46 bài tập Tìm vectơ chỉ phương, điểm thuộc đường thẳng, phương trình đường thẳng (có lời giải)

Question 1

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp O.ABC có $A(2;0;0),B(0;4;0)$ và $C(0;0;7)$.

a) Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, AC.

b) Vectơ $\vec v = ( - 1;2;0)$ có là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB không?

Accepted Answer

a) Ta có ( overrightarrow {AB} = ( - 2;4;0) ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB; ( overrightarrow {AC} = ( - 2;0;7) ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AC. b) Vì ( vec v = ( - 1;2;0) = frac{1}{2} overrightarrow {AB} ) nên ( vec v ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Question 2

Cho đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 6t}\{y = 11 + 2t}\{z = 4t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.$.

a) Tìm hai vectơ chỉ phương của $d$.

b) Tìm các điểm trên $d$ ứng với $t$ lần lượt bằng $0;2; - 3$.

Accepted Answer

a) Từ phương trình tham số, ta có ( vec a = (6;2;4) ) là một vectơ chỉ phương của (d ). Chọn ( vec b = frac{1}{2} vec a = (3;1;2) ), ta có ( vec b ) cũng là một vectơ chỉ phương của (d ). b) Thay (t = 0 ) vào phương trình tham số của (d ), ta được: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 6.0} {y = 11 + 2.0} {z = 4.0} end{array}{ rm{ hay }} left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2} {y = 11} {z = 0.} end{array}} right.} right. ) Vậy (A( - 2;11;0) ). Tương tự, với (t = 2 ) thì (B(10;15;8) ), với (t = - 3 ) thì (C( - 20;5; - 12) ).

Question 3

Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm ${M_0}(1;2;3)$ và nhận $\vec a = (4;5; - 7)$ làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng $d$ có đi qua điểm $A(1;1;5)$ không?

Accepted Answer

Ta có phương trình tham số của (d ) là: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 4t} {y = 2 + 5t} {z = 3 - 7t} end{array}} right. ) Thay (x = 1 ) vào phương trình (x = 1 + 4t ), ta được (1 = 1 + 4t ), suy ra (t = 0 ). Thay (y = 1 ) và (t = 0 ) vào phương trình (y = 2 + 5t ), ta thấy phương trình không thoả mãn. Suy ra đường thẳng (d ) không đi qua điểm (A ).

Question 4

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(1;2;3)$ và nhận $\vec{a} = (4;5; -7)$ làm vectơ chỉ phương.

Accepted Answer

$\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z - 3}{-7}$

Question 5

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB, biết $A(1;1;5)$ và $B(3;5;8)$.

Accepted Answer

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là ( overrightarrow {AB} = (2;4;3) ) nên có phương trình tham số: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t} {y = 1 + 4t} {z = 5 + 3t} end{array}} right. )và phương trình chính tắc: ( frac{{x - 1}}{2} = frac{{y - 1}}{4} = frac{{z - 5}}{3}. )

Question 6

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác $ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }$ với $A(1;2;1),B(7;5;3)$, $C(4;2;0),{A^\prime }(4;9;9)$. Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng $AB,{A^\prime }{C^\prime }$ và $B{B^\prime }$.

Accepted Answer

Ta có ( overrightarrow {AB} = (6;3;2) ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB . ( overrightarrow {A{A^ prime }} = (3;7;8) ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ({ rm{B}}{{ rm{B}}^ prime } ) vì ({ rm{A}}{{ rm{A}}^ prime }//{ rm{B}}{{ rm{B}}^ prime } ). ( overrightarrow {AC} = (3;0; - 1) ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ({{ rm{A}}^ prime }{{ rm{C}}^ prime } ) vi ({ rm{AC}}//{{ rm{A}}^ prime }{{ rm{C}}^ prime } ).

Question 7

Cho đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 8t}\{y = - 4t}\{z = 3 + 12t}\end{array}} \right.$

a) Tìm hai vectơ chỉ phương của $d$.

b) Tìm ba điểm trên $d$.

Accepted Answer

a) Đường thẳng d nhận ( vec a = (8; - 4;12) ) làm một vectơ chỉ phương. Có ( vec b = frac{1}{4} vec a = (2; - 1;3) ) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d . b) Cho (t = 0 ), ta có ({ rm{A}}( - 1;0;3) ). Cho t ( = 1 ), ta có ({ rm{B}}(7; - 4;15) ). Cho t ( = 2 ), ta có ({ rm{C}}(15; - 8;27) ). Vậy 3 điểm ({ rm{A}},{ rm{B}},{ rm{C}} ) là ba điểm thuộc d .

Question 8

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Hãy chỉ ra các vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC'$ mà điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó đều là các đỉnh của hình hộp.

Accepted Answer

Các vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC'$ là: $\overrightarrow{BC'}$, $\overrightarrow{C'B}$, $\overrightarrow{AD'}$, $\overrightarrow{D'A}$.

Question 9

Cho hình lăng trụ $ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }$ (H.5.25). Trong các vectơ có điểm đẩu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB ?

![Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' (H.5.25). Trong các vectơ có điểm đẩu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid3-1754752068.png)

Accepted Answer

Những vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là ( overrightarrow {AB} , overrightarrow {BA} , overrightarrow {{A^ prime }{B^ prime }} , overrightarrow {{B^ prime }{A^ prime }} )

Question 10

Cho hình hộp $ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ (Hinh 5.17), đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A$ và $C$. Tìm bốn vectơ có điểm đẩu và điểm cuối trong các đỉnh của hình hộp đă cho và là vectơ chỉ phương của $d$.

![Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hinh 5.17), đường thẳng d đi qua hai điểm A và C. Tìm bốn vectơ có điểm đẩu và điểm cuối trong các đỉnh (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid4-1754752576.png)

Accepted Answer

Hai vectơ ( overrightarrow {AC} ) và ( overrightarrow {CA} ) có giá trùng với (d ), hai vectơ ( overrightarrow {{A^ prime }{C^ prime }} ) và ( overrightarrow {{C^ prime }{A^ prime }} ) có giá song song với (d ) ( (AC//{A^ prime }{C^ prime } ) ). Vậy ta có bốn vectơ chỉ phương của đường thẳng (d ) là ( overrightarrow {AC} , overrightarrow {CA} , overrightarrow {{A^ prime }{C^ prime }} , overrightarrow {{C^ prime }{A^ prime }} ).

Question 11

Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(5;0; - 7)$ và nhận $\vec v = (9;0; - 2)$ làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng $d$ có đi qua có điểm $M( - 4;0; - 5)$ không?

Accepted Answer

Đường thẳng d đi qua điểm ({ rm{A}}(5;0; - 7) ) và nhận ( vec v = (9;0; - 2) ) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 9t} {y = 0} {z = - 7 - 2t} end{array}} right. ). Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta có: −4=5+9t0=0−5=−7−2t⇔t=−1t=−1 (luôn đúng). Vậy điểm ({ rm{M}} in { rm{d}} ).

Question 12

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ đi qua điểm ${M_0}(5;0; - 6)$ và nhận $\vec a = (3;2; - 4)$ làm vectơ chỉ phương.

Accepted Answer

Đường thẳng d đi qua điểm ({{ rm{M}}_0}(5;0; - 6) ) và nhận ( vec a = (3;2; - 4) ) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: ( frac{{x - 5}}{3} = frac{y}{2} = frac{{z + 6}}{{ - 4}} )

Question 13

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm ${\rm{A}}(2;2;1)$ và ${\rm{B}}(4;5;3)$.

a) Tìm một vectơ chỉ phương của d .

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của d .

Accepted Answer

a) Vectơ chỉ phương là $\vec{u} = \vec{AB} = (2;3;2)$.
b) Phương trình tham số: $\begin{cases} x = 2 + 2t \ y = 2 + 3t \ z = 1 + 2t \end{cases}$. Phương trình chính tắc: $\frac{x-2}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{2}$.

Question 14

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng MN, biết $M(2;0; - 1)$ và $N(4;3;1)$.

Accepted Answer

Đường thẳng MN đi qua M và có ( overrightarrow {MN} = (2;3;2) ) là một vectơ chỉ phương có phương trình tham số là ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2t} {y = 3t} {z = - 1 + 2t} end{array}} right. ) và phương trình chính tắc là ( frac{{x - 2}}{2} = frac{y}{3} = frac{{z + 1}}{2} )

Question 15

Viết phương trình tham số của đường thẳng $a$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng $a$ đi qua điểm $M(0; - 2; - 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (1; - 5;0)$.

b) Đường thẳng $a$ đi qua hai điểm $A(0;0;2)$ và $B(3; - 2;5)$.

Accepted Answer

a) Đường thẳng a đi qua điểm ({ rm{M}}(0; - 2; - 3) ) và có vectơ chỉ phương ( vec a = (1; - 5;0) ) có phương trình tham số là ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = t} {y = - 2 - 5t} {z = - 3} end{array}} right. ) b) có ( overrightarrow {AB} = (3; - 2;3) ). Đường thẳng a đi qua hai điểm ({ rm{A}}(0;0;2) ) và nhận ( overrightarrow {AB} = (3; - 2;3) ) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = 3t} {y = - 2t} {z = 2 + 3t} end{array}} right. ).

Question 16

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(2; - 1;4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = (3;4; - 5)$.

b) Cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình tham số là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\{y = 5 - 7t}\{z = 9t}\end{array}} \right.$ ( $t$ là tham số).

Chỉ ra toạ độ một vectơ chỉ phương của $\Delta $ và một điểm thuộc đường thẳng $\Delta $.

Accepted Answer

a) Phương trình tham số của đường thẳng ( Delta ) là: x=2+3ty=−1+4tz=4−5t ( t là tham số). b) Toạ độ của một vectơ chỉ phương của ( Delta ) là ( vec u = (2; - 7;9) ). Ứng với (t = 0 ) ta có: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2 cdot 0 = - 1} {y = 5 - 7 cdot 0 = 5} {z = 9 cdot 0 = 0.} end{array}} right. ). Suy ra điểm (B( - 1;5;0) ) thuộc đường thẳng ( Delta ).

Question 17

Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $, biết $\Delta $ đi qua điểm $C(1;2; - 4)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ : $3x - y + 2z - 1 = 0.{\rm{ }}$

Accepted Answer

Ta có ( vec n = (3; - 1;2) ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Vi đường thẳng ( Delta ) vuông góc với mặt phẳng P ( nên đường thẳng ( Delta ) nhận vectơ ( vec n ) làm vectơ chỉ phương. Vậy phương trình tham số của đường thẳng ( Delta ) là: x=1+3ty=2−t (t là tham số). z=−4+2t

Question 18

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A(1$; 3 ; 6) và có vectơ chỉ phương $\vec u = (9;2;13)$.

Accepted Answer

Phương trình chính tắc của đường thẳng ( Delta ) đi qua điểm (A(1;3;6) ) và có vectơ chỉ phương ( vec u = (9;2;13) ) là: ( frac{{x - 1}}{9} = frac{{y - 3}}{2} = frac{{z - 6}}{{13}}{ rm{. }} )

Question 19

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta $, biết phương trình tham số của $\Delta $ là:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\{y = 3 - 5t}\{z = 6 + 9t}\end{array}} \right.$( $t$ là tham số).

Accepted Answer

Ta có ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t} {y = 3 - 5t} {z = 6 + 9t} end{array} Rightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{t = frac{{x + 1}}{2}} {t = frac{{y - 3}}{{ - 5}}} {t = frac{{z - 6}}{9}} end{array}} right.} right. ). Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng ( Delta ) là ( frac{{x + 1}}{2} = frac{{y - 3}}{{ - 5}} = frac{{z - 6}}{9} )

Question 20

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm $A(1;2;3)$ và $B(3;5;9)$.

a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

c) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

Accepted Answer

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là ( overrightarrow {AB} = (2;3;6) ). b) Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm ({ rm{A}}(1;2;3) ) và có vectơ chỉ phương ( overrightarrow {AB} = (2;3;6) ) là: x=1+2ty=2+3t (t là tham số). z=3+6t c) Phương trình chính tắc của đường thẳng AB đi qua điểm ({ rm{A}}(1;2;3) ) và có vectơ chỉ phương ( overrightarrow {AB} = (2;3;6) ) là: ( frac{{x - 1}}{2} = frac{{y - 2}}{3} = frac{{z - 3}}{6} )

46 bài tập Tìm vectơ chỉ phương, điểm thuộc đường thẳng, phương trình đường thẳng (có lời giải)

Xem trước câu hỏi