được lấy ra không phải là phế phẩm"; M: "Linh kiện được lấy ra do nhà máy I sån xuất"; ( bar M ) : "Linh kiện được lấy ra do nhà máy II sản xuất". Theo giả thiết, ta có: ({ rm{P}}(M) = frac{{80}}{{200}} = 0,4;{ rm{P}}( bar M) = frac{{120}}{{200}} = 0,6;{ rm{P}}( bar A mid M) = 0,04;{ rm{P}}( bar A mid bar M) = 0,03; ) ({ rm{P}}(A mid M) = 1 - 0,04 = 0,96;{ rm{P}}(A mid bar M) = 1 - 0,03 = 0,97. ) Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: ({ rm{P}}(A) = { rm{P}}(M) cdot { rm{P}}(A mid M) + { rm{P}}( bar M) cdot { rm{P}}(A mid bar M) = 0,4 cdot 0,96 + 0,6 cdot 0,97 = 0,966.{ rm{ }} ) Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra không phải là phế phẩm là 0,966 . b) Xác suất linh kiện phế phẩm được lấy ra do nhà máy I sản xuất là: ({ rm{P}}(M mid bar A) = frac{{{ rm{P}}(M) cdot { rm{P}}( bar A mid M)}}{{{ rm{P}}( bar A)}} = frac{{0,4 cdot 0,04}}{{1 - 0,966}} = frac{8}{{17}}. ) Xác suất linh kiện phế phẩm được lấy ra do nhà máy II sản xuất là: ({ rm{P}}( bar M mid bar A) = frac{{{ rm{P}}( bar M) cdot { rm{P}}( bar A mid bar M)}}{{{ rm{P}}( bar A)}} = frac{{0,6 cdot 0,03}}{{1 - 0,966}} = frac{9}{{17}}. ) Vậy xác suất linh kiện phế phẩm được lấy ra do nhà máy II sản xuất là cao hơn.

Question 12

Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác $100\% $. Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A , cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm ${\rm{Al\`a }}70\% $, còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là $10\% $. Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1000000 con (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics - Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là bao nhiêu?

Accepted Answer

Xét các biến cố: M: "Con bò ở Hà Lan bị bệnh bò điên"; D: "Con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A ". Theo giả thiết, ta có: ({ rm{P}}(M) = 0,000013;{ rm{P}}(D mid M) = 0,7;{ rm{P}}(D mid bar M) = 0,1 ). Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: ({ rm{P}}(D) = { rm{P}}(M) cdot { rm{P}}(D mid M) + { rm{P}}( bar M) cdot { rm{P}}(D mid bar M) = 0,000013 cdot 0,7 + (1 - 0,000013) cdot 0,1 ) ( = 0,1000078. ) Theo công thức Bayes, ta có: (P(M mid D) = frac{{{ rm{P}}(M) cdot { rm{P}}(D mid M)}}{{{ rm{P}}(D)}} = frac{{0,000013 cdot 0,7}}{{0,1000078}} = frac{{91}}{{1000078}}. ) Vậy xác suất để một con bò Hà Lan bị bệnh bò điên nếu nó phản ứng dương tính với xét nghiệm A là ( frac{{91}}{{1000078}} ).

Question 13

Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen, hộp II có 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thược và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II.

a) Tính xác suất để viên bi được lấy ra là viên bi màu trắng.

b) Giả sử viên bi được lấy ra là viên bi màu trắng. Tính xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I.

Accepted Answer

a) Xét hai biến cố: A: “Viên bi được lấy ra từ hộp I bỏ sang hộp II là màu trắng"; B: "Viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng". Theo bài ra ta có: ({ rm{P}}({ rm{A}}) = frac{5}{{10}} = frac{1}{2};{ rm{P}}( bar A) = 1 - { rm{P}}({ rm{A}}) = frac{1}{2} ). ({ rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) = frac{7}{{11}};P(B mid bar A) = frac{6}{{11}}{ rm{. }} ) Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: ({ rm{P}}({ rm{B}}) = { rm{P}}({ rm{A}}) cdot { rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) + { rm{P}}( bar A) cdot { rm{P}}({ rm{B}} mid bar A) = frac{1}{2} cdot frac{7}{{11}} + frac{1}{2} cdot frac{6}{{11}} = frac{{13}}{{22}}. ) Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng là ( frac{{13}}{{22}} ). b) Nếu viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng thì xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I là: ({ rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) = frac{{P(A) cdot P(B mid A)}}{{P(B)}} = frac{{ frac{1}{2} cdot frac{7}{{11}}}}{{ frac{{13}}{{22}}}} = frac{7}{{13}} ). Vậy nếu viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng thì xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I là ( frac{7}{{13}} )

Question 14

Một loại linh kiện do hai nhà máy số I , số II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy ${\rm{I}},{\rm{II}}$ lần lượt là: $4\% ;3\% $. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó.

a) Tính xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt.

b) Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao nhất?

Accepted Answer

a) Xét hai biến cố: A: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện tốt”; B: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng do nhà máy I sản xuất". Vi lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II nên (P(B) = frac{{80}}{{80 + 120}} = 0,4 ), suy ra (P( bar B) = 1 - 0,4 = 0,6 ). Vì tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: (4 % ;3 % ) nên tỉ lệ thành phẩm (linh kiện tốt) của các nhà máy I, II lần lượt là (96 % ;97 % ). Do đó ({ rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) = 0,96 ) và ({ rm{P}}({ rm{A}} mid bar B) = 0,97 ). Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt là: ({ rm{P}}({ rm{A}}) = { rm{P}}({ rm{B}}) cdot { rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) + { rm{P}}( bar B) cdot { rm{P}}({ rm{A}} mid bar B) = 0,4 cdot 0,96 + 0,6 cdot 0,97 = 0,966. ) b) Xét biến cố C: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện phế phẩm". Khi đó, ta có ({ rm{C}} = bar A ). Suy ra ({ rm{P}}({ rm{C}}) = { rm{P}}( bar A) = 1 - { rm{P}}({ rm{A}}) = 1 - 0,966 = 0,034 ). Theo bài ra ta có: (P(C mid B) = 4 % = 0,04 ). Do đó, nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy I sản xuất là: ({ rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{C}}) = frac{{P(B) cdot P(C mid B)}}{{P(C)}} = frac{{0,4 cdot 0,04}}{{0,034}} = frac{8}{{17}} ). Nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất là: ({ rm{P}}( bar B mid { rm{C}}) = 1 - { rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{C}}) = 1 - frac{8}{{17}} = frac{9}{{17}} ). Vi ( frac{9}{{17}} > frac{8}{{17}} ) nên nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn.

Question 15

Kết quả khảo sát tại một xã cho thấy có $20\% $ cư dân hút thuốc lá. Tỉ lệ cư dân thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp trong số những người hút thuốc lá và không hút thuốc lá lần lượt là $70\% ,15\% $.

a) Nếu ta gặp một cư dân của xã thì xác suất người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp là bao nhiêu?

b) Nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ vể đường hô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là bao nhiêu?

Accepted Answer

Giả sử ta gặp một cư dân của xã, gọi (A ) là biến cố "Người đó có hút thuốc lá" và (B ) là biến cố "Người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp". Ta có sơ đồ hình cây sau: a) Ta có: (P(B) = P(A) cdot P(B mid A) + P( bar A) cdot P(B mid bar A) = 0,14 + 0,12 = 0,26 ). Vậy nếu ta gặp một cư dân của xã thì xác suất người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp là (26 % ). b) Theo công thức Bayes, ta có: (P(A mid B) = frac{{P(A)P(B mid A)}}{{P(B)}} = frac{{0,14}}{{0,26}} approx 0,54 ). Vậy nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn để sức khoẻ về đường hô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là khoảng (54 % ).

Question 16

Giả sử trong một nhóm 80 người có 69 người không nhiễm bệnh và 11 người nhiễm bệnh. Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm đó. Biết rằng đối với người nhiễm bệnh, xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là 0,9 ; còn đối với người không nhiễm bệnh, xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là 0,05 .

a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên.

b) Giả sử X là một người trong nhóm bị xét nghiệm có kết quả dương tính. Tính xác suất để X là người nhiễm bệnh.

Accepted Answer

a) Xét các biến cố: A: "Người được chọn nhiễm bệnh"; (B ) : "Người được chọn xét nghiệm có kết quả dương tính". Khi đó, ({ rm{P}}(A) = frac{{11}}{{80}};{ rm{P}}( bar A) = frac{{69}}{{80}};{ rm{P}}(B mid A) = 0,9;{ rm{P}}(B mid bar A) = 0,05 ). Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là: b) Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất người X xét nghiệm có kết quả dương tính là: ({ rm{P}}(B) = { rm{P}}(A) cdot { rm{P}}(B mid A) + { rm{P}}( bar A) cdot { rm{P}}(B mid bar A) = frac{{11}}{{80}} cdot 0,9 + frac{{69}}{{80}} cdot 0,05 = frac{{267}}{{1600}}. ) Theo công thức Bayes, ta có: ({ rm{P}}(A mid B) = frac{{{ rm{P}}(A) cdot { rm{P}}(B mid A)}}{{{ rm{P}}(B)}} = frac{{ frac{{11}}{{80}} cdot 0,9}}{{ frac{{267}}{{1600}}}} = frac{{66}}{{89}}. ) Vậy xác suất để X là người nhiễm bệnh, biết rằng X có kết quả xét nghiệm dương tính, là ( frac{{66}}{{89}} ).

Question 17

Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác 100%. Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A, cho kết quả như sau: khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 70%, còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 10%. Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1.000.000 con. Hỏi khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là bao nhiêu?

Accepted Answer

Xét hai biến cố: A: "Con bò được chọn ra không bị mắc bệnh bò điên". B: "Con bò được chọn ra có phản ứng dương tính". Vỉ tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1000000 con nên tỉ lệ bò mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là ({ rm{P}}( bar A) = 0,000013 ). Suy ra (P(A) = 1 - 0,000013 = 0,999987 ). Trong số những con bò không bị mắc bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là (10 % ), suy ra ({ rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) = 0,1 ). Khi con bò mắc bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là (70 % ) nên ({ rm{P}}({ rm{B}} mid bar A) = 0,7 ). Ta thấy xác suất mắc bệnh bò điên của một con bò ở Hà Lan xét nghiệm có phản ứng dương tính với xét nghiệm A chính là ({ rm{P}}( bar A mid { rm{B}}) ). Áp dụng công thức Bayes, ta có: (P( bar A mid B) = frac{{P( bar A) cdot P(B mid bar A)}}{{P( bar A) cdot P(B mid bar A) + P(A) cdot P(B mid A)}} ) ( = frac{{0,000013 cdot 0,7}}{{0,000013 cdot 0,7 + 0,999987 cdot 0,1}} approx 0,000091. ) Vậy khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là 0,000091 .

Question 18

Một cửa hàng kinh doanh tổ chức rút thăm trúng thưởng cho hai loại sản phẩm. Tỉ lệ trúng thưởng của các loại sản phẩm ${\rm{I}},{\rm{II}}$ lần lượt là: $6\% ;4\% $. Trong một hộp kín gồm các thăm cùng loại, người ta để lẫn lộn 200 chiếc thăm cho sản phẩm loại I và 300 chiếc thăm cho sản phẩm loại II . Một khách hàng lấy ngẫu nhiên 1 chiếc thăm từ chiếc hộp đó.

a) Tính xác suất để chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng.

b) Giả sử chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng. Xác suất chiếc thăm đó thuộc loại sản phẩm nào là cao nhất?

Accepted Answer

a) Xét hai biến cố: A: "Chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng"; B: "Chiếc thăm được lấy ra là chiếc thăm cho sản phẩm loại l". Vi người ta để lẫn lộn 200 chiếc thăm cho sản phẩm loại I và 300 chiếc thăm cho sản phẩm loại Il nên ({ rm{P}}({ rm{B}}) = frac{{200}}{{200 + 300}} = 0,4 ) và ({ rm{P}}( bar B) = 1 - 0,4 = 0,6 ). Do tỉ lệ trúng thưởng của các loại sản phẩm I, II lần lượt là: (6 % ); (4 % ) nên ({ rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) = 0,06{ rm{ và P}}({ rm{A}} mid bar B) = 0,04.{ rm{ }} ) Xác suất để chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng là: ({ rm{P}}({ rm{A}}) = { rm{P}}({ rm{B}}) cdot { rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) + { rm{P}}( bar B) cdot { rm{P}}({ rm{A}} mid bar B) = 0,4 cdot 0,06 + 0,6 cdot 0,04 = 0,048. ) b) Nếu chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng thì xác suất chiếc thăm đó thuộc loại sản phẩm loại I là: ({ rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) = frac{{P(B) cdot P(A mid B)}}{{P(A)}} = frac{{0,4 cdot 0,06}}{{0,048}} = 0,5 ). Nếu chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng thì xác suất chiếc thăm đó thuộc loại sản phẩm loại II là: ({ rm{P}}( bar B mid { rm{A}}) = 1 - { rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) = 1 - 0,5 = 0,5 ). Vậy nếu chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng thì xác suất chiếc thăm đó thuộc hai loại sản phẩm I và II là như nhau.

Question 19

Một xạ thủ bắn vào bia số 1 và bia số 2 . Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng bia số 1 , bia số 2 lần lượt là 0,8 ; 0,9. Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng cả hai bia là 0,8 . Xét hai biến cố sau:

A: "Xạ thủ đó bắn trúng bia số 1";

B: "Xạ thủ đó bắn trúng bia số 2".

a) Hai biến cố $A$ và $B$ có độc lập hay không?

b) Biết xạ thủ đó bắn trúng bia số 1 , tính xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 .

c) Biết xạ thủ đó không bắn trúng bia số 1, tính xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 .

Accepted Answer

a) Theo bài ra ta có: (P(A) = 0,8;P(B) = 0,9;P(A cap B) = 0,8 ). Vi (P(A) cdot P(B) = 0,8 cdot 0,9 = 0,72 ne 0,8 = P(A cap B) ) nên hai biến cố (A ) và (B ) không độc lập. b) Ta có xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 , biết xạ thủ bắn trúng bia số 1 chính là xác suất có điều kiện ({ rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) ). Khi đó, ({ rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) = frac{{P(A cap B)}}{{P(A)}} = frac{{0,8}}{{0,8}} = 1 ). Vậy nếu biết xạ thủ đó bắn trúng bia số 1 thì xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 là 1 . c) Ta có xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 , biết xạ thủ không bắn trúng bia số 1 chính là xác suất có điều kiện ({ rm{P}}({ rm{B}} mid bar A) ). Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: ({ rm{P}}({ rm{B}}) = { rm{P}}({ rm{A}}) cdot { rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) + { rm{P}}( bar A) cdot { rm{P}}({ rm{B}} mid bar A). ) Suy ra ({ rm{P}}({ rm{B}} mid bar A) = frac{{P(B) - P(A) cdot P(B mid A)}}{{P( bar A)}} = frac{{0,9 - 0,8 cdot 1}}{{1 - 0,8}} = 0,5 ). Vậy nếu biết xạ thủ đó không bắn trúng bia số 1 thì xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 là 0,5 .

Question 20

Một chiếc hộp có 40 viên bi, trong đó có 12 viên bi màu đỏ và 28 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân lấy ngẫu nhiên viên bi từ chiếc hộp đó hai lần, mỗi lần lấy ra một viên bi và viên bi được lấy ra không bỏ lại hộp. Tính xác suất để cả hai lần bạn Ngân đều lấy ra được viên bi màu vàng.

Accepted Answer

9/13

38 bài tập Tính xác suất bằng cách sử dụng công thức Bayes (có lời giải)

Xem trước câu hỏi