39 bài tập Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (có lời giải)

Question 1

Cân nặng của một số quả mít trong một khu vườn được thống kê ở bảng sau:

![Cân nặng của một số quả mít trong một khu vườn được thống kê ở bảng sau (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid0-1754147612.png)

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Kết quả các phép tính làm tròn đến hàng phần trăm.)

Accepted Answer

Ta có bảng thống kê cân nặng của các quả mít theo giá trị đại diện: Cỡ mẫu n = 6 + 12 + 19 + 9 + 4 = 50. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: [ bar x = frac{{6.5 + 12.7 + 19.9 + 9.11 + 4.13}}{{50}} = 8,72 ] Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là S2 = [ frac{1}{{50}} ] (6 . 52 + 12 . 72 + 19 . 92 + 9 . 112 + 4 . 132) – 8,722 ≈ 4,80. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: [S approx sqrt {4,80} approx 2,19 ]

Question 2

Thống kê tổng số giờ nắng trong tháng 9 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau trong các năm từ 2002 đến 2021 được thống kê như sau:

111,6 134,9 130,3 134,2 140,9 109,3 154,4 156,3 116,1 96,7

105,2 80,8 80,8 110 109 139 145 161 126 114

(Nguồn: Tổng cục Thống kê)

a) Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [80; 98) và độ dài mỗi nhóm bằng 18. Tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

c) Hãy tính sai số tương đối của độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm so với độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. (Kết quả các phép tính làm tròn đến hàng phần nghìn.)

Accepted Answer

a) Cỡ mẫu là n = 20. Số trung bình của mẫu số liệu trên là: [{ bar x_1} = frac{{111,6 + 134,9 + ... + 114}}{{20}} = 122,755 ] Phương sai của mẫu số liệu trên là: S12 = [ frac{1}{{20}} ] (111,62 + 134,92 + … + 1142) – 122,7552 ≈ 515,453. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là [{S_1} approx sqrt {515,453} approx 22,704 ] b) Ta có bảng sau: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: [{ bar x_2} = frac{{3.89 + 6.107 + 3.125 + 5.143 + 3.161}}{{20}} = 124,1 ] Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là S22 = [ frac{1}{{20}} ] (3 . 892 + 6 . 1072 + 3 . 1252 + 5 . 1432 + 3 . 1612) – 124,12 = 566,19. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là [{S_2} approx sqrt {566,19} approx 23,795 ] c) Sai số tương đối của độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm so với độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc là [ frac{{ left| {{S_2} - {S_1}} right|}}{{{S_1}}} = frac{{ left| {23,795 - 22,704} right|}}{{22,704}} cdot 100 % approx 4,805 % ]

Question 3

Thầy Tuấn thống kê lại điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp 11A và 11B ở bảng sau:

![Thầy Tuấn thống kê lại điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp 11A và 11B ở bảng sau (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid1-1754148219.png)

a) Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì học sinh lớp nào có điểm trung bình ít phân tán hơn?

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp nào có điểm trung bình ít phân tán hơn?

Accepted Answer

a) Khoảng biến thiên của điểm số học sinh lớp 11A là: 10 – 5 = 5. Khoảng biến thiên của điểm số học sinh lớp 11B là: 10 – 6 = 4. Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì điểm trung bình của các học sinh lớp 11B ít phân tán hơn điểm trung bình của các học sinh lớp 11A. b) Ta có bảng thống kê điểm trung bình theo giá trị đại diện • Xét mẫu số liệu của lớp 11A: Cỡ mẫu là n1 = 1 + 11 + 22 + 6 = 40. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: [{ bar x_1} = frac{{1.5,5 + 11.7,5 + 22.8,5 + 6.9,5}}{{40}} = 8,3 ] Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm: S12 = [ frac{1}{{40}} ] (1 . 5,52 + 11 . 7,52 + 22 . 8,52 + 6 . 9,52) – 8,32 = 0,61. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là [{S_1} approx sqrt {0,61} ] • Xét mẫu số liệu của lớp 11B: Cỡ mẫu là n2 = 6 + 8 + 14 + 12 = 40. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là [{ bar x_2} = frac{{6.6,5 + 8.7,5 + 14.8,5 + 12.9,5}}{{40}} = 8,3 ] Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm: S22 = [ frac{1}{{40}} ] (6. 6,52 + 8 . 7,52 + 14 . 8,52 + 12 . 9,52) – 8,32 = 1,06. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là [{S_2} approx sqrt {1,06} ] Do S1 < S2 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp 11A có điểm trung bình ít phân tán hơn học sinh lớp 11B. Chú ý: Trong ví dụ trên, kết quả so sánh độ phân tán theo giá trị trung bình và độ lệch chuẩn có sự khác biệt. Điều này là do mẫu số liệu của học sinh lớp 11A có một giá trị ngoại lệ.

Question 4

Biểu đồ dưới đây mô tả kết quả điều tra về mức lương khởi điểm (đơn vị: triệu đồng) của một số công nhân ở hai khu vực A và B.

a) Hãy xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu đó.

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì công nhân ở khu vực nào có mức lương khởi điểm đồng đều hơn?

![Biểu đồ dưới đây mô tả kết quả điều tra về mức lương khởi điểm (đơn vị: triệu đồng) của một số công nhân ở hai khu vực A và B. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid2-1754148927.png)

Accepted Answer

a) Ta có bảng sau: b) Xét mẫu số liệu của khu vực A: Cỡ mẫu là nA = 4 + 5 + 5 + 4 + 2 = 20. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: [{ bar x_A} = frac{{4.5,5 + 5.6,5 + 5.7,5 + 4.8,5 + 2.9,5}}{{20}} = 7,25 ] Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là [S_A^2 ]= [ frac{1}{{20}} ] (4 . 5,52 + 5 . 6,52 + 5 . 7,52 + 4 . 8,52 + 2 . 9,52) – (7,25)2 = 1,5875. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là [{S_A} approx sqrt {1,5875} ] Xét mẫu số liệu của khu vực B: Cỡ mẫu là nB = 3 + 6 + 5 + 5 + 1 = 20. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là [{ bar x_B} = frac{{3.5,5 + 6.6,5 + 5.7,5 + 5.8,5 + 1.9,5}}{{20}} = 7,25 ] Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là [S_B^2 ] = [ frac{1}{{20}} ] (3 . 5,52 + 6 . 6,52 + 5 . 7,52 + 5 . 8,52 + 1 . 9,52) – (7,25)2 = 1,2875. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là [{S_B} approx sqrt {1,2875} ] Do SA > SB nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì mức lương khởi điểm của công nhân khu vực B đồng đều hơn của công nhân khu vực A.

Question 5

Ví dụ 1. Cho biểu đồ như hình bên:

![Trong biểu đồ trên, cột thứ nhất biểu diễn số lượng học sinh có chiều cao từ 160 cm đến dưới 164 cm (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid4-1754149078.png)

a) Trong biểu đồ trên, cột thứ nhất biểu diễn số lượng học sinh có chiều cao từ 160 cm đến dưới 164 cm; cột thứ hai biểu diễn số lượng học sinh có chiều cao từ 164 cm đến dưới 168 cm, … .

Hãy lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu ở biểu đồ trên, xác định giá trị đại diện của mỗi nhóm và tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

b) Xét mẫu số liệu mới gồm các giá trị đại diện của các nhóm, tần số của mỗi giá trị đại diện bằng tần số của nhóm tương ứng. Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mới.

Accepted Answer

a) b) Cỡ mẫu: n = 21 Giá trị trung bình của mẫu số liệu mới: x¯=1nn1c1+n2c2+…+nkck=121(3.162+5.166+8.170+4.174+1.178)=355021 Phương sai của mẫu số liệu mới: S2=1nn1c1−x¯2+n2c2−x¯2+…+nkck−x¯2 =1213162−3550212+5166−3550212+…+1178−3550212=8000441 Độ lệch chuẫn của mẫu số liệu mới: σ=S2=8000441=40521

Question 6

Giá đóng cửa của một cổ phiếu là giá của cổ phiếu đó cuối một phiên giao dịch. Bảng sau thống kê giá đóng cửa (đơn vị: nghìn đồng) của hai mã cổ phiếu A và B trong 50 ngày giao dịch liên tiếp.

![Media VietJack](https://assets.nganla.com/migrated/2026/05/08/1778227637518617592.png)

Người ta có thể dùng phương sai và độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của các loại cổ phiếu có giá trị trung bình gần bằng nhau. Cổ phiếu nào có phương sai, độ lệch chuẩn cao hơn thì được coi là có độ rủi ro lớn hơn. Theo quan điểm trên, hãy so sánh độ rủi ro của cổ phiếu A và cổ phiếu B.

Accepted Answer

Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện: Xét mẫu số liệu của cổ phiếu A: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là [{ bar x_1} = frac{{8.121 + 9.123 + 12.125 + 10.127 + 11.129}}{{50}} = 125,28 ] Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là [S_1^2 ] = [ frac{1}{{50}} ] (8 . 1212 + 9 . 1232 + 12 . 1252 + 10 . 1272 + 11 . 1292) – (125,28)2 = 7,5216. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là [{S_1} = sqrt {S_1^2} = sqrt {7,5216} ] Xét mẫu số liệu của cổ phiếu B: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là [{ bar x_2} = frac{{16.121 + 4.123 + 3.125 + 6.127 + 21.129}}{{50}} = 125,28 ] Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là [S_2^2 ]= [ frac{1}{{50}} ] (16 . 1212 + 4 . 1232 + 3 . 1252 + 6 . 1272 + 21 . 1292) – (125,48)2 = 12,4096. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là [{S_2} = sqrt {S_2^2} = sqrt {12,4096} ] Vậy nếu đánh giá độ rủi ro theo phương sai và độ lệch chuẩn thì cổ phiếu A có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu B.

Question 7

Tính phương sai, độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu ghép nhóm trong các bảng sau:

![Tính phương sai, độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu ghép nhóm trong các bảng sau: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid3-1754211272.png)

Accepted Answer

a) Ta có bảng thống kê sau: a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là: ({ bar x_D} = frac{{3 cdot 6,34 + 7 cdot 6,58 + 5 cdot 6,82 + 20 cdot 7,06 + 5 cdot 7,30}}{{40}} = frac{{276,88}}{{40}} approx 6,92( ;{ rm{m}}) ) Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm): ( begin{array}{l}s_D^2 = frac{1}{{40}} left[ {3 cdot {{(6,34 - 6,92)}^2} + 7 cdot {{(6,58 - 6,92)}^2} + 5 cdot {{(6,82 - 6,92)}^2}} right. left. { + 20 cdot {{(7,06 - 6,92)}^2} + 5 cdot {{(7,30 - 6,92)}^2}} right] { rm{ }} = frac{{2,9824}}{{40}} approx 0,07 end{array} )Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ({s_D} approx sqrt {0,07} approx 0,26( ;{ rm{m}}) ). b) Ta có bảng thống kê sau: b) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là: ({ bar x_H} = frac{{2 cdot 6,34 + 5 cdot 6,58 + 8 cdot 6,82 + 19 cdot 7,06 + 6 cdot 7,30}}{{40}} = frac{{278,08}}{{40}} approx 6,95( ;{ rm{m}}) ) Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn kết quả đến hàng phẩn trăm): ( begin{array}{l}s_H^2 = frac{1}{{40}} left[ {2 cdot {{(6,34 - 6,95)}^2} + 5 cdot {{(6,58 - 6,95)}^2}} right. + 8 cdot {(6,82 - 6,95)^2} + 19 cdot {(7,06 - 6,95)^2} left. { + 6 cdot {{(7,30 - 6,95)}^2}} right] { rm{ }} = frac{{2,5288}}{{40}} approx 0,06 end{array} ) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ({s_H} approx sqrt {0,06} approx 0,24( ;{ rm{m}}) ) d) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ( bar x = frac{{6.55 + 12 cdot 65 + 7.75 + 8.85 + 7.95}}{{40}} = frac{{2980}}{{40}} = 74,5.{ rm{ }} ) Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ( begin{array}{l}{s^2} = frac{1}{{40}} cdot left[ {6 cdot {{(55 - 74,5)}^2} + 12 cdot {{(65 - 74,5)}^2} + 7 cdot {{(75 - 74,5)}^2}} right. left. { + 8 cdot {{(85 - 74,5)}^2} + 7 cdot {{(95 - 74,5)}^2}} right] { rm{ }} = frac{{7190}}{{40}} approx 179,8 end{array} ) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: (s approx sqrt {179,8} approx 13,4 ).

Question 8

Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/capture-1754211341.PNG)

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Accepted Answer

Cỡ mẫu: ({ rm{n}} = 100 ) Số trung bình: ( bar x = frac{{13.19,25 + 45.19,75 + 24.20,25 + 12.20,75 + 6.21,25}}{{100}} = 20,015 ) Phương sai: ({S^2} = frac{{{{13.19,25}^2} + {{45.19,75}^2} + {{24.20,25}^2} + {{12.20,75}^2} + {{6.21,25}^2}}}{{100}} - {20,015^2} approx 0,28 ) Độ lệch chuẫn: ( sigma = sqrt {0,28} approx 0,53 )

Question 9

Một siêu thị thống kê số tiền ( đơn vị: Chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày. Số liệu được ghi lại trong bảng bên. Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

![Một siêu thị thống kê số tiền ( đơn vị: Chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid5-1754211429.png)

Accepted Answer

a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 18 là: x¯=4⋅42,5+14⋅47,5+8⋅52,5+10⋅57,5+6⋅62,5+2⋅67,544=234044≈53,2 (chục nghìn đồng). Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng là: [ begin{array}{l}{s^2} = frac{1}{{44}} cdot left[ {4 cdot {{(42,5 - 53,2)}^2} + 14 cdot {{(47,5 - 53,2)}^2} + 8 cdot {{(52,5 - 53,2)}^2} + 10 cdot {{(57,5 - 53,2)}^2}} right. { rm{ }} left. { + 6 cdot {{(62,5 - 53,2)}^2} + 2 cdot {{(67,5 - 53,2)}^2}} right] = frac{{2029,56}}{{44}} approx 46,1 end{array} ] b) Độ lệch chuẩn của mẵu số liệu ghép nhóm trên là: (s approx sqrt {46,1} approx 6,8 ) (chục nghìn đồng).

Question 10

Bảng 19, Bảng 20 lần lượt biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của hai công ty A, B (đơn vị: triệu đồng).

![Bảng 19, Bảng 20 lần lượt biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của hai công ty A, B (đơn vị: triệu đồng). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid6-1754211475.png)

a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lần lượt biểu diễn mức lương của hai công ty A, B.

b) Công ty nào có mức lương đồng đều hơn?

Accepted Answer

a) - Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty ({ rm{A}} ) được cho bởi Bảng 19 là: ({ bar x_A} = frac{{15 cdot 12,5 + 18 cdot 17,5 + 10 cdot 22,5 + 10 cdot 27,5 + 5 cdot 32,5 + 2 cdot 37,5}}{{60}} = frac{{1240}}{{60}} approx 20,67{ rm{ (trieu dong) }} ) Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty ({ rm{A}} ) được cho bởi Bảng 19 là: [ begin{array}{l}s_A^2 = frac{1}{{60}} cdot left[ {15 cdot {{(12,5 - 20,67)}^2} + 18 cdot {{(17,5 - 20,67)}^2} + 10 cdot {{(22,5 - 20,67)}^2}} right. left. { + 10 cdot {{(27,5 - 20,67)}^2} + 5 cdot {{(32,5 - 20,67)}^2} + 2 cdot {{(37,5 - 20,67)}^2}} right] = frac{{2948,334}}{{60}} approx 49,14 end{array} ] Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ({s_A} approx sqrt {49,14} approx 7,01 ) (triệu đồng). Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biếu diễn mức lương của công ty ({ rm{B}} ) được cho bởi Bảng 20 là: ({ bar x_B} = frac{{25 cdot 12,5 + 15 cdot 17,5 + 7 cdot 22,5 + 5 cdot 27,5 + 5 cdot 32,5 + 3 cdot 37,5}}{{60}} = frac{{1047,5}}{{60}} approx 17,46{ rm{ (trieu dong) }} ) Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biếu diễn mức lương của công ty ({ rm{B}} ) được cho bới Bảng 20 là: ( begin{array}{l}s_B^2 = frac{1}{{60}} cdot left[ {25 cdot {{(12,5 - 17,46)}^2} + 15 cdot {{(17,5 - 17,46)}^2} + 7 cdot {{(22,5 - 17,46)}^2}} right. left. {{ rm{ }} + 5 cdot {{(27,5 - 17,46)}^2} + 5 cdot {{(32,5 - 17,46)}^2} + 3 cdot {{(37,5 - 17,46)}^2}} right] = frac{{3632,696}}{{60}} approx 60,54 end{array} ) Độ lệch chuẩn của mẵu số liệu ghép nhóm trên là: ({s_B} approx sqrt {60,54} approx 7,78 ) (triệu đồng). b) Do ({{ rm{S}}_{ rm{A}}} approx 7,01 < {{ rm{S}}_{ rm{B}}} approx 7,78 ) nên công ty ({ rm{A}} ) có mức lương đồng đều hơn công ty ({ rm{B}} )

Question 11

Cho bảng số liệu ghép nhóm về độ tuổi của cư dân trong một khu phố. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó

![Cho bảng số liệu ghép nhóm về độ tuổi của cư dân trong một khu phố. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid7-1754211549.png)

Accepted Answer

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 21 là: ( bar x = frac{{25 cdot 25 + 20 cdot 35 + 20 cdot 45 + 15 cdot 55 + 14 cdot 65 + 6 cdot 75}}{{100}} = frac{{4410}}{{100}} approx 44 ) Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 21 là: ( begin{array}{l}{s^2} = frac{1}{{100}} cdot left[ {25 cdot {{(25 - 44)}^2} + 20 cdot {{(35 - 44)}^2} + 20 cdot {{(45 - 44)}^2}} right. left. { + 15 cdot {{(55 - 44)}^2} + 14 cdot {{(65 - 44)}^2} + 6 cdot {{(75 - 44)}^2}} right] { rm{ }} = frac{{24420}}{{100}} = 244,2 end{array} )Độ lệch chuẩn của mẵu số liệu ghép nhóm trên là: (s = sqrt {244,2} approx 15,6 ).

Question 12

Kết quả khảo sát thời gian sử dụng liên tục (đơn vị: giờ) từ lúc sạc đầy cho đến khi hết của pin một số máy vi tính cùng loại được mô tả bằng biểu đồ bên.

![Kết quả khảo sát thời gian sử dụng liên tục (đơn vị: giờ) từ lúc sạc đầy cho đến khi hết của pin một số máy vi tính cùng loại được mô tả bằng biểu đồ bên (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid9-1754211615.png)

a) Hãy cho biết có bao nhiêu máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 đến dưới 7,4 giờ?

b) Hãy xác định số trung bình và độ lệch chuẩn của thời gian sử dụng pin.

Accepted Answer

a) Có 2 máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 dến dưới 7,4 giờ b) Cỡ mẫu: (n = 18 ) Số trung bình: ( bar x = frac{{2.7,3 + 4.7,5 + 7.7,7 + 5.7,9}}{{18}} approx 7,67 ) Phương sai: ({S^2} = frac{{{{2.7,3}^2} + {{4.7,5}^2} + {{7.7,7}^2} + {{5.7,9}^2}}}{{18}} - {7,67^2} approx 0,04 ) Độ lệch chuẫn: ( sigma = sqrt {0,04} approx 0,19 )

Question 13

Tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ (đơn vị: km/h) được thống kê lại như sau:

![Tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ (đơn vị: km/h) được thống kê lại như sau: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid12-1754211864.png)

a) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [42; 46) và độ dài mỗi nhóm bằng 4.

c) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

Accepted Answer

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu: (61,1 - 42 = 19,1( ;{ rm{km}}/{ rm{h}}) ) Cỡ mẫu: (n = 20 ) Gọi ({x_1};{x_2}; ldots ;{x_{20}} ) là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm. Trung vị ({Q_2} = frac{1}{2} left( {{x_{10}} + {x_{11}}} right) = frac{1}{2}(48,4 + 50,8) = 49,6 ) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái ({Q_2}{Q_1} = frac{1}{2} left( {{x_5} + {x_6}} right) = frac{1}{2}(46,7 + 46,8) = 46,75 ) Tứ phân vị thứ ba là trung bị của nửa số liệu bên phải ({Q_2}:{Q_3} = frac{1}{2} left( {{x_{15}} + {x_{16}}} right) = frac{1}{2}(54,8 + 55,6) = 55,2 ) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ({ Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 8,45 ) Số trung bình: $ bar{x}= frac{42+43,4+ ldots+61,1}{20}=50,945$ Phương sai: $S^2= frac{42^2+43,4^2+ ldots+61,1^2}{20}-50,945^2 approx 32,2$ Độ lệch chuẫn: $ sigma= sqrt{32,2} approx 5,67$ b) c) Ta có: ({x_1}; ldots ;{x_3} in [42;46);{x_4}; ldots ;{x_{10}} in [46;50);{x_{11}}; ldots ;{x_{14}} in [50;54);{x_{15}}; ldots ;{x_{17}} in [54;58) ); ({x_{18}}; ldots ;{x_{20}} in [58;62) ) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ( frac{1}{2} left( {{x_5} + {x_6}} right) in [46;50) ). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ({Q_1}^ prime = 46 + frac{{ frac{{20}}{4} - 3}}{7}(50 - 46) = frac{{330}}{7} ) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ( frac{1}{2} left( {{x_{15}} + {x_{16}}} right) in [54;58) ). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ({Q_3}^ prime = 54 + frac{{ frac{{3.20}}{4} - (3 + 7 + 4)}}{3}(58 - 54) = frac{{166}}{3} ) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ({ Delta _Q}^ prime = {Q_3}^ prime - {Q_1}^ prime = frac{{172}}{{21}} ) Số trung bình: ( bar x = frac{{3.44 + 7.48 + 4.52 + 3.56 + 3.60}}{{20}} = 41,8 ) Phương sai: ({S^2} = frac{{{{3.44}^2} + {{7.48}^2} + {{4.52}^2} + {{3.56}^2} + {{3.60}^2}}}{{20}} - {41,8^2} = 364,96 ) Độ lệch chuẩn: ( sigma = sqrt {364,96} = 19,1 )

Question 14

Một giống cây xoan đào được trồng tại hai địa điểm A và B. Người ta thống kê đường kính thân của một số cây xoan đào 5 năm tuổi ở bảng sau:

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/capture1-1754212088.PNG)

a) Hãy so sánh đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A và địa điểm B.

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cây trồng tại địa điểm nào có đường kính đồng đều hơn?

Accepted Answer

a) Xét mẫu số liệu của địa điềm ({ rm{A}} ) : Số trung bình: ({ bar x_A} = frac{{25.31 + 38.33 + 20.35 + 10.37 + 7.39}}{{100}} = 33,72 ) Xét mẫu số liệu của địa điểm ({ rm{B}} ) : ({ bar x_B} = frac{{22.31 + 27.33 + 19.35 + 18.37 + 14.39}}{{100}} = 34,5 ) Đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm ({ rm{A}} ) nhỏ hơn tại địa điểm ({ rm{B}} ). b) - Xét mẫu số liệu của địa điểm ({ rm{A}} ) : ({ sigma _A} = sqrt { frac{{{{25.31}^2} + {{38.33}^2} + {{20.35}^2} + {{10.37}^2} + {{7.39}^2}}}{{100}} - {{33,72}^2}} = 2,32 ) Xét mẫu số liệu của địa điềm ({ rm{B}} ) : ({ sigma _B} = sqrt { frac{{{{22.31}^2} + {{27.33}^2} + {{19.35}^2} + {{18.37}^2} + {{14.39}^2}}}{{100}}} = 2,7 ) Vậy cây trồng tại địa điểm ({ rm{A}} ) có đường kính đồng đều hơn

Question 15

Người ta theo dõi sự thay đổi cân nặng, được tính bằng hiệu cân nặng trước và sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng của một số người cho kết quả như bảng dưới đây:

![Người ta theo dõi sự thay đổi cân nặng, được tính bằng hiệu cân nặng trước và sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng của một số người cho kết quả như bảng dưới đây: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid15-1754212147.png)

Tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn và nhận xét về sự thay đổi cân nặng của người nam và người nữ sau ba tháng áp dụng chế dộ ăn kiêng

Accepted Answer

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có: Tổng số người nam là: ({n_1} = 2 + 3 + 5 + 3 + 2 = 15 ). Tổng số người nữ là: ({n_2} = 2 + 7 + 12 + 7 + 2 = 30 ). Thay đổi cân nặng trung bình của người nam là: ({ bar x_1} = frac{1}{{15}}[2 cdot ( - 0,5) + 3 cdot 0,5 + 5 cdot 1,5 + 3 cdot 2,5 + 2 cdot 3,5] = 1,5( ;{ rm{kg}}) ) Thay đổi cân nặng trung bình của người nữ là: ({ bar x_2} = frac{1}{{30}}[2 cdot ( - 0,5) + 7 cdot 0,5 + 12 cdot 1,5 + 7 cdot 2,5 + 2 cdot 3,5] = 1,5( ;{ rm{kg}}) ) Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thay đổi cân nặng của người nam là: (s_1^2 = frac{1}{{15}} left[ {2 cdot {{( - 0,5)}^2} + 3 cdot {{0,5}^2} + 5 cdot {{1,5}^2} + 3 cdot {{2,5}^2} + 2 cdot {{3,5}^2}} right] - {1,5^2} approx {1,21^2};{s_1} approx 1,21 ) Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thay đồi cân nặng của người nừ là: (s_2^2 = frac{1}{{30}} left[ {2 cdot {{( - 0,5)}^2} + 7 cdot {{0,5}^2} + 12 cdot {{1,5}^2} + 7 cdot {{2,5}^2} + 2 cdot {{3,5}^2}} right] - {1,5^2} approx {2,06^2};{s_2} approx 2,06. ) Như vậy, sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng này, về trung bình sự thay đổi cân nặng của nam và nữ là như nhau. Tuy nhiên, sự biến động về thay đổi cân nặng của nữ nhiều hơn so với của nam.

Question 16

Mai và Ngọc cùng sử dụng vòng đeo tay thông minh để ghi lại số bước chân hai bạn đi mỗi ngày trong một tháng. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:

![Mai và Ngọc cùng sử dụng vòng đeo tay thông minh để ghi lại số bước chân hai bạn đi mỗi ngày trong một tháng. Kết quả được ghi lại ở bảng sau: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid17-1754212226.png)

a) Hãy tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn nào có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn?

Accepted Answer

a) Cỡ mẫu: (n = 30 ) Xét mẫu số liệu của Mai: Số trung bình: ( overline {{x_1}} = frac{{6.4 + 7.6 + 6.8 + 6.10 + 5.12}}{{30}} = 7,8 ) Phương sai: ({S_1}^2 = frac{{ left( {{{6.4}^2} + {{7.6}^2} + {{6.8}^2} + {{6.10}^2} + {{5.12}^2}} right)}}{{30}} - {7,8^2} = 7,56 ) Độ lệch chuẩn: ({ sigma _1} = sqrt {7,56} approx 2,75 ) Xét mẫu số liệu của Ngọc: Số trung bình: ( overline {{x_2}} = frac{{2.4 + 5.6 + 13.8 + 8.10 + 2.12}}{{30}} = 8,2 ) Phương sai: (S_2^2 = frac{{ left( {{{2.4}^2} + {{5.6}^2} + {{13.8}^2} + {{8.10}^2} + {{2.12}^2}} right)}}{{30}} - {8,2^2} approx 3,83 ) Độ lệch chuẫn: ({ sigma _2} = sqrt {3,83} approx 1,96 ) b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn Ngọc có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn.

Question 17

Bạn Chi rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau:

![Bạn Chi rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid18-1754212271.png)

Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Accepted Answer

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: (45 - 20 = 25 ) (phút) b) Cö mẫu (n = 18 ) Gọi ({x_1};{x_2}; ldots ;{x_{18}} ) là mẫu số liệu gốc về thời gian tập nhảy mỗi ngày của bạn Chi được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có: ({x_1}; ldots ;{x_6} in [20;25);{x_7}; ldots ;{x_{12}} in [25;30);{x_{13}}; ldots ;{x_{16}} in [30;35);{x_{17}}; in [35;40);{x_{18}} in [40;45) ) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ({x_5} in [20;25) ). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ({Q_1} = 20 + frac{{ frac{{18}}{4}}}{6}(25 - 20) = 23,75 ) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ({x_{14}} in [30;35) ). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ({Q_3} = 30 + frac{{ frac{{3.18}}{4} - (6 + 6)}}{4}(35 - 30) = 31,875 ) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ({ Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 8,125 ) c) Số trung bình: ( bar x = frac{{6.22,5 + 6.27,5 + 4.32,5 + 37,5 + 42,5}}{{18}} approx 28,33 ) Phương sai: ({S^2} = frac{{{{6.22,5}^2} + {{6.27,5}^2} + {{4.32,5}^2} + {{37,5}^2} + {{42,5}^2}}}{{18}} - {28,33^2} = 31,25 )

Question 18

Dũng là học sinh rất giòi chơi rubik, bạn có thể giải nhiều loại khối rubik khác nhau. Trong một lần tập luyện giải khối rubik $3 \times 3$, bạn Dũng đã tự thống kê lại thời gian giải rubik trong 25 lần giải liên tiếp ở bảng sau:

![Dũng là học sinh rất giòi chơi rubik, bạn có thể giải nhiều loại khối rubik khác nhau. Trong một lần tập luyện giải khối rubik 3 x 3 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid20-1754212341.png)

Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Accepted Answer

a) Khoảng biến thiện của mẫu số liệu là: (18 - 8 = 10 ) (giây) b) Cỡ mẫu (n = 25 ) Gọi ({x_1};{x_2}; ldots ;{x_{25}} ) là mẫu số liệu gốc về thời gian giải rubik trong 25 lần của bạn Dūng được xếp th thứ tự không giảm. Tа có: ({x_1}; ldots ;{x_4} in [8;10);{x_5}; ldots ;{x_{10}} in [10;12);{x_{11}}; ldots ;{x_{18}} in [12;14);{x_{19}}; ldots ;{x_{22}} in [14;16) ); ({x_{23}}; ldots ;{x_{25}} in [16;18) ) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ( frac{1}{2} left( {{x_6} + {x_7}} right) in [10;12) ). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ({Q_1} = 10 + frac{{ frac{{25}}{4} - 4}}{6}(12 - 10) = 10,75 ) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ({x_{19}} in [14;16) ). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ({Q_3} = 14 + frac{{ frac{{3.25}}{4} - (4 + 6 + 8)}}{4}(16 - 14) = 14,375 ) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ({ Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3,63 ) c) Số trung bình: ( bar x = frac{{4.9 + 6.11 + 8.13 + 4.15 + 3.17}}{{25}} = 12,68 ) Độ lệch chuẩn: ( sigma = sqrt { frac{{{{4.9}^2} + {{6.11}^2} + {{8.13}^2} + {{4.15}^2} + {{3.17}^2}}}{{25}} - {{12,68}^2}} approx 5,98 )

Question 19

Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ đề rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: ${\rm{km}}$ ) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ờ bảng sau:

![Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ đề rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km ) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid22-1754212635.png)

Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Accepted Answer

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: (4,2 - 2,7 = 1,5( ;{ rm{km}}) ) b) Cỡ mẫu (n = 20 ) Gọi ({x_1};{x_2}; ldots ;{x_{20}} ) là mẫu số liệu gốc về quãng đường đi bộ mỗi ngày của bác Hương trong 20 ngày được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có: ({x_1}; ldots ;{x_3} in [2,7;3,0){x_4}; ldots ;{x_9} in [3,0;3,3){x_{10}}; ldots ;{x_{14}} in [3,3;3,6){x_{15}}; ldots ;{x_{18}} in [3,6;3,9){x_{19}};{x_{20}} in [3,9;4,2) ) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ( frac{1}{2} left( {{x_5} + {x_6}} right) in [3,0;3,3) ) Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ({Q_1} = 3,0 + frac{{ frac{{20}}{4} - 3}}{6}(3,3 - 3,0) = 3,1 ) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ( frac{1}{2} left( {{x_{15}} + {x_{16}}} right) in [3,6;3,9) ) Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ({Q_3} = 3,6 + frac{{ frac{{3.20}}{4} - (3 + 6 + 5)}}{4}(3,9 - 3,6) = 3,675 ) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ({ Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 0,575 ) c) Số trung bình: ( bar x = frac{{3.2,85 + 6.3,15 + 5.3,45 + 4.3,75 + 2.4,05}}{{20}} = 3,39 ) Phương sai: ({S^2} = frac{{{{3.2,85}^2} + {{6.3,15}^2} + {{5.3,45}^2} + {{4.3,75}^2} + {{2.4,05}^2}}}{{20}} - {3,39^2} = 0,1314 ) d) Độ lệch chuẩn: ( sigma = sqrt {0,1314} approx 0,36 )

Question 20

Một vận động viên luyện tập chạy cự li 100 m đã ghi lại kết quả luyện tập như sau:

![Một vận động viên luyện tập chạy cự li 100 m đã ghi lại kết quả luyện tập như sau: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid24-1754212697.png)

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này. Phương sai và độ lệch chuẩn cho biết điều gì?

Accepted Answer

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có: Tống số vận động viền là: (3 + 7 + 8 + 2 = 20 ). Thời gian chạy trung bình là: ( frac{{10,3.3 + 10,5.7 + 10,7.8 + 10,9.2}}{{20}} = 10,59 ). Phương sai của mẫu số liệu là ({s^2} = frac{{{{10,3}^2} cdot 3 + {{10,5}^2} cdot 7 + {{10,7}^2} cdot 8 + {{10,9}^2} cdot 2}}{{20}} - {10,59^2} = 0,0299.{ rm{ }} ) Độ lệch chuấn của mẫu số liệu là: (s = sqrt {0,0299} approx 0,17 ). Dựa vào phương sai và độ lệch chuấn ta có kết luận rằng mẫu số liệu kết quả luyện tập có tính đồng đều, dư liệu có xu hướng gần giá trị trung bình và ít bị phân tán.

39 bài tập Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (có lời giải)

Xem trước câu hỏi