40 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số (có lời giải)

Question 1

Hình vẽ dưới đây cho biết sự thay đổi của nhiệt độ tại một thành phố trong một ngày.

![Đồ thị nhiệt độ theo thời gian](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid0-1753950868.png)

a) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Vì sao?
i) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 28°C.
ii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 40°C.
iii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 34°C.

b) Hãy xác định thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày.

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu?

Accepted Answer

a) Khẳng định đúng là iii) vì quan sát đồ thị, giá trị cao nhất đạt được là 34°C.
b) Thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày (34°C) là 16 giờ.
c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 20°C.

Question 2

Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ y có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t ≥ 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số: $y\left( t \right) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}$. Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất?

![Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ y có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid1-1753951012.png)

Accepted Answer

Nồng độ oxygen trong nước cao nhất tại thời điểm $t = 0$ (giờ) và thấp nhất tại thời điểm $t = \frac{1}{3}$ (giờ).

Question 3

Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30 cm và chiều dài 80 cm (Hình 4a), người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh $x$ (cm) với $5 \le x \le 10$ và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như Hình 4b. Tìm $x$ để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

![Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30 cm và chiều dài 80 cm (Hình 4a), người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh x (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid3-1753951155.png)

Accepted Answer

6,67

Question 4

Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng $5$ cm. Diện tích lớn nhất của tam giác đó là bao nhiêu?

Accepted Answer

Gọi hai cạnh góc vuông là x và y (x, y > 0). Theo định lý Pythagoras, ta có x^2 + y^2 = 5^2 = 25. Diện tích tam giác là S = 1/2 * x * y. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: x^2 + y^2 >= 2xy => 25 >= 2xy => xy <= 12.5. Vậy S <= 1/2 * 12.5 = 6.25. Dấu bằng xảy ra khi x = y = 5/sqrt(2).

Question 5

Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

Accepted Answer

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là (x( ;{ rm{cm}},0 < x < 12) ) Chiều rộng của hình chữ nhật là (12 - x( ;{ rm{cm}}) ) Diện tích của hình chữ nhật là: (x(12 - x) = - {x^2} + 12x left( { ;{ rm{c}}{{ rm{m}}^2}} right) ) Đặt (S(x) = - {x^2} + 12x,x in (0;12) ); ({S^ prime }(x) = - 2x + 12,{S^ prime }(x) = 0 Leftrightarrow x = 6( ) tm $) Bảng biến thiên: Do đó, trong các hình có cùng chu vi thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là (36 ;{ rm{c}}{{ rm{m}}^2} ).

Question 6

Tìm hai số không âm *a* và *b* có tổng bằng 10 sao cho:

Biểu thức *ab* đạt giá trị lớn nhất

Accepted Answer

Ta có ({ rm{a}} + { rm{b}} = 10 ), suy ra ({ rm{b}} = 10 - { rm{a}} ). Vì ({ rm{a}},{ rm{b}} ge 0 ) nên (10 - { rm{a}} ge 0 ), suy ra ({ rm{a}} le 10 ). Ta có ({ rm{ab}} = { rm{a}}(10 - { rm{a}}) = - {{ rm{a}}^2} + 10{ rm{a}} ). Xét hàm số ({ rm{H}}({ rm{a}}) = - {{ rm{a}}^2} + 10{ rm{a}} ) với ({ rm{a}} in [0;10] ). Đạo hàm ({{ rm{H}}^ prime }({ rm{a}}) = - 2{ rm{a}} + 10 ). Trên khoảng ((0;10),{{ rm{H}}^ prime }({ rm{a}}) = 0 ) khi ({ rm{a}} = 5 ). (H(0) = 0;H(5) = 25;H(10) = 0.{ rm{ }} ) Do đó, ({ max _{[0,10]}}H(a) = 25 ) tại (a = 5 ). Với ({ rm{a}} = 5 ) thì ({ rm{b}} = 10 - 5 = 5 ). Vậy biểu thức ({ rm{ab}} ) đạt giá trị lớn nhất bằng 25 khi ({ rm{a}} = { rm{b}} = 5 ).

Question 7

Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho tổng bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất.

Accepted Answer

a = 5, b = 5

Question 8

Tìm hai số không âm $a$ và $b$ có tổng bằng 10 sao cho biểu thức $P = a b^2$ đạt giá trị lớn nhất.

Accepted Answer

Ta có ({ rm{a}} + { rm{b}} = 10 ), suy ra ({ rm{b}} = 10 - { rm{a}} ). Vì ({ rm{a}},{ rm{b}} ge 0 ) nên (10 - { rm{a}} ge 0 ), suy ra ({ rm{a}} le 10 ). Ta có (a{b^2} = a{(10 - a)^2} = {a^3} - 20{a^2} + 100a ). Xét hàm số ({ rm{T}}({ rm{a}}) = {{ rm{a}}^3} - 20{{ rm{a}}^2} + 100{ rm{a}} ) với với ({ rm{a}} in [0;10] ). Đạo hàm ({ rm{T}}({ rm{a}}) = 3{{ rm{a}}^2} - 40{ rm{a}} + 100 ). Trên khoảng ((0;10),S({ rm{a}}) = 0 ) khi ({ rm{a}} = frac{{10}}{3} ). ({ rm{T}}(0) = 0;T left( { frac{{10}}{3}} right) = frac{{4000}}{{27}};{ rm{T}}(10) = 0 ) Do đó, ({ max _{[0;10]}}T(a) = frac{{4000}}{{27}} ) tại (a = frac{{10}}{3} ). Với (a = frac{{10}}{3} ) thì (b = 10 - frac{{10}}{3} = frac{{20}}{3} ). Vậy biếu thức (a{b^2} ) đạt giá trị lớn nhất bằng ( frac{{4000}}{3} ) tại (a = frac{{10}}{3},b = frac{{20}}{3} ).

Question 9

Tính diện tích lớn nhất ${S_{\max }}$ của một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính $R = 6\,{\rm{cm}}$ nếu một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp.

![Tính diện tích lớn nhất Smax của một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R=6cm](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid6-1753951869.png)

Accepted Answer

36 ${\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$

Question 10

Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4 m (Hình vẽ). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?

![Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4 m (Hình vẽ). Tìm kích thước khung cửa sổ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid8-1753951990.png)

Accepted Answer

Gọi a, b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của cửa sồ (({ rm{m}};a,b > 0) ) Chu vi cửa sỗ là: (2(a + b) = 4 Leftrightarrow b = 2 - a ) Diện tích cửa sổ là: (y = ab = a(2 - a) = - {a^2} + 2a ) ({y^ prime } = - 2a + 2 = 0 Leftrightarrow a = 1 ) BBT: Từ bảng biến thiên suy ra: ({ max _{(0; + infty )}}y = y(1) = 1 ) Vậy để diện tích cửa sổ lớn nhất bằng (1 ;{{ rm{m}}^2} ) thì chiều dài và chiều rộng bẳng nhau và bằng (1 ;{ rm{m}} )

Question 11

Khối lượng q (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán p (nghìn đồng/kg) theo công thức p=15 − $\frac{1}{2}$q. Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức R = pq.

a) Viết công thức biểu diễn R theo p.

b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.

Accepted Answer

a) Ta có: (p = 15 - frac{1}{2}q Leftrightarrow q = 2(15 - p) ) Thay vào (R = pq ) ta được: (R = p cdot 2(15 - p) = - 2{p^2} + 30p ) b) Đặt (y = - 2{p^2} + 30p ) Tập xác định: (D = (0; + infty ) ); ({y^ prime } = - 4p + 30 = 0 Leftrightarrow p = 7,5 ) Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, ta thấy ({ max _D}y = y(7,5) = 112,5 ) Vậy nếu giá bán mỗi kilôgam sản phấm là 7,5 nghìn đồng (/{ rm{kg}} ) thì sê đạt được doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng

Question 12

Hộp sữa 1 lít được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x (cm). Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.

Accepted Answer

Gọi chiều cao của hộp là h (({ rm{cm}}) ) Thể tích của hộp là: (V = h cdot {x^2} = 1 Leftrightarrow h = frac{1}{{{x^2}}} ) Diện tích toàn phần của hộp là: (y = {S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{day}} = 4hx + 2{x^2} = 4 cdot frac{1}{{{x^2}}} cdot x + 2{x^2} = 2{x^2} + frac{4}{x} ) Tập xác định: (D = (0; + infty ) ); ({y^ prime } = 4x - frac{4}{{{x^2}}} = 0 Leftrightarrow x = 1 ) Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, ta thấy ({ min _D}y = y(1) = 6 ) Vậy (x = 1 ;{ rm{cm}} ) thì diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất và bằng (6 ;{ rm{c}}{{ rm{m}}^2} )

Question 13

Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = - {t^3} + 6{t^2} + t + 5$ trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?

Accepted Answer

13

Question 14

Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = \frac{1}{3}{t^3} - {t^2} + 9t,$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s(t)$ (mét) là quãng đường vật đi được. Hỏi trong khoảng thời gian $10$ giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu (m/s)?

Accepted Answer

89

Question 15

Một vật chuyển động theo quy luật $S = 10{t^2} - \frac{1}{3}{t^3}$, với *t (giây)* là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S(m) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian $15$ giây từ lúc vật bắt đầu chuyển động vận tốc $v\left( {m/s} \right)$ của vật đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t\left( s \right)$ bằng:

Accepted Answer

ĐS: 10(s)

Question 16

Một chất điểm chuyển động theo quy luật $S(t) = 1 + 3t^2 - t^3$. Vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm nào?

Accepted Answer

ĐS: t=1

Question 17

Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $s(t) = -t^3 + 6t^2 + 17t$, trong đó $t \ge 0$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s(t)$ (mét) là quãng đường vật đi được. Trong khoảng thời gian $t \in [0; 8]$, vận tốc $v(t)$ (m/s) của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

29

Question 18

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $S = - {t^3} + 3{t^2} - 2$, trong đó $t$ tính bằng giây và $S$ tính theo mét. Chuyển động có vận tốc lớn nhất là

Accepted Answer

3

Question 19

Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong $t$ giờ được tính theo công thức $c\left( t \right) = \frac{t}{{{t^2} + 1}}$ (mg/L) với $t \ge 0$. Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

Accepted Answer

1 giờ

Question 20

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $G\left( x \right) = 0,035{x^2}\left( {15 - x} \right)$, trong đó $x$ là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ($x$ được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

Accepted Answer

ĐS: x = 10

40 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số (có lời giải)

Xem trước câu hỏi