Question

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 3; -2), B(3; 2; -4), C(2; 1; 0), D(3; 5; -1).

a) Chứng minh rằng AB vuông góc với CD.

b) Chứng minh rằng BCD là tam giác đều.

c) Tính số đo của góc AMD với M là trung điểm của BC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Accepted Answer

a) Từ giả thiết, ta tìm được ( overrightarrow {AB} = (2; - 1; - 2), overrightarrow {CD} = (1;4; - 1) ). Suy ra: ( overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {CD} = 2 cdot 1 + ( - 1) cdot 4 + ( - 2) cdot ( - 1) = 0 ). Đẳng thức này chứng tỏ (AB bot CD ). b) Tính ba cạnh của tam giác BCD: Vì ( overrightarrow {CD} = (1;4; - 1) ) nên (CD = | overrightarrow {CD} | = sqrt {{1^2} + {4^2} + {{( - 1)}^2}} = sqrt {18} = 3 sqrt 2 ). Để tính hai cạnh BC và BD, ta áp dụng công thức tính khoảng cách giửa hai điểm và có: (BC = | overrightarrow {BC} | = sqrt {{{(2 - 3)}^2} + {{(1 - 2)}^2} + {{(0 - ( - 4))}^2}} = sqrt {18} = 3 sqrt 2 ; ) (BD = | overrightarrow {BD} | = sqrt {{{(3 - 3)}^2} + {{(5 - 2)}^2} + {{( - 1 - ( - 4))}^2}} = sqrt {18} = 3 sqrt 2 . ) Từ ba đẳng thức trên suy ra BCD là tam giác đều. c) Ta có ( widehat {AMD} = ( overrightarrow {MA} , overrightarrow {MD} ) ). Vì (M ) là trung điểm của $B C$ nên (M left( { frac{5}{2}; frac{3}{2}; - 2} right) ). Suy ra: ( overrightarrow {MA} = left( { - frac{3}{2}; frac{3}{2};0} right){ rm{ v `a }} overrightarrow {MD} = left( { frac{1}{2}; frac{7}{2};1} right){ rm{. }} ) Từ đó ta tính được: ( cos ( overrightarrow {MA} , overrightarrow {MD} ) = frac{{ - frac{3}{2} cdot frac{1}{2} + frac{3}{2} cdot frac{7}{2} + 0.1}}{{ sqrt {{{ left( { - frac{3}{2}} right)}^2} + {{ left( { frac{3}{2}} right)}^2} + {0^2}} cdot sqrt {{{ left( { frac{1}{2}} right)}^2} + {{ left( { frac{7}{2}} right)}^2} + {1^2}} }} = frac{1}{{ sqrt 3 }}. ) Vậy (MA→,MD→)=54,74°, hay AMD^≈55°

5 bài tập Tọa độ vectơ (khi biết điểm đầu và điểm cuối) – Trung điểm – Trọng tâm (có lời giải)

Xem trước câu hỏi