9 bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có lời giải)

Question 1

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

![Hình hộp ABCD.A'B'C'D'](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid0-1753513310.png)

a) Trong mặt phẳng (ABCD), tìm vectơ tổng $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} $.

b) So sánh hai vectơ $\overrightarrow {BD} $ và $\overrightarrow {B'D'} $.

c) Giải thích tại sao $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {AD} $ là sai và hãy chứng minh $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {AC} $.

Accepted Answer

a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $.
b) $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {B'D'} $ vì tứ giác BDD'B' là hình bình hành.
c) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} $.

Question 2

Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′. Tìm các vectơ tổng $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {A'C'} ;\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AA'} $.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/12-1753513435.png)

Accepted Answer

Ta có (ABC cdot {A^ prime }{B^ prime }{C^ prime } ) là hình lăng trụ nên (A{A^ prime }{C^ prime }C ) là hình bình hành, suy ra ( overrightarrow {{A^ prime }{C^ prime }} = overrightarrow {AC} ). Do đó ( overrightarrow {BA} + overrightarrow {{A^ prime }{C^ prime }} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {AC} = overrightarrow {BC} ). Tương tự, ta cūng có (A{A^ prime }{B^ prime }B ) là hình bình hành, suy ra ( overrightarrow {A{A^ prime }} = overrightarrow {B{B^ prime }} ). Do đó ( overrightarrow {BC} + overrightarrow {A{A^ prime }} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {B{B^ prime }} = overrightarrow {B{C^ prime }} )

Question 3

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′.

![Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Tìm các vectơ tổng AB + AD; AC + AA' (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid1-1753513517.png)

a) Tìm các vectơ tổng$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} $.

b) Dùng kết quả của câu a và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ để chứng minh $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} $.

Accepted Answer

a) Do ABCD là hình bình hành nên ( overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} ). Do đó ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {AC} ). Tương tự. AA' ({C^ prime }{ rm{C}} ) là hình bình hành nên ( overrightarrow {A{A^ prime }} = overrightarrow {C{C^ prime }} ). Do đó ( overrightarrow {AC} + overrightarrow {A{A^ prime }} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {C{C^ prime }} = overrightarrow {A{C^ prime }} ). b) Có ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {A{A^ prime }} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {A{A^ prime }} = overrightarrow {A{C^ prime }} )

Question 4

Cho hình hộp ABCD.EFGH. Thực hiện các phép toán sau đây:

a) $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CG} $

b) $\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DH} $

c) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {EH} $

d) $\overrightarrow {HE} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AB} $

Accepted Answer

a) Theo quy tắc hình hộp, ta có ( overrightarrow {CB} + overrightarrow {CD} + overrightarrow {CG} = overrightarrow {CE} ). b) Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên theo quy tắc hình hộp ta có: ( overrightarrow {DA} + overrightarrow {DC} + overrightarrow {DH} = overrightarrow {DF} ) c) Ta có ( overrightarrow {CG} = overrightarrow {AE} , overrightarrow {EH} = overrightarrow {AD} ). Suy ra: ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {CG} + overrightarrow {EH} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AE} + overrightarrow {AD} ). Theo quy tắc hình hộp, ta có ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {AE} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AG} ). Vậy ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {CG} + overrightarrow {EH} = overrightarrow {AG} ). d) Vì DCGH là hình bình hành nên ( overrightarrow {GC} = overrightarrow {HD} ). Tương tự ({ rm{ABGH}} ) là hình bình hành nên ( overrightarrow {AB} = overrightarrow {HG} ). Do đó ( overrightarrow {HE} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {AB} = overrightarrow {HE} + overrightarrow {HD} + overrightarrow {HG} = overrightarrow {HB} ) (theo quy tắc hình hộp).

Question 5

Cho tứ diện ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy thực hiện các phép toán sau đây:

a) $\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {ND} $

b) $\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {NC} $

Accepted Answer

a) ( overrightarrow {BM} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {ND} = overrightarrow {BM} + overrightarrow {AM} + overrightarrow {MC} + overrightarrow {ND} = overrightarrow {MN} + overrightarrow {NC} + overrightarrow {ND} = overrightarrow {MN} ) (Do (M ) và (N ) lần lượt là trung điếm của AB và CD nên ( overrightarrow {NC} + overrightarrow {ND} = vec 0; overrightarrow {BM} + overrightarrow {AM} = vec 0 ) ). b) ( overrightarrow {AD} - overrightarrow {AM} + overrightarrow {NC} = overrightarrow {MD} + overrightarrow {NC} = overrightarrow {MN} + overrightarrow {ND} + overrightarrow {NC} = overrightarrow {MN} ( ) vì ( overrightarrow {ND} + overrightarrow {NC} = vec 0) ).

Question 6

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ có cạnh bằng đơn vị. Tìm độ dài các vectơ sau đây:

a) $\overrightarrow a = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} $

b) $\overrightarrow b = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} $

Accepted Answer

a) Theo quy tắc hình hộp, ta có ( overrightarrow {BA} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {B{B^ prime }} = overrightarrow {B{D^ prime }} ). Mà ( left| { overrightarrow {B{D^ prime }} } right| = sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = sqrt 3 ). Do đó (| vec a| = sqrt 3 ). b) ( vec b = overrightarrow {BC} - overrightarrow {BA} + overrightarrow {{C^ prime }A} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {{C^ prime }A} = overrightarrow {AC} - overrightarrow {A{C^ prime }} = overrightarrow {{C^ prime }C} ) Mà ( left| { overrightarrow {{C^ prime }C} } right| = 1 ). Do đó (| vec b| = 1 ).

Question 7

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho $SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB.$ Chứng minh rằng $\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} $.

Accepted Answer

vì (SE = frac{1}{3}SA,SF = frac{1}{3}SB Rightarrow frac{{SE}}{{SA}} = frac{{SF}}{{SB}} left( { = frac{1}{3}} right) ) Tam giác SAB có: ( frac{{SE}}{{SA}} = frac{{SF}}{{SB}} ) nên ({ rm{FE}}//{ rm{AB}} ) và (EF = frac{1}{3}AB ). Vì hai vectơ ( overrightarrow {EF} ) và ( overrightarrow {AB} ) cùng hướng nên ( overrightarrow {EF} = frac{1}{3} overrightarrow {AB} ) (1) Vî ({ rm{ABCD}} ) là hình bình hành nên (AB = CD ) và ({ rm{AB}}//{ rm{CD}} ). Do đó, ( overrightarrow {AB} = overrightarrow {DC} ) (2) Từ (1) và (2) ta có: ( overrightarrow {EF} = frac{1}{3} overrightarrow {DC} )

Question 8

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {a}, \overrightarrow {AB} = \overrightarrow b, \overrightarrow {AC} = \overrightarrow c $. Chứng minh rằng $\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow c - \overrightarrow a - \overrightarrow b $ và $\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c $.

Accepted Answer

Do ({ rm{AB}}{{ rm{B}}^ prime }{{ rm{A}}^ prime } ) là hình bình hành nên ( overrightarrow {{B^ prime }B} = - overrightarrow {A{A^ prime }} ). Có ( overrightarrow {{B^ prime }C} = overrightarrow {{B^ prime }B} + overrightarrow {BC} = - overrightarrow {A{A^ prime }} + overrightarrow {AC} - overrightarrow {AB} = vec c - vec a - vec b ). Do ({ rm{AC}}{{ rm{C}}^ prime }{{ rm{A}}^ prime } ) là hình bình hành nên ( overrightarrow {C{C^ prime }} = overrightarrow {A{A^ prime }} ). ( overrightarrow {B{C^ prime }} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {C{C^ prime }} = overrightarrow {AC} - overrightarrow {AB} + overrightarrow {A{A^ prime }} = vec a - vec b + vec c )

9 bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có lời giải)

Xem trước câu hỏi