Bộ 3 đề KSCL đầu năm Toán 11 có đáp án - Đề 1

Question 1

**A. TRẮC NGHIỆM**

**PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.** Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Gieo một đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp 2 lần. Không gian mẫu trong phép thử trên là

Accepted Answer

$\Omega = \left\{ {SN;NS;NN;SS} \right\}$.

Question 2

Tập nghiệm của bất phương trình ${x^2} - 5x + 4 < 0$ là

Accepted Answer

$S = \left( {1;\,4} \right)$.

Question 3

Để đi từ Thọ Xuân (Thanh Hóa) vào Nha Trang (Khánh Hòa) có thể đi bằng một trong các phương tiện: Máy bay hoặc Ôtô. Biết rằng mỗi ngày từ Thọ Xuân vào Nha Trang có:

Trong một ngày, số cách lựa chọn phương tiện để đi từ Thọ Xuân vào Nha Trang là

![Để đi từ Thọ Xuân (Thanh Hóa) vào Nha Trang (Khánh Hòa) có thể đi bằng một trong các phương tiện: Máy bay hoặc Ôtô. Biết rằng mỗi ngày từ Thọ Xuân vào Nha Trang có: Trong một ngày, số cách lự (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1754920690/1754920767-image1.png)

Trong một ngày, số cách lựa chọn phương tiện để đi từ Thọ Xuân vào Nha Trang là

Accepted Answer

$13$.

Question 4

Góc có số đo $\frac{{2\pi }}{5}$ đổi sang độ là:

Accepted Answer

$72^\circ$

Question 5

Trong các hàm số sau, hàm số nào có tập xác định **không phải** là tập $\mathbb{R}$?

Accepted Answer

$y = \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x}}$.

Question 6

Trong mặt phẳng $Oxy$, giả sử $\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {{n_2}} $ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1};\,{d_2}$. Gọi $\alpha $ là góc giữa hai đường thẳng ${d_1};\,{d_2}$. Chọn mệnh đề **đúng**.

Accepted Answer

$\cos \alpha = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$.

Question 7

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình $\,{x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0$. Tọa độ tâm $I$ của đường tròn $\left( C \right)$ là

Accepted Answer

$I\left( {3; - 1} \right)$.

Question 8

Trong mặt phẳng $Oxy$, khoảng cách từ điểm $M\left( {3;\, - 1} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :\,\,4x + \,3y + 6 = 0$ là

Accepted Answer

$d\left( {M,\Delta } \right) = 3$.

Question 9

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB{\rm{ // }}CD$. Trên cạnh $SB$ lấy điểm $M$. Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$; $P$ là giao điểm của $DM$ và $SI$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là

Accepted Answer

$AP$.

Question 10

Biết $\sin x - \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{3}$. Tính $\sin 2x$.

Accepted Answer

$\frac{7}{9}$.

Question 11

Số cách xếp 6 bạn nam và 5 bạn nữ thành một hàng dọc là

Accepted Answer

$11!$.

Question 12

Cho $\cos x = \frac{4}{5},{\rm{ }}x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)$. Giá trị của $\cos 2x$ có dạng $\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a + b$ ta được kết quả là

Accepted Answer

$32$.

Question 13

**PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.** Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý **a), b), c), d)** ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)

Trong hộp có 15 viên bi trắng, 5 viên bi đen có kích thước và khối lượng như nhau. Xét phép thử lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 3 viên bi.

**a)** Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = 1140$.

**b)** Xác suất để chọn được 3 viên bi cùng màu là $\frac{{35}}{{76}}$.

**c)** Xác suất để trong 3 viên bi được chọn có đúng 2 viên bi trắng là $\frac{7}{{76}}$.

**d)** Xác suất để để trong 3 viên bi được chọn có ít nhất một viên bi đen là $\frac{{137}}{{228}}$.

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có [n left( Omega right) = C_{20}^3 = 1140 ]. b) Sai. Gọi biến cố A: “Chọn được 3 viên bi cùng màu”. Có [n left( A right) = C_{15}^3 + C_5^3 = 465 Rightarrow P left( A right) = frac{{465}}{{1140}} = frac{{31}}{{76}} ]. c) Sai. Gọi biến cố B: “Chọn có đúng 2 viên bi trắng”. Có [n left( B right) = C_{15}^2C_5^1 = 525 Rightarrow P left( B right) = frac{{525}}{{1140}} = frac{{35}}{{76}} ]. d) Đúng. Gọi biến cố C: “Chọn có ít nhất một viên bi đen”. Có [n left( C right) = C_{20}^3 - C_{15}^3 = 685 Rightarrow P left( C right) = frac{{685}}{{1140}} = frac{{137}}{{228}} ].

Question 14

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 49.$

**a) **Tâm của đường tròn $\left( C \right)$ thuộc hypebol $\frac{{{x^2}}}{6} - \frac{{{y^2}}}{{98}} = 1$.

**b) **Đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính $R = 49.$

**c) **Đường tròn $\left( C \right)$ tiếp xúc với trục hoành.

**d)** Khoảng cách từ tâm của đường tròn $\left( C \right)$ đến đường thẳng $d:3x + 4y - 1 = 0$ bằng 4.

Accepted Answer

a) Đúng. Ta thấy điểm (I left( {3 ,; - 7} right) ) là tâm đường tròn. Thay tọa độ (I ) vào phương trình hypebol ( frac{{{x^2}}}{6} - frac{{{y^2}}}{{98}} = 1 ) ta được ( frac{{{3^2}}}{6} - frac{{{{ left( { - 7} right)}^2}}}{{98}} = 1 ) (thỏa mãn). b) Sai. Đường tròn ( left( C right) ) có bán kính (R = sqrt {49} = 7. ) c) Đúng. Ta có (d left( {I,Ox} right) = frac{{ left| { left( { - 7} right) cdot 1} right|}}{{ sqrt {{1^2}} }} = 7 = R. ) d) Đúng. Ta có (d left( {I,d} right) = frac{{ left| {3 cdot 3 + 4 cdot left( { - 7} right) - 1} right|}}{{ sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = frac{{20}}{5} = 4. )

Question 15

**PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.** Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển ${\left( {x - 6} \right)^5}$.

Accepted Answer

Ta có [{ left( {x - 6} right)^5} = C_5^0{x^5} - C_5^1{x^4} cdot 6 + C_5^2{x^3} cdot {6^2} - C_5^3{x^2} cdot {6^3} + C_5^4x cdot {6^4} - C_5^5{6^5} ]. Hệ số của số hạng chứa [{x^4} ] trong khai triển là: [ - C_5^1 cdot 6 = - 30 ]. Đáp án: [ - 30 ].

Question 16

Mẫu số liệu dưới đây ghi lại cân nặng 9 học sinh trong một lớp 11 của một trường trung học phổ thông (đơn vị: kilôgam):

59 60 49 51 50 53 48 54 58

Tìm tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ của mẫu số liệu trên.

Accepted Answer

Đáp án Ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm như sau: 48 49 50 51 53 54 58 59 60 Vì n = 9 là số lẻ nên ({Q_2} = 53 ). Nửa số liệu bên trái là ({ rm{48,}} ,{ rm{49,}} ,{ rm{50,}} ,{ rm{51}} ) gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 49, 50. Do đó tứ phân vị thứ nhất ({Q_1} = left( {49 + 50} right):2 = 49,5 ). Đáp án: 49,5.

Question 17

Khi quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oth$, trong đó $t$ là thời gian, $h$ là độ cao của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao $0,5{\rm{m}}$. Sau đó $1$ giây nó đạt độ cao $12,5\,{\rm{m}}$ và sau $3$ giây sau khi đá lên nó ở độ cao ${\rm{18,5}}\,{\rm{m}}$. Hãy xác định thời gian mà quả bóng được đá lên cao nhất sau khi quả bóng được đá lên?

Accepted Answer

Đáp án Vì quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol nên phương trình có dạng (h = f left( t right) = a{t^2} + bt + c, ,(a ne 0) ). Theo bài ra ta có (f left( 0 right) = 0,5 , ,; ,f left( 1 right) = 12,5 , ,; , ,f left( 3 right) = 18,5 ). Từ đây ta có hệ phương trình: ( left { begin{array}{l}c = 0,5 a + b + c = 12,5 9a + 3b + c = 18,5 end{array} right. ) ( Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{c}} begin{array}{l}a = - 3 b = 15 end{array} {c = frac{1}{2}} end{array}} right. ). Suy ra phương trình parabol là (h = - 3{t^2} + 15t + frac{1}{2} ). Parabol có hệ số [a = - 3 < 0 ], đỉnh [I left( { frac{5}{2}; frac{{77}}{4}} right) ]. Khi đó quả bóng đạt vị trí cao nhất là lúc (t = frac{5}{2} = 2,5 ) giây. Đáp án: 2,5.

Question 18

Cho $\cot \alpha = - 3\sqrt 2 $ với $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $. Khi đó giá trị $\tan \frac{\alpha }{2} + \cot \frac{\alpha }{2}$ bằng bao nhiêu (*kết quả làm tròn đến hàng phần trăm*)?

Accepted Answer

Đáp án Ta có ( frac{1}{{{{ sin }^2} alpha }} = 1 + { cot ^2} alpha = 1 + 18 = 19 ) ( Rightarrow { sin ^2} alpha = frac{1}{{19}} ) ( Rightarrow sin alpha = pm frac{1}{{ sqrt {19} }} ). Vì [ frac{ pi }{2} < alpha < pi ] [ Rightarrow sin alpha > 0 ] [ Rightarrow sin alpha = frac{1}{{ sqrt {19} }} ]. Suy ra [ tan frac{ alpha }{2} + cot frac{ alpha }{2} = frac{{{{ sin }^2} frac{ alpha }{2} + {{ cos }^2} frac{ alpha }{2}}}{{ sin frac{ alpha }{2} cos frac{ alpha }{2}}} = frac{2}{{ sin alpha }} = 2 sqrt {19} approx 8,72 ]. Đáp án: [8,72 ].

Question 19

**B. TỰ LUẬN**

Cho hình chữ nhật* ABCD* có $AB = a,AD = 3a.$ Biết tập hợp các điểm $M$ thoả mãn biểu thức $\left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right|$ là một đường tròn tâm $I.$ Tính độ dài $AI$ theo $a.$

Accepted Answer

Lời giải Gọi [E ] là trung điểm của [CD,O ] là tâm của hình chữ nhật. Gọi điểm [I ] thoả mãn (2 overrightarrow {IA} - overrightarrow {IB} + 3 overrightarrow {IC} = overrightarrow 0 Leftrightarrow 4 overrightarrow {IO} = overrightarrow {CB} ). Suy ra điểm [I ] là trung điểm của [OE ]. Do vậy ( left| {2 overrightarrow {MA} - overrightarrow {MB} + 3 overrightarrow {MC} } right| = left| { overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} } right| Leftrightarrow left| {4 overrightarrow {MI} + left( {2 overrightarrow {IA} - overrightarrow {IB} + overrightarrow {3IC} } right)} right| = left| { overrightarrow {AC} } right| Leftrightarrow left| {4 overrightarrow {MI} } right| = left| { overrightarrow {AC} } right| Leftrightarrow MI = frac{1}{4}AC ). Từ đó điểm [M ] thuộc vào đường tròn tâm [I ] và bán kính là ( frac{{AC}}{4} ). Vậy (AI = sqrt {{{ left( { frac{{AB}}{2}} right)}^2} + {{ left( { frac{{3AD}}{4}} right)}^2}} = frac{{a sqrt {85} }}{4} ).

Question 20

Nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt đứng là một nửa hình elip cao 10 m và rộng 24 m. Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm trên sàn nhà cách chân tường 4 m lên đến mái vòm.

**

![Nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt đứng là một nửa hình elip cao 10 m và rộng 24 m. Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm trên sàn nhà cách chân tường 4 m lên đến mái vòm. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1754920690/1754920767-image3.png)

**

Accepted Answer

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Nhà vòm có dạng elip nên có phương trình chính tắc là ( frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 ) với (a > b > 0 ). Chiều cao vòm là (10 ,{ rm{m}} ) nên (OC = b = 10 ), chiều rộng của vòm là (24 ,{ rm{m}} )nên (AB = 2a = 24 Rightarrow a = 12 ). Khi đó phương trình elip là: ( frac{{{x^2}}}{{144}} + frac{{{y^2}}}{{100}} = 1 ). Gọi D là điểm thuộc elip có hình chiếu trên sàn là điểm H cách chân tường 4 m. Điểm H cách chân tường 4 m tương ứng cách tâm O là 8 m (vì từ tâm O đến tường là 12 m) ( Rightarrow D left( {8;{y_D}} right) ). Thay tọa độ của D vào phương trình elip ta được: ( frac{{{8^2}}}{{144}} + frac{{{y_D}^2}}{{100}} = 1 ) ( Rightarrow {y_D} = frac{{10 sqrt 5 }}{3} ). Vậy khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm trên sàn nhà cách chân tường 4 m lên đến mái vòm là ( frac{{10 sqrt 5 }}{3} ) m.

Bộ 3 đề KSCL đầu năm Toán 11 có đáp án - Đề 1

Xem trước câu hỏi