6 bài tập Một số bài toán tối ưu đơn giản (có lời giải)

Question 1

Một bác nông dân có ba tấm lưới B40, mỗi tấm dài $a$(m) và muốn rào một mảnh vườn dọc theo bờ sông có dạng hình thang cân $ABCD$ như hình vẽ dưới đây biết rằng bờ sông là đường thẳng $CD$ không phải rào lưới. Hỏi bác nông dân đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/capture-1754713632.PNG)

Accepted Answer

Gọi (M, ,N ) lần lượt là hình chiếu vuông góc của (A, ,B ) lên (CD ) Đặt (x = MD ), ( left( {0 < x < a} right) ) suy ra (AM = sqrt {A{D^2} - M{D^2}} = sqrt {{a^2} - {x^2}} ) Diện tích của mảnh vườn hình thang cân là (S left( x right) = frac{{ left( {AB + CD} right)AM}}{2} = left( {a + x} right) sqrt {{a^2} - {x^2}} ). Xét hàm số (f left( x right) = left( {a + x} right) sqrt {{a^2} - {x^2}} )trên khoảng ( left( {0 < x < a} right) ) Đạo hàm (f' left( x right) = frac{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}}}{{ sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = - a notin left( {0 < x < a} right) x = frac{a}{2} in left( {0 < x < a} right) end{array} right. ) Bảng biến thiên hàm số (f left( x right) ) trên khoảng ( left( {0 ,; ,a} right) ) Từ bảng biến thiên suy ra ( mathop {{ rm{max}}} limits_{ left( {0; ,a} right)} f left( x right) = f left( { frac{a}{2}} right) = frac{{3 sqrt 3 {a^2}}}{4} ) Vậy bác nông dân có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là ( frac{{3 sqrt 3 {a^2}}}{4} ) ({{ rm{m}}^2} ).

Question 2

Có hai xã $A,\,B$ cùng ở một bên bờ sông. Khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là $AA' = 550$m, $BB' = 600$m. Người ta đo được $A'B' = 2200$m như hình vẽ dưới đây. Các kỹ sư muốn xây dựng một trạm cung cấp nước sạch nằm cạnh bên bờ sông cho người dân của hai xã sử dụng. Để tiết kiệm chi phí, các kỹ sư phải chọn một vị trí $M$ của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn $A'B'$ sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí $M$ là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.

![Có hai xã A, B cùng ở một bên bờ sông. Khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA' = 550m, BB' = 600m (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid2-1754713840.png)

Accepted Answer

Đặt (A'M = x , , left( {0 < x < 2200} right) ), (B'M = 2200 - x ) Ta có (AM = sqrt {{x^2} + {{500}^2}} ,, , ,BM = sqrt {{{ left( {2200 - x} right)}^2} + {{600}^2}} ) Khi đó tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí (M ) là: (AM + BM = sqrt {{x^2} + {{500}^2}} , + sqrt {{{ left( {2200 - x} right)}^2} + {{600}^2}} ) Xét hàm số (f left( x right) = sqrt {{x^2} + {{500}^2}} , + sqrt {{{ left( {2200 - x} right)}^2} + {{600}^2}} ) trên khoảng ( left( {0; ,2200} right) ) Đạo hàm (f' left( x right) = frac{x}{{ sqrt {{x^2} + {{500}^2}} }} - frac{{2200 - x}}{{ sqrt {{{ left( {2200 - x} right)}^2} + {{600}^2}} }} = 0 Leftrightarrow x = 1000 ) Bảng biến thiên: Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông là khoảng (2460 )m, tại vị trí (M ) cách điểm (A' ) là (1000 )m.

Question 3

Ông A dự định sử dụng hết $5,5{m^2}$kính để làm một bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Accepted Answer

Gọi (x left( m right) ) là chiều rộng. ((x > 0) ). Chiều dài là (2x left( m right) ). Chiều cao là (h left( m right) ). ( left( {h > 0} right) ) Theo đề bài, ta có: (2{x^2} + 4xh + 2xh = 5,5 ) ( Leftrightarrow 2{x^2} + 6xh = 5,5 ) ( Leftrightarrow h = frac{{5,5 - 2{x^2}}}{{6x}} ) Vì (h > 0 )và (x > 0 )nên (5,5 - 2{x^2} > 0 Leftrightarrow 0 < x < frac{{ sqrt {11} }}{2} ). Suy ra thể tích của bể cá là: (V = 2{x^2}h = frac{{5,5}}{3}x - frac{2}{3}{x^3} ) với (0 < x < frac{{ sqrt {11} }}{2} ). (V' = frac{{11}}{6} - 2{x^2} ) ( = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{{ sqrt {33} }}{6}(N) x = - frac{{ sqrt {33} }}{6}(L) end{array} right. ) Thể tích lớn nhất của bể cá là: ({V_{max}} = V left( { frac{{ sqrt {33} }}{6}} right) approx 1,17 left( {{m^3}} right) ).

Question 4

Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh $a$ cho trước, cắt thành hai hình tròn sao cho tổng diện tích của hai hình tròn là lớn nhất. Gọi $k\, (k \le 1)$ là tỉ số bán kính của hai hình tròn đó. Tính giá trị của $\sqrt{k}$.

Accepted Answer

$\sqrt{2}-1$

Question 5

Một sợi dây kim loại dài $60{\rm{cm}}$ được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Hỏi khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Accepted Answer

26,40

Question 6

Bác thợ hàn dùng một thanh kim loại dài $4\,$m để uốn thành khung cửa sổ có dạng như hình vẽ. Gọi $r$ là bán kính của nửa đường tròn. Tìm $r$ để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất.

![Bác thợ hàn dùng một thanh kim loại dài m để uốn thành khung cửa sổ có dạng như hình vẽ. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid5-1754714079.png)

Accepted Answer

Ta có (2 left( {h + r} right) + pi r = 4 ) ( Rightarrow h = frac{{4 - 2r - pi r}}{2} ). Diện tích của khung cửa là (S = frac{1}{2} pi {r^2} + 2rh ) ( = frac{1}{2} pi {r^2} + 2r left( { frac{{4 - 2r - pi r}}{2}} right) ) ( = - frac{{ pi + 4}}{2}.{r^2} + 4r ). Ta có (h = frac{{4 - 2r - pi r}}{2} > 0 Leftrightarrow 0 < r < frac{4}{{ pi + 2}} ). Xét hàm số (S left( r right) = - frac{{ pi + 4}}{2}.{r^2} + 4r ) trên ( left( {0; frac{4}{{ pi + 2}}} right) ) có (S' left( r right) = - left( { pi + 4} right)r + 4 = 0 ) ( Leftrightarrow r = frac{4}{{ pi + 4}} ) Bảng biến thiên Vậy (S left( r right) ) đạt giá trị lớn nhất ( Leftrightarrow r = frac{4}{{ pi + 4}} ).

6 bài tập Một số bài toán tối ưu đơn giản (có lời giải)

Xem trước câu hỏi