43 bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng (có lời giải)

Question 1

Cho hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (2;1;3)$ và $\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;2; - 8)$.

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian.

b) Vectơ $\vec b = ( - 2; - 1; - 3)$ có phải là một vectơ chỉ phương của d không? Giải thích.

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức $\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }} } \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\overrightarrow {{a^\prime }} } \right)} \right|$.

d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Accepted Answer

a) Góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với d và d'.

b) Có. Vì $\vec b = - \vec a$, nên $\vec b$ cùng phương với $\vec a$, do đó $\vec b$ là một vectơ chỉ phương của d.

c) Vì góc giữa hai đường thẳng luôn nằm trong đoạn $[0^\circ; 90^\circ]$ nên côsin của góc đó luôn không âm. Do $\cos(d,d') = |\cos(\vec a, \overrightarrow{a'})|$ và $\vec b = -\vec a$ nên $\cos(\vec b, \overrightarrow{a'}) = -\cos(\vec a, \overrightarrow{a'})$, dẫn đến trị tuyệt đối của chúng bằng nhau.

d) $\cos(d,d') = \frac{|\vec a \cdot \overrightarrow{a'}|}{|\vec a| \cdot |\overrightarrow{a'}|} = \frac{|2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot (-8)|}{\sqrt{2^2+1^2+3^2} \cdot \sqrt{3^2+2^2+(-8)^2}} = \frac{16}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} = \frac{16}{7\sqrt{22}}$.

Question 2

Tính góc giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$;

b) d: $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t}\{y = 2 - 2t}\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$

c) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\{y = - 1 + 2t}\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\{y = 3 + 4{t^\prime }}\{z = 10{t^\prime }.}\end{array}} \right.$

Accepted Answer

a) (d ) và ({d^ prime } ) có vectơ chi phương lần lượt là ( vec a = (1;2;1) ) và ({ vec a^ prime } = (1;1;2) ). Ta có cosd,d'=|1.1+2.1+1.2|12+22+12⋅12+12+22=56. Suy ra d,d'≈33°33' b) (d ) và ({d^ prime } ) có vectơ chi phương lần lượt là ( vec a = (1;2;2) ) và ({ vec a^ prime } = ( - 2; - 2;1) ). Ta có ( cos left( {d,{d^ prime }} right) = frac{{|1 cdot ( - 2) + 2 cdot ( - 2) + 2 cdot 1|}}{{ sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} cdot sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = frac{4}{9} ). Suy ra d,d'≈63°36' c) (d ) và ({d^ prime } ) có vectơ chi phương lần lượt là ( vec a = (1;2; - 1) ) và ({ vec a^ prime } = (2;4;10) ). Ta có ( cos left( {d,{d^ prime }} right) = frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) cdot 10|}}{{ sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} cdot sqrt {{2^2} + {4^2} + {{10}^2}} }} = 0 ). Suy ra d,d'=90°

Question 3

Tính góc giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi truoờng hợp sau:

a) d: $\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}$;

b) $d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 9 - 10t}\{y = 7 - 10t}\{z = 15 + 5t}\end{array}} \right.$

c) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 23 + 2t}\{y = 57 + t}\{z = 19 - 5t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 24 + {t^\prime }}\{y = 6 + {t^\prime }}\{z = {t^\prime }}\end{array}} \right.$

Accepted Answer

a) Đường thẳng d và ({{ rm{d}}^ prime } ) có vectơ chỉ phương lần lượt là ( vec a = (3;5;4), overrightarrow {{a^ prime }} = (2;5; - 4) ) Ta có ( cos left( {d,{d^ prime }} right) = frac{{|3 cdot 2 + 5.5 + 4 cdot ( - 4)|}}{{ sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} cdot sqrt {{2^2} + {5^2} + {{( - 4)}^2}} }} = frac{{15}}{{15 sqrt {10} }} = frac{1}{{ sqrt {10} }} ). Suy ra d,d'≈71,57° b) Đường thẳng d và ({{ rm{d}}^ prime } ) có vectơ chỉ phương lần lượt là ( vec a = (3;6;6), overrightarrow {{a^ prime }} = ( - 10; - 10;5) ) Ta có ( cos left( {d,{d^ prime }} right) = frac{{|3 cdot ( - 10) + 6 cdot ( - 10) + 6 cdot 5|}}{{ sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} cdot sqrt {{{( - 10)}^2} + {{( - 10)}^2} + {5^2}} }} = frac{{60}}{{135}} = frac{4}{9} ). Suy ra d,d'≈63,61° c) Đường thẳng d và ({{ rm{d}}^ prime } ) có vectơ chỉ phương lần lượt là ( vec a = (2;1; - 5), overrightarrow {{a^ prime }} = (1;1;1) ) Ta có ( cos left( {d,{d^ prime }} right) = frac{{|2 cdot 1 + 1 cdot 1 + ( - 5) cdot 1|}}{{ sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 5)}^2}} cdot sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = frac{2}{{3 sqrt {10} }} ). Suy ra d,d'≈77,83°

Question 4

Tính góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và $(P):x + z + 24 = 0$;

b) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\{y = - 1 + 2t}\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.$ và $(P):2x + 4y - 2z + 23 = 0$.

Accepted Answer

a) Đường thẳng (d ) có vectơ chỉ phương ( vec a = (2;2;1) ). Mặt phẳng ((P) ) có vectơ pháp tuyến ( vec n = (1;0;1) ). Ta có ( sin (d,(P)) = frac{{|2.1 + 2.0 + 1.1|}}{{ sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} cdot sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = frac{1}{{ sqrt 2 }} ). Suy ra (d,(P))=45° b) Đường thẳng (d ) có vectơ chỉ phương ( vec a = (1;2; - 1) ). Mặt phẳng ((P) ) có vectơ pháp tuyến ( vec n = (2;4; - 2) ). Ta có ( sin (d,(P)) = frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) cdot ( - 2)|}}{{ sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} cdot sqrt {{2^2} + {4^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 1 ). Suy ra (d,(P))=90°

Question 5

Tính góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 11 + 3t}\{y = - 11 + t}\{z = - 21 - 2t}\end{array}} \right.$ và $(P):6x + 2y - 4z + 7 = 0$;

b) $d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}$ và $(P):2x + 2y - 4z + 1 = 0$;

c) d: $\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}$ và $(P):2y - 4z + 7 = 0$.

Accepted Answer

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ( vec a = (3;1; - 2) ) Mặt phẳng ((P) ) có vectơ pháp tuyến là ( vec n = (6;2; - 4) ) Khi đó ( sin (d,(P)) = frac{{|3 cdot 6 + 1 cdot 2 + ( - 2) cdot ( - 4)|}}{{ sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} cdot sqrt {{6^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = frac{{28}}{{28}} = 1 ). Suy ra (d,(P))=90° b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ( vec a = (2;4;2) ) Mặt phẳng (({ rm{P}}) ) có vectơ pháp tuyến là ( vec n = (2;2; - 4) ) Khi đó ( sin (d,(P)) = frac{{|2 cdot 2 + 4 cdot 2 + 2 cdot ( - 4)|}}{{ sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} cdot sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = frac{4}{{24}} = frac{1}{6} ). Suy ra (d,(P))≈9,59° c) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ( vec a = (4;4;2) ) Mặt phẳng (({ rm{P}}) ) có vectơ pháp tuyến là ( vec n = (0;2; - 4) ) Khi đó ( sin (d,(P)) = frac{{|4 cdot 0 + 4 cdot 2 + 2 cdot ( - 4)|}}{{ sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} cdot sqrt {{2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 0 ). Suy ra (d,(P))=0°

Question 6

Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P):x + y - 2z + 9 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0$;

b) $(P):x + y + 24 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):y + z + 24 = 0$;

c) $(P):2x + 4y - z + 23 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x + 5y + 26z + 2025 = 0$.

Accepted Answer

a) ((P) ) và ( left( {{P^ prime }} right) ) có vectơ pháp tuyến lần lượt là ( vec n = (1;1; - 2),{ vec n^ prime } = (3; - 5;1) ). Ta có ( cos left( {(P), left( {{P^ prime }} right)} right) = frac{{|1.3 + 1 cdot ( - 5) + ( - 2) cdot 1|}}{{ sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} cdot sqrt {{3^2} + {{( - 5)}^2} + {1^2}} }} = frac{4}{{ sqrt {210} }} ). Suy ra (P),P'≈73°59'. b) ((P) ) và ( left( {{P^ prime }} right) ) có vectơ pháp tuyến lần lượt là ( vec n = (1;1;0),{ vec n^ prime } = (0;1;1) ). Ta có ( cos left( {(P), left( {{P^ prime }} right)} right) = frac{{|1.0 + 1 cdot 1 + 0.1|}}{{ sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} cdot sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = frac{1}{2} ). Suy ra (P),P'=60°. c) ((P) ) và ( left( {{P^ prime }} right) ) có vectơ pháp tuyến lần lượt là ( vec n = (2;4; - 1),{ vec n^ prime } = (3;5;26) ). Ta có ( cos left( {(P), left( {{P^ prime }} right)} right) = frac{{|2.3 + 4 cdot 5 + ( - 1) cdot 26|}}{{ sqrt {{2^2} + {4^2} + {{( - 1)}^2}} cdot sqrt {{3^2} + {5^2} + {{26}^2}} }} = 0 ). Suy ra (P),P'=90°

Question 7

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và $SA \bot (ABCD)$. Cho biết $A(0;0;0),B(2;0;0),D(0;3;0),S(0;0;2)$.

![Trong không gian Oxyz, cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuồng góc ABCD (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid0-1754814806.png)

Tính góc giũa:

a) hai đường thằng SC và BD.

b) mặt phẳng (SBD) và mặt đáy;

c) đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$.

Accepted Answer

Trong không gian Oxyz, ta có (C(2;3;0), overrightarrow {SC} = (2;3; - 2) ); ( overline {BD} = ( - 2;3;0) ). a) Hai đường thằng SC và BD có vectơ chi phương lần lượt là ( vec u = (2;3; - 2), vec v = ( - 2;3;0) ). Ta có ( cos (SC,BD) = frac{{| vec u cdot vec v|}}{{| vec u| cdot | vec v|}} = frac{{|2 cdot ( - 2) + 3 cdot 3 + ( - 2) cdot 0|}}{{ sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} cdot sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = frac{5}{{ sqrt {221} }} ). Suy ra (SC,BD)≈70°21'. b) Ta có phương trình mặt phẳng ((SBD) ) theo đoạn chắn là ( frac{x}{2} + frac{y}{3} + frac{z}{2} = 1 ) hay (3x + 2y + 3z - 6 = 0 ). Mặt phẳng ((SBD) ) có vectơ pháp tuyến ( vec n = (3;2;3) ), mặt đáy ((ABCD) ) có vectơ pháp tuyến ( vec k = (0;0;1) ). Gọi ( alpha ) là góc giũua mặt phẳng ((SBD) ) và mặt đáy. Ta có ( cos alpha = frac{{| vec n cdot vec k|}}{{| vec n| cdot | vec k|}} = frac{{|3 cdot 0 + 2 cdot 0 + 3 cdot 1|}}{{ sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} cdot sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = frac{3}{{ sqrt {22} }} ). Suy ra ((SBD),(ABCD))≈50°14'. c) Gọi ( beta ) là góc giũa đường thẳng SC và mặt phẳng ((SBD) ). Ta có ( sin beta = frac{{| vec u cdot vec n|}}{{| vec u| cdot | vec n|}} = frac{{|2 cdot 3 + 3 cdot 2 + ( - 2) cdot 3|}}{{ sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} cdot sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = frac{6}{{ sqrt {374} }} ). Suy ra (SC,(SBD))≈18°4'.

Question 8

Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P):3x + 7y - z + 4 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):x + y - 10z + 2025 = 0$;

b) $(P):x + y - 2z + 9 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0$;

c) $(P):x + z + 3 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3y + 3z + 5 = 0$.

Accepted Answer

a) Mặt phẳng (({ rm{P}}) ) và ( left( {{{ rm{P}}^ prime }} right) ) có vectơ pháp tuyến lần lượt là ( vec n = (3;7; - 1), overrightarrow {{n^ prime }} = (1;1; - 10) Rightarrow cos left( {(P), left( {{P^ prime }} right)} right) = frac{{|3 cdot 1 + 7 cdot 1 + ( - 1) cdot ( - 10)|}}{{ sqrt {{3^2} + {7^2} + {{( - 1)}^2}} cdot sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 10)}^2}} }} = frac{{20}}{{ sqrt {59} cdot sqrt {102} }} ) Suy ra ((P), (P')) ≈75,06°. b) Mặt phằng (({ rm{P}}) ) và ( left( {{{ rm{P}}^ prime }} right) ) có vectơ pháp tuyến lần lượt là ( vec n = (1; - 2;1), overrightarrow {{n^ prime }} = (3;1; - 5) Rightarrow cos left( {(P), left( {{P^ prime }} right)} right) = frac{{|1 cdot 3 + ( - 2) cdot 1 + 1 cdot ( - 5)|}}{{ sqrt {1 + {{( - 2)}^2} + {1^2}} cdot sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 5)}^2}} }} = frac{4}{{ sqrt {210} }} ) Suy ra ((P), (P')) ≈73,98°. c) Mặt phẳng (({ rm{P}}) ) và ( left( {{{ rm{P}}^ prime }} right) ) có vectơ pháp tuyến lần lượt là ( vec n = (1;0;1), overrightarrow {{n^ prime }} = (0;3;3) Rightarrow cos left( {(P), left( {{P^ prime }} right)} right) = frac{{|1.0 + 0.3 + 1.3|}}{{ sqrt {{1^2} + {1^2}} cdot sqrt {{3^2} + {3^2}} }} = frac{3}{{ sqrt {36} }} = frac{1}{2} ). Suy ra (P),P'=60°.

Question 9

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$. Cho biết $A(0;0;0)$, $B(1;0;0),D(0;5;0),{A^\prime }(0;0;3)$. Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng AC và $B{A^\prime }$;

b) hai mă̆t phằng $\left( {B{B^\prime }{D^\prime }D} \right)$ và $\left( {A{A^\prime }{C^\prime }C} \right)$;

c) đường thẳng $A{C^\prime }$ và mặt phẳng $\left( {{A^\prime }BD} \right)$.

Accepted Answer

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với (O ) trùng với (A ). Ta có ({A^ prime }(0;0;3),B(1;0;0),A(0;0;0),C(1;5;0),{B^ prime }(1;0;3),D(0;5;0),{C^ prime }(1;5;3) ) a) Đường thẳng AC nhận ( overrightarrow {AC} = (1;5;0) ) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng ({ rm{B}}{{ rm{A}}^ prime } ) nhận ( overrightarrow {B{A^ prime }} = ( - 1;0;3) ) làm vectơ chỉ phương. Khi đó ( cos left( {AC,B{A^ prime }} right) = frac{{|1.( - 1) + 5.0 + 0.3|}}{{ sqrt {{1^2} + {5^2}} cdot sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2}} }} = frac{1}{{2 sqrt {65} }} ). Suy ra AC,BA'≈86,44°. b) Ta có ( overrightarrow {B{B^ prime }} = (0;0;3), overrightarrow {BD} = ( - 1;5;0), overrightarrow {AC} = (1;5;0), overrightarrow {A{A^ prime }} = (0;0;3) ) Ta có ( left[ { overrightarrow {B{B^ prime }} , overrightarrow {BD} } right] = ( - 15; - 3;0), left[ { overrightarrow {AC} , overrightarrow {A{A^ prime }} } right] = (15; - 3;0) ). Mặt phẳng (BB'D'D) nhận ( vec n = - frac{1}{3} left[ { overrightarrow {B{B^ prime }} , overrightarrow {BD} } right] = (5;1;0) ) làm vectơ pháp tuyến. Mặt phẳng (AA'C'C) nhận ( overrightarrow {{n^ prime }} = frac{1}{3} left[ { overrightarrow {AC} , overrightarrow {A{A^ prime }} } right] = (5; - 1;0) ) làm vectơ pháp tuyến. Khi đó ( cos left( { left( {B{B^ prime }{D^ prime }D} right), left( {A{A^ prime }{C^ prime }C} right)} right) = frac{{|5 cdot 5 + 1 cdot ( - 1) + 0.0|}}{{ sqrt {{5^2} + 1} cdot sqrt {{5^2} + 1} }} = frac{{24}}{{26}} = frac{{12}}{{13}} ). c) Ta có ( overrightarrow {A{C^ prime }} = (1;5;3), quad overrightarrow {{A^ prime }B} = (1;0; - 3), overrightarrow {{A^ prime }D} = (0;5; - 3) ), ( left[ { overrightarrow {{A^ prime }B} , overrightarrow {{A^ prime }D} } right] = (15;3;5) ). Đường thẳng AC ' nhận ( overrightarrow {A{C^ prime }} = (1;5;3) ) làm vectơ chỉ phương. Mặt phẳng (A'BD) nhận ( vec n = left[ { overrightarrow {{A^ prime }B} , overrightarrow {{A^ prime }D} } right] = (15;3;5) ) làm vectơ pháp tuyến. Ta có ( sin left( {A{C^ prime }, left( {{A^ prime }BD} right)} right) = frac{{|1.15 + 5.3 + 3.5|}}{{ sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} cdot sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = frac{{45}}{{7 sqrt {185} }} ). Suy ra AC',A'BD≈28,21°

Question 10

Tính góc giữa hai đường thẳng $d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z - 7}}{2}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 7}}{3} = \frac{{z - 12}}{6}$.

Accepted Answer

A

Question 11

Tính góc giữa đường thẳng $d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}$ và mặt phẳng $(P):3y - 3z + 1 = 0$.

Accepted Answer

arcsin(1/(3*sqrt(2)))

Question 12

Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P):4y + 4z + 1 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right): 7x + 7z + 2 = 0$.

Accepted Answer

60°

Question 13

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' có đáy là tam giác OBC vuông tại O. Cho biết B(3;0;0), C(0;1;0), O'(0;0;2). Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng BO' và B'C;

b) hai mặt phẳng (O'BC) và (OBC);

c) đường thẳng B'C và mặt phẳng (O'BC).

Accepted Answer

a) cos(BO', B'C) = 5/sqrt(182); b) cos(phi) = 2/sqrt(14); c) sin(alpha) = 2/sqrt(14*14/9) = 6/sqrt(182).

Question 14

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng: $\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\{y = - 1 + t}\{z = 3}\end{array}} \right.$ và $\Delta ^\prime :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2s}\{y = - 2 + 2s}\{z = 4 + s}\end{array}} \right.$

Accepted Answer

arccos(2/sqrt(18)) = arccos(sqrt(2)/3)

Question 15

Tính góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ biết:

${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + {t_1}}\{y = 2 - \sqrt 3 {t_1}}\{z = 3}\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 - \sqrt 3 {t_2}}\{y = 5 + {t_2}}\{z = 6}\end{array}} \right.$ (với ${t_1},{t_2}$ là tham số).

Accepted Answer

30°

Question 16

Cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{1},{\Delta _2}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}.$. Chứng minh rằng ${\Delta _1} \bot {\Delta _2}$.

Accepted Answer

Đường thẳng ({ Delta _1} ) và ({ Delta _2} ) có vectơ chỉ phương lần lượt là ({ vec u_1} = (3;2;1),{ vec u_2} = ( - 1;2; - 1) ). Ta có: ({ vec u_1} cdot { vec u_2} = 3 cdot ( - 1) + 2 cdot 2 + 1 cdot ( - 1) = 0 ). Suy ra ({ Delta _1} bot { Delta _2} ).

Question 17

Cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}{\rm{. }}$Tính côsin của góc giữa đường thẳng $\Delta $ và các trục toạ độ.

Accepted Answer

Đường thẳng ( Delta : frac{x}{2} = frac{y}{{ - 1}} = frac{z}{2} ) có vectơ chỉ phương là ( vec u = (2; - 1;2) ). Các trục tọa độ Ox , Oy và Oz có vectơ chỉ phương lần lượt là ( vec i = (1;0;0) ), ( vec j = (0;1;0) ) và ( vec k = (0;0;1) ). Ta có: ( begin{array}{l} cos ( Delta ,{ rm{Ox}}) = frac{{|2 cdot 1 + ( - 1) cdot 0 + 2 cdot 0|}}{{ sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} cdot sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = frac{2}{3} cos ( Delta ,{ rm{Oy}}) = frac{{|2 cdot 0 + ( - 1) cdot 1 + 2 cdot 0|}}{{ sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} cdot sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = frac{1}{3} cos ( Delta ,{ rm{Oz}}) = frac{{|2 cdot 0 + ( - 1) cdot 0 + 2 cdot 1|}}{{ sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} cdot sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = frac{2}{3} end{array} )

Question 18

Cho mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (1;2;2)$ và đường thẳng $\Delta $ có vectơ chỉ phương $\vec u = (2;2; - 1)$. Tính sin của góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $(P)$. Góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $(P)$ bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Accepted Answer

26°

Question 19

Cho mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (A;B;C)$. Tính sin của góc giữa mặt phẳng $(P)$ và các trục toạ độ.

Accepted Answer

Mặt phẳng (({ rm{P}}) ) có vectơ pháp tuyến ( vec n = (A;B;C) ). Các trục tọa độ Ox , Oy và Oz có vectơ chỉ phương lần lượt là ( vec i = (1;0;0) ), ( vec j = (0;1;0) ) và ( vec k = (0;0;1) ). Ta có: ( sin ({ rm{Ox}},({ rm{P}})) = frac{{|1 cdot A + 0 cdot B + 0 cdot C|}}{{ sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} cdot sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = frac{{|A|}}{{ sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} ) ( sin ({ rm{Oy}},({ rm{P}})) = frac{{|0 cdot A + 1 cdot B + 0 cdot C|}}{{ sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} cdot sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = frac{{|B|}}{{ sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} ) ( sin ({ rm{Oz}},({ rm{P}})) = frac{{|0 cdot A + 0 cdot B + 1 cdot C|}}{{ sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} cdot sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = frac{{|C|}}{{ sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} )

Question 20

Tính góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + {t_1}}\{y = 4 + \sqrt 3 {t_1}}\{z = 0}\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + \sqrt 3 {t_2}}\{y = 4 + {t_2}}\{z = 5}\end{array}\quad \left( {{t_1},{t_2}} \right.} \right.$ là tham số);

b) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\{y = 3 + t}\{z = 4 - t}\end{array}} \right.$ ( $t$ là tham số) và ${\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{1}$.

Accepted Answer

a) Hai đường thắng ({ Delta _1} ) và ({ Delta _2} ) có vectơ chí phương lằn lượt là ( overrightarrow {{u_1}} = (1; sqrt 3 ;0), overrightarrow {{u_2}} = ( sqrt 3 ;1;0) ). Ta có: ( cos left( {{ Delta _1},{ Delta _2}} right) = frac{{|1 cdot sqrt 3 + sqrt 3 cdot 1 + 0 cdot 0|}}{{ sqrt {{1^2} + {{( sqrt 3 )}^2} + {0^2}} cdot sqrt {{{( sqrt 3 )}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = frac{{2 sqrt 3 }}{4} = frac{{ sqrt 3 }}{2} ). Suy ra Δ1,Δ2=30°. b) Hai đường thắng ({ Delta _1} ) và ({ Delta _2} ) có vectơ chí phương lằn lượt là ( overrightarrow {{u_1}} = (2;1; - 1), overrightarrow {{u_2}} = (3;1; - 2) ). Ta có: ( cos left( {{ Delta _1},{ Delta _2}} right) = frac{{|2 cdot 3 + 1 cdot 1 + ( - 1) cdot ( - 2)|}}{{ sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} cdot sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = frac{9}{{ sqrt 6 cdot sqrt {14} }} = frac{{3 sqrt {21} }}{{14}} ). Suy ra Δ1,Δ2≈11°. c) Hai đường thắng ({ Delta _1} ) và ({ Delta _2} ) có vectơ chí phương lần lượt là ( overrightarrow {{u_1}} = (1;1; - 1) ) và ( overrightarrow {{u_2}} = ( - 1;3;1) ). Ta có: ( cos left( {{ Delta _1},{ Delta _2}} right) = frac{{|1 cdot ( - 1) + 1 cdot 3 + ( - 1) cdot 1|}}{{ sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} cdot sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2} + {1^2}} }} = frac{1}{{ sqrt 3 cdot sqrt {11} }} = frac{{ sqrt {33} }}{{33}} ). Suy ra Δ1,Δ2≈80°

43 bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng (có lời giải)

Xem trước câu hỏi