Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 4

Question 1

Cho parabol $\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1$. Điểm nào sau đây là đỉnh của $\left( P \right)$?

Accepted Answer

$I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)$.

Question 2

Cho hàm số $y = h\left( x \right) = ax{}^2 + bx + c$có bảng xét dấu:

![Cho hàm số $y = h\left( x \right) = ax{}^2 + bx + c$có bảng xét dấu: Tìm $x$ để $h\left( x \right) > 0$. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid9-1766306557.png)

Tìm $x$ để $h\left( x \right) > 0$.

Accepted Answer

$x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.

Question 3

Số nghiệm nguyên dương của phương trình $\sqrt {x - 1} = x - 3$ là

Accepted Answer

$1$.

Question 4

Cho 2 đường thẳng $\Delta :x - y + 2 = 0$ và $\Delta ': - x + 1 = 0$. Góc giữa 2 đường thẳng $\Delta $ và $\Delta '$ bằng

Accepted Answer

$45^0$

Question 5

Cho $2$ điểm $A\left( {1;\,1} \right)$, $B\left( {7;\,5} \right)$. Phương trình đường tròn đường kính $AB$ là

Accepted Answer

${x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 12 = 0$.

Question 6

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?

Accepted Answer

$\frac{{{x^2}}}{8} - \frac{{{y^2}}}{6} = 1$.

Question 7

Từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ có $3$ con đường, từ thành phố $A$ đến thành phố $C$ có $2$ con đường, từ thành phố $B$ đến thành phố $D$ có $2$ con đường, từ thành phố $C$ đến thành phố $D$ có $3$ con đường, không có con đường nào nối từ thành phố $C$ đến thành phố $B$. Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố $A$ đến thành phố $D$.

Accepted Answer

$12$.

Question 8

Một lớp có $48$ học sinh. Số cách chọn $2$ học sinh trực nhật là

Accepted Answer

$1128$.

Question 9

Trong khai triển ${\left( {a + 2} \right)^{n + 2}}\,\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)$ có $4$ số hạng. Giá trị của $n$ bằng

Accepted Answer

$1.$.

Question 10

Gieo một con xúc xắc cân đối hai lần. Xác định số phần tử của biến cố “tích hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho $5$”.

Accepted Answer

$11$.

Question 11

Gieo một đồng tiền và một con xúc xắc (cân đối và đồng chất). Số phần tử của không gian mẫu trong phép thử trên là

Accepted Answer

$12$.

Question 12

Một hộp có $4$ quả cầu vàng, $5$ quả cầu trắng và $6$ quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên $3$ quả cầu. Tính xác suất để trong $3$ quả cầu lấy được có không quá hai màu.

Accepted Answer

$\frac{{67}}{{91}}$.

Question 13

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( {2\,;\,0} \right),\,\,B\left( {0\,;\,3} \right)$ và $C\left( { - 3\,;\,1} \right)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

Ta có ( overrightarrow {AC} = left( { - 5;1} right) ) nên đường thẳng (d ) có một vectơ pháp tuyến là ( overrightarrow {n ,} = left( {1;5} right) ). Phương trình của đường thẳng (d ) là (1. left( {x - 0} right) + 5. left( {y - 3} right) = 0 Leftrightarrow x + 5y - 15 = 0 ). Vậy phương trình tổng quát đường thẳng (d ) là (x + 5y - 15 = 0 ) Đường thẳng ( Delta ) là trung trực của đoạn thẳng (BC ) nhận [ overrightarrow {CB} = left( {3;2} right) ] làm véc tơ pháp tuyến nên véc tơ chỉ phương của ( Delta ) là ( overrightarrow u = left( {2; - 3} right) ). Mà ( Delta ) đi qua trung điểm (I left( { - frac{3}{2};2} right) ) của (BC ) nên ( Delta ) có phương trình là ( left { begin{array}{l}x = - frac{3}{2} + 2t y = 2 - 3t end{array} right. ) với (t in mathbb{R} ). Đường thẳng (AB ) có véc tơ chỉ phương là [ overrightarrow {AB} = left( { - 2 ,; ,3} right) ] nên (AB ) có véc tơ pháp tuyến là ( overrightarrow n = left( {3;2} right) ) và đi qua điểm [A left( {2 ,; ,0} right) ] nên (AB ) có phương trình là (3 left( {x - 2} right) + 2 left( {y - 0} right) = 0 Leftrightarrow 3x + 2y - 6 = 0 ) Đường cao ứng với đỉnh (C ) của tam giác (ABC ) đi qua điểm [C left( {--3 ,; ,1} right) ] và nhận ( overrightarrow {BA} = left( {2; - 3} right) ) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là (2 left( {x + 3} right) - 3 left( {y - 1} right) = 0 Leftrightarrow 2x - 3y + 9 = 0 ). Từ đó dễ thấy đường thẳng này không đi qua điểm (M left( {2;3} right) ). a) Đúng: Phương trình của đường thẳng (d ) đi qua [B ] và song song với [AC ] là (x + 5y - 15 = 0 ). b) Đúng: Phương trình của đường trung trực đoạn thẳng (BC ) là ( left { begin{array}{l}x = - frac{3}{2} + 2t y = 2 - 3t end{array} right. ) với (t in mathbb{R} ). c) Sai: Đường thẳng (AB ) có phương trình là (3x + 2y + 6 = 0 ). d) Sai: Đường cao ứng với đỉnh (C ) của tam giác (ABC ) đi qua điểm (M left( {2;3} right) ).

Question 14

Cho tập hợp $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Xét các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng: Theo qui tắc nhân có [5.5 = 25 ] số có hai chữ số. b) Sai: Gọi số có 3 chữ số khác nhau là ( overline {abc} ). Chọn (a ) có 5 cách. Chọn (b ) có 4 cách. Chọn (c ) có 3 cách. Suy ra có [5.4.3 = 60 ] số có ba chữ số khác nhau. c) Đúng: Gọi số chẵn có ba chữ số khác nhau là ( overline {abc} ). Chọn (c ) có 2 cách. Chọn (a ) có 4 cách. Chọn (b ) có 3 cách. Suy ra có [2.4.3 = 24 ] số chẵn có ba chữ số khác nhau. d) Sai: Gọi số lẻ có ba chữ số khác nhau là ( overline {abc} ). Chọn (c ) có 3 cách. Chọn (a ) có 4 cách. Chọn (b ) có 3 cách. Suy ra có [3.4.3 = 36 ] số lẻ có ba chữ số khác nhau.

Question 15

Bộ bài tú lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Hãy xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Xác suất của biến cố A: “Rút ra được tứ quý Át” là 1/52.

b) Xác suất của biến cố B: “Rút ra được hai quân Át, hai quân K” là 36/270725.

c) Xác suất của biến cố C: “Rút ra được ít nhất một quân Át” là 38916/54145.

d) Xác suất của biến cố D: “Rút ra được 4 quân trong đó có đúng 2 quân ở cùng một tứ quý và hai quân còn lại ở hai tứ quý khác nhau” là 82368/270725.

Accepted Answer

a) Sai: Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là: (C_{52}^4 = 270725 ). Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: (n left( Omega right) = 270725 ). Vì bộ bài chỉ có 1 tứ quý Át nên số phần tử của biến cố [A ] là: (n left( A right) = 1 ). Vậy xác suất của biến cố (A ) là [P left( A right) = frac{{n left( A right)}}{{n left( Omega right)}} = frac{1}{{270725}} ]. b) Đúng: Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là: (C_{52}^4 = 270725 ). Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: (n left( Omega right) = 270725 ). Có (C_4^2 ) cách rút được hai quân Át, Có (C_4^2 ) cách rút được hai quân (K ) nên số phần tử của biến cố [B ] là: (n left( B right) = C_4^2.C_4^2 = 36 ). Vậy xác suất của biến cố (B ) là [P left( B right) = frac{{n left( B right)}}{{n left( Omega right)}} = frac{{36}}{{270725}} ]. c) Sai: Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là: (C_{52}^4 = 270725 ). Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: (n left( Omega right) = 270725 ). Biến cố ( overline C ): “ Rút không được quân Át nào”. Có (C_{48}^4 ) cách rút bốn quân không cố quân Át nào nên số phần tử của biến cố [ overline C ] là: (n left( { overline C } right) = C_{48}^4 = 194580 ). Vậy xác suất của biến cố (C ) là [P left( C right) = 1 - P left( { overline C } right) = 1 - frac{{n left( { overline C } right)}}{{n left( Omega right)}} = 1 - frac{{194580}}{{270725}} = 1 - frac{{38916}}{{54145}} = frac{{15229}}{{54145}} ]. d) Đúng: Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là: (C_{52}^4 = 270725 ). Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: (n left( Omega right) = 270725 ). Có (C_{13}^1 ) cách chọn ra 1 tứ quý. Ứng với tứ quý này có (C_4^2 ) cách chọn ra 2 quân bài. Có (C_{12}^2 ) cách chọn ra 2 tứ quý từ 12 tứ quý còn lại. Mỗi tứ quý này có (C_4^1 ) cách chọn ra 1 quân bài nên số phần tử của biến cố [D ] là: (n left( D right) = C_{13}^1.C_4^2.C_{12}^2.{ left( {C_4^1} right)^2} = 82368 ). Vậy xác suất của biến cố (D ) là [P left( D right) = P left( D right) = frac{{n left( D right)}}{{n left( Omega right)}} = frac{{82368}}{{270725}} ].

Question 16

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh học tìm được quy luật rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có $n$ con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng $P(n) = 360 - 10n$ (đơn vị khối lượng). Hỏi người nuôi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích để tổng trọng lượng cá sau mỗi vụ thu được là nhiều nhất?

Accepted Answer

18

Question 17

Xác định số nghiệm của phương trình ${x^2} - 2x - 8 = 4\sqrt {\left( {4 - x} \right)\left( {x + 2} \right)} $

Accepted Answer

Điều kiện: ( left( {4 - x} right) left( {x + 2} right) ge 0 Leftrightarrow x in left[ { - 2; ,4} right] ). ({x^2} - 2x - 8 = 4 sqrt { left( {4 - x} right) left( {x + 2} right)} ) ( Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 4 sqrt { - left( {{x^2} - 2x - 8} right)} left( 1 right) ). Đặt (t = sqrt { - left( {{x^2} - 2x - 8} right)} ), (t ge 0 ) ( Leftrightarrow {t^2} = - left( {{x^2} - 2x - 8} right) ) ( Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = - {t^2} ). ( left( 1 right) Leftrightarrow - {t^2} = 4t ) ( Leftrightarrow {t^2} + 4t = 0 ) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 0 left( n right) t = - 4 left( l right) end{array} right. ) ( Leftrightarrow sqrt { - left( {{x^2} - 2x - 8} right)} = 0 ) ( Leftrightarrow - left( {{x^2} - 2x - 8} right) = 0 ) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = - 2 left( n right) x = 4 left( n right) end{array} right. ). Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Question 18

Cho parabol $\left( P \right):{y^2} = 2x$. Điểm $M\left( {a;\,b} \right)$ thuộc parabol $\left( P \right)$ và cách đường chuẩn của $\left( P \right)$ một khoảng bằng $2$ (trong đó $a,b$ là các số thực). Tính $T = {a^2} + {b^2}$.

Accepted Answer

Phương trình parabol có dạng ({y^2} = { rm{2}}px ), với (p > 0 ). Ta có ( left( P right):{y^2} = 2x ) ( Rightarrow p = 1 ). Suy ra đường chuẩn ( Delta :x = - frac{p}{2} = - frac{1}{2} Rightarrow x + frac{1}{2} = 0 ). Ta lại có ( left { begin{array}{l}M left( {a; ,b} right) in left( P right) d left( {M, Delta } right) = 2 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}{b^2} = 2a left| {a + frac{1}{2}} right| = 2 end{array} right. ) ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}{b^2} = 2a a + frac{1}{2} = 2 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}a = frac{3}{2} {b^2} = 3 end{array} right. ) Suy ra (T = {a^2} + {b^2} = frac{{21}}{4} ).

Question 19

Ông Hoàng có một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là $60m$ và $30m$. Ông chia thành hai phần bằng một đường tròn tiếp xúc trong với elip để làm mục đích sử dụng khác nhau (xem hình vẽ). Nửa bên trong đường tròn ông trồng cây lâu năm, nửa bên ngoài đường tròn ông trồng hoa màu. Tính tỉ số diện tích $T$ giữa phần trồng cây lâu năm so với diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích elip được tính theo công thức $S = \pi ab$ trong đó $a, b$ lần lượt là độ dài nửa trục lớn và nửa trục bé của elip. Biết độ rộng của đường elip không đáng kể.

![Ông Hoàng có một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 60m và 30m.](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid12-1766307311.png)

Accepted Answer

1

Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 4

Xem trước câu hỏi