84 bài tập Xác định tâm, bán kính của mặt cầu và lập phương trình mặt cầu (có lời giải)

Question 1

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.

Accepted Answer

(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 25

Question 2

Viết phương trình mặt cầu $(S)$ : Có đường kính AB với $A(1;3;7)$ và $B(3;5;1)$;

Accepted Answer

Mặt cầu ((S) ) có đường kính AB nên có tâm (J(2;4;4) ) là trung điểm của $A B$ và bán kính (R = JA = sqrt {11} ). Vậy ((S) ) có phương trình: ({(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 4)^2} = 11 ).

Question 3

Viết phương trình mặt cầu $(S)$ : Có tâm $A(1;0; - 2)$ và đi qua điểm $B(2;4;1)$.

Accepted Answer

Mặt cầu ((S) ) có tâm (A(1;0; - 2) ) và đi qua điềm (B(2;4;1) ) nên có bán kính (R = AB = sqrt {26} ). Vậy ((S) ) có phương trình: ({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z + 2)^2} = 26 ).

Question 4

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: $(S): (x - 3)^2 + (y - 7)^2 + (z + 1)^2 = 81$.

Accepted Answer

Tâm I(3; 7; -1) và bán kính R = 9.

Question 5

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: $\left( {{S^\prime }} \right):{(x + 2)^2} + {y^2} + {(z - 5)^2} = 13$;

Accepted Answer

Tâm I(-2; 0; 5), bán kính R = $\sqrt{13}$

Question 6

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: (S''): x^2 + y^2 + z^2 = 4

Accepted Answer

Tâm O(0; 0; 0), bán kính R = 2

Question 7

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3; -2; -4) và bán kính R = 10.

Accepted Answer

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z + 4)^2 = 100

Question 8

Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính EF với E(3; -1; 8) và F(7; -3; 0).

Accepted Answer

(x - 5)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2 = 21

Question 9

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) Tâm là gốc toạ độ, bán kính R = 1.

b) Đường kính AB, với A(1; -1; 2), B(2; -3; -1).

Accepted Answer

a) x^2 + y^2 + z^2 = 1
b) (x - 3/2)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1/2)^2 = 7/2

Question 10

Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm M(x; y; z) có toạ độ thoả mãn phương trình: x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 2 = 0. Chứng minh rằng (S) là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

Accepted Answer

Mặt cầu có tâm I(1; -2; 3) và bán kính R = 4.

Question 11

Trong không gian Oxyz, cho $(S)$ là tập hợp các điểm $M(x;y;z)$ có toạ độ thoả mãn phương trình:

(S): ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0$.

Chứng minh rằng $(S)$ là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

Accepted Answer

Ta viết phương trình mặt cầu (S) dưới dạng: ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0 ) ( Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} + 6y + 9 + {z^2} = 25 ) ( Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} + {z^2} = 25. ) Vậy ((S) ) là mặt cầu có tâm (I(2; - 3;0) ) và (R = 5 ).

Question 12

Viết phương trình mặt cầu $(S)$: Có tâm $M( - 2;1;3)$ và đi qua điểm $N(2; - 3; - 4)$.

Accepted Answer

Bán kính của mặt cầu là (MN = sqrt {{{(2 + 2)}^2} + {{( - 3 - 1)}^2} + {{( - 4 - 3)}^2}} = sqrt {81} = 9 ). Mặt cầu ((S) ) có (M( - 2;1;3) ) và bán kính (R = 9 ) có phương trình là: ({(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 3)^2} = 81 )

Question 13

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 3y - 8z + 100 = 0$.

b) ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 5y - 2z - \frac{3}{4} = 0$.

c) ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2xy + 6y - 9z + 10 = 0$.

Accepted Answer

a) Phương trình đã cho tương ứng với (a = 1,b = - frac{3}{2},c = 4,d = 100 ). Trong trường hợp này, ({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + frac{9}{4} + 16 - 100 < 0 ). Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu. b) Phương trình đã cho tương ứng với (a = 2,b = - frac{5}{2},c = 1,d = - frac{3}{4} ). Trong trường hợp này, ({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 + frac{{25}}{4} + 1 + frac{3}{4} = 12 > 0 ). Do đó phương trình đã cho là phương trình của mặt cầu có tâm (I left( {2; - frac{5}{2};1} right) ) và bán kính (R = sqrt {12} = 2 sqrt 3 ). c) Phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu vì xuất hiện ( - 2xy ) trong phương trình.

Question 14

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 5y + 6z + \frac{{25}}{4} = 0.$ Xác định tâm, tính bán kính của $(S)$.

Accepted Answer

Từ phương trình trên ta có (a = - 2;b = frac{5}{2};{ rm{c}} = - 3 ) và (d = frac{{25}}{4} ) Phương trình mặt cầu (S) có tâm (I left( { - 2; frac{5}{2}; - 3} right) ), (R = sqrt {{{( - 2)}^2} + {{ left( { frac{5}{2}} right)}^2} + {{( - 3)}^2} - frac{{25}}{4}} = sqrt {13} ).

Question 15

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 9$. Xác định tâm và bán kính của $(S)$.

Accepted Answer

Mặt cầu ((S) ) có tâm (I left( { frac{1}{2}; - 1;0} right) ) và (R = 3 ).

Question 16

Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu $(S)$ có tâm $I( - 2;0;5)$ và bán kính $R = 2$.

Accepted Answer

Mặt cầu ((S) ) có tâm (I( - 2;0;5) ) và bán kính (R = 2 ) có phương trình là: ({(x + 2)^2} + {y^2} + {(z - 5)^2} = 4 ).

Question 17

Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;3; - 1)$ và có bán kính bằng khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(P):3x + 2y - z = 0$.

Accepted Answer

Ta có (R = d(I,(P)) = frac{{|3.0 + 2.3 + 1|}}{{ sqrt {{3^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = frac{7}{{ sqrt {14} }} ) Mặt cầu (({ rm{S}}) ) có tâm I( (0;3; - 1) ) và (R = frac{7}{{ sqrt {14} }} ) có phương trình là: ({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 1)^2} = frac{{49}}{{14}} )

Question 18

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 8z - 18 = 0$. Xác định tâm, tính bán kính của $(S)$.

Accepted Answer

Mặt cầu (S): ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 8z - 18 = 0 ) có tâm I( ( left. { - 1;1; - 4} right) ). Bán kính (R = sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {{( - 4)}^2} - ( - 18)} = 6 )

Question 19

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 5z + 30 = 0$;

b) ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2z = 0$

c) ${x^3} + {y^3} + {z^3} - 2x + 6y - 9z - 10 = 0$;

d) ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 5 = 0$.

Accepted Answer

a) Phương trình có ({ rm{a}} = 1;{ rm{b}} = 0;c = frac{5}{2};{ rm{d}} = 30 ). Có ({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 0 + { left( { frac{5}{2}} right)^2} - 30 = - frac{{91}}{4} < 0 ). Nên phương trình này không phải là phương trình mặt cầu. b) Ta có (a = 2;b = - 1;c = 1;d = 0 ). Có ({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {2^2} + {( - 1)^2} + {1^2} - 0 = 6 > 0 ). Do đó đây là phương trình mặt cầu. Mặt cầu có tâm ({ rm{I}}(2; - 1;1) ) và (R = sqrt 6 ). c) Đây không phải là phương trình mặt cầu. Vi phương trình mặt cầu phải có dạng: ({x^2} + {y^2} + {z^2} + ldots ) d) Đây không phải là mặt cầu vì ({x^2} + {y^2} + {z^2} = - 5 < 0 ) (Vô lý).

Question 20

Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(7; -3; 0), bán kính R = 8;

b) Có tâm M(3; 1; -4) và đi qua điểm N(1; 0; 1);

c) Có đường kính AB với A(4; 6; 8) và B(2; 4; 4).

Accepted Answer

a) (x - 7)^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 64
b) (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 30
c) (x - 3)^2 + (y - 5)^2 + (z - 6)^2 = 6

84 bài tập Xác định tâm, bán kính của mặt cầu và lập phương trình mặt cầu (có lời giải)

Xem trước câu hỏi