Bộ 3 đề KSCL đầu năm Toán 11 có đáp án - Đề 3

Question 1

Số đo theo đơn vị rađian của góc $315^\circ $ là:

Accepted Answer

$\frac{{7\pi }}{4}$.

Question 2

Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

Accepted Answer

$y = {x^2} + x - 1$.

Question 3

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {0;4} \right),B\left( { - 6;0} \right)$ là:

Accepted Answer

$\frac{x}{-6} + \frac{y}{4} = 1$.

Question 4

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $7x - 3y + 16 = 0$ và $x + 10 = 0$.

Accepted Answer

$\left( { - 10; - 18} \right)$.

Question 5

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9$. Đường tròn có tâm và bán kính là

Accepted Answer

$I\left( {2; - 3} \right),\,\,R = 3$.

Question 6

Số tập hợp con có $3$ phần tử của một tập hợp có $7$ phần tử là

Accepted Answer

$C_7^3$

Question 7

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $AC \cap BD = O$ (như hình vẽ). Giao tuyến của mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ là đường thẳng nào sau đây?

![Cho hình chóp S.ABCD có AC giao BD = O (như hình vẽ). Giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD) là đường thẳng nào sau đây? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1754922768/1754922845-image1.png)

Accepted Answer

$SO.$

Question 8

Cho biết $\sin \alpha \cdot \cos \alpha = - \,\frac{1}{4}$ thì ${\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha $ bằng.

Accepted Answer

14.

Question 9

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, $AD\,{\rm{//}}\,BC$, $AD = 2BC$. $M$ là trung điểm của $SA$. Mặt phẳng $\left( {MBC} \right)$ cắt $SD$ tại $N$. Khi đó tứ giác $BCNM$ là hình gì?

Accepted Answer

Hình bình hành.

Question 10

Cho $\cos \alpha = \frac{1}{3}$. Khi đó $\sin \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)$ bằng

Accepted Answer

$\frac{1}{3}.$

Question 11

Hệ số của ${x^4}$ trong khai triển ${\left( {2x - 1} \right)^5}$ là

Accepted Answer

$ - 80$.

Question 12

Cho $\cos x = \frac{1}{3}\left( { - \frac{\pi }{2} < x < 0} \right)$. Giá trị của $\tan 2x$ là

Accepted Answer

$\frac{{4\sqrt 2 }}{7}$.

Question 13

**PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.** Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý **a), b), c), d)** ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)

Một tấm sắt hình chữ nhật có chu vi là 96 cm. Người ta cắt ở mỗi góc tấm sắt một hình vuông cạnh là 4 cm.

![Ảnh có chứa hàng, Hình chữ nhật, hình vuông, ảnh chụp màn hình

Mô tả được tạo tự động](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid0-1754922909.png)

**a)** Diện tích phần cắt đi là $4 \cdot {4^2}$ $\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

**b)** Gọi chiều dài của tấm sắt là $x$ (cm) thì chiều rộng tấm sắt là $96 - x$ (cm).

**c)** Diện tích phần còn lại của tấm sắt là $ - {x^2} + 48x - 64\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

**d)** Diện tích phần còn lại của tấm sắt ít nhất bằng 448 ${\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ khi và chỉ khi chiều dài của tấm sắt nằm trong đoạn $\left[ {16;32} \right]$ (cm).

Accepted Answer

a) Đúng. Người ta cắt ở mỗi góc tấm sắt một hình vuông cạnh bằng 4 cm nên diện tích phần cắt đi là: (4 cdot {4^2} = 64 , , ,(c{m^2}) ). b) Sai. Theo bài ta có nửa chu vi của tấm sắt là (96:2 = 48 ,(cm) ). Gọi chiều dài của tấm sắt là (x , ,(cm) , ). Chiều rộng của tấm sắt sẽ là (48 - x , , ,(cm) ). c) Đúng. Do chiều dài lớn hơn chiều rộng nên ta có: (x > 48 - x Leftrightarrow x > 24 ,(cm) ). Diện tích của tấm sắt ban đầu là (x left( {48 - x} right) , ,{ rm{(c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}{ rm{)}} ). Diện tích phần còn lại của tấm sắt là (x left( {48 - x} right) , - 64 = - {x^2} + 48x - 64 , ,{ rm{(c}}{{ rm{m}}^2}{ rm{)}} ). d) Sai. Để diện tích còn lại của tấm sắt ít nhất bằng 448 ({ rm{c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}} ) nên ta có phương trình: (x left( {48 - x} right) - 64 ge 448 Leftrightarrow {x^2} - 48x + 512 le 0 ). Đặt (f left( x right) = {x^2} - 48x + 512 ) ( Rightarrow f(x) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 32 x = 16 end{array} right. ). Do hệ số (a = 1 > 0 ) nên bảng xét dấu của (f left( x right) ) là: Dựa vào bảng xét dấu ta có: (x in left[ {16;32} right] ). Kết hợp với điều kiện của (x ) ta có (x in left( {24;32} right] ).

Question 14

Cho hình bình hành ABCD và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD), các điểm M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB, SC. Gọi O = AC giao BD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng. (SO ) giao tuyến của hai mặt phẳng ( left( {SAC} right) ) và ( left( {SBD} right) ). b) Đúng. Trong mặt phẳng ( left( {SAC} right) ), gọi (I = SO cap AN ). Ta có: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{I in AN} {I in SO,SO subset left( {SBD} right)} end{array} Rightarrow I = AN cap left( {SBD} right)} right. ). c) Sai. Trong mặt phẳng ( left( {ABCD} right) ), gọi (P = CM cap BD ); Trong mặt phẳng ( left( {SCM} right) ), gọi (J = MN cap SP ); Ta có: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{J in MN} {J in SP,SP subset left( {SBD} right)} end{array} Rightarrow J = MN cap left( {SBD} right)} right. ). d) Đúng. Dễ thấy (B in left( {ABN} right) cap left( {SBD} right) ). (1) Ta có ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{I in AN,AN subset left( {ABN} right)} {I in SO,SO subset left( {SBD} right)} end{array} Rightarrow I in left( {ABN} right) cap left( {SBD} right)} right. ). (2) Tương tự: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{J in MN,MN subset left( {ABN} right)} {J in SP,SP subset left( {SBD} right)} end{array} Rightarrow J in left( {ABN} right) cap left( {SBD} right)} right. ). (3) Từ (1), (2), (3) suy ra (B,I,J ) cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng ( left( {ABN} right) ) và ( left( {SBD} right) ) nên ba điểm này thẳng hàng.

Question 15

**PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.** Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh vừa qua có $9$ học sinh đạt giải cao, trong đó khối xã hội có $4$nữ và $1$ nam, khối tự nhiên có $1$ nữ và $3$ nam. Có bao nhiêu cách chọn ra $5$ học sinh để trao học bổng biết rằng $5$ học sinh này vừa có khối tự nhiên, vừa có khối xã hội, vừa có nam, vừa có nữ và số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ?

Accepted Answer

Vì chọn số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ nên ta có các trường hợp sau: TH1: Chọn 1 học sinh nam và 4 học sinh nữ: 1 nam TN + 4 nữ tùy ý có: (C_3^1 cdot C_5^4 = 15 ) cách. 1 nam XH + 3 nữ XH + 1 nữ TN có: (1 cdot C_4^3 cdot 1 = 4 ) cách. TH2: Chọn 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ: 2 nam TN + 3 nữ tùy ý có: (C_3^2 cdot C_5^3 = 30 ) cách. 1 nam TN + 1 nam XH + 3 nữ tùy ý có (1 cdot C_3^1 cdot C_5^3 = 30 ) cách. Vậy có: (15 + 4 + 30 + 30 = 79 ) cách. Đáp án: 79.

Question 16

Một vật chuyển động có vận tốc ${\rm{(m/s)}}$ được biểu diễn theo thời gian $t\,(\;{\rm{s}})$ bằng công thức $v\left( t \right) = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 10$. Vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Vật chuyển động có công thức vận tốc dạng hàm số bậc hai. Ta có (t = - frac{b}{{2a}} = - frac{{ - 4}}{{2 cdot frac{1}{2}}} = 4 Rightarrow {v_{ min }} = frac{1}{2} cdot {4^2} - 4 cdot 4 + 10 = 2 , ,{ rm{(m/s)}} ). Vậy vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất bằng [2 , ,{ rm{m/s}} ]. Đáp án: 2.

Question 17

Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng 6. Lấy điểm $M$ trên cạnh $BC$ sao cho $MB = 2MC$. Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow {MA} $ và $\overrightarrow {MB} $.

Accepted Answer

Ta có (BM = 4 ); (M{A^2} = B{A^2} + B{M^2} - 2BA cdot BM cdot cos 60^ circ = 28 ). Khi đó, [ overrightarrow {MA} cdot overrightarrow {MB} = left| { overrightarrow {MA} } right| cdot left| { overrightarrow {MB} } right| cdot cos left( { overrightarrow {MA} , overrightarrow {MB} } right) = MA cdot MB cdot cos widehat {AMB} ] [ = MA cdot MB cdot frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2MA cdot MB}} = frac{1}{2} left( {M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}} right) = 4 ]. Đáp án: 4.

Question 18

Thầy Khánh có 5 quyển sách toán, 6 quyển sách lý và 4 quyển sách hóa. Các quyển sách đôi một khác nhau. Thầy Khánh chọn ngẫu nhiên 7 quyển sách để làm phần thưởng cho một học sinh giỏi. Tính xác suất để số quyển sách còn lại của Thầy Khánh có đủ 3 môn học (*làm tròn kết quả đến hàng phần trăm*).

Accepted Answer

Gọi biến cố A: “Số quyển sách còn lại có đủ 3 môn học”. Suy ra biến cố ( overline A ): “Số quyển sách còn lại không đủ 3 môn học”, tức là ( overline A ): “Thầy Khánh lấy hết sách của 1 môn học bất kì”. Ta có (n left( Omega right) = C_{15}^7 = 6435 ); (n left( { overline A } right) = C_5^5 cdot C_{10}^2 + C_6^6 cdot C_9^1 + C_4^4 cdot C_{11}^3 = 219 ). Khi đó, (P left( { overline A } right) = frac{{219}}{{6435}} = frac{{73}}{{2145}} ). Vậy (P left( A right) = 1 - frac{{73}}{{2145}} = frac{{2072}}{{2145}} approx 0,97. ) Cách khác: Biến cố A: “8 quyển sách còn lại không có đủ 3 môn”. (n left( Omega right) = C_{15}^8 = 6435. ) Ta có (n left( A right) = C_9^8 + C_{11}^8 + C_{10}^8 = 219 ), suy ra (P left( A right) = frac{{219}}{{6435}} = frac{{73}}{{2145}} ). Khi đó, biến cố ( overline A ): “8 quyển sách còn lại có đủ 3 môn”. Vậy (P left( { overline A } right) = 1 - frac{{73}}{{2145}} = frac{{2072}}{{2145}} approx 0,97. ) Đáp án: 0,97.

Question 19

**B. TỰ LUẬN**

Trong mặt phẳng$Oxy$, cho hai điểm $A\left( {1;2} \right)$; $B\left( { - 5;3} \right)$ và đường thẳng $\Delta :\,3x - 4y + 7 = 0$.

a) Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua hai điểm$A$ và $B$.

b) Viết phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $B$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta $.

Accepted Answer

a) Ta có ( overrightarrow {AB} = left( { - 6;1} right) ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B: ( left { begin{array}{l}x = 1 - 6t y = 2 + t end{array} right. ). b) Bán kính đường tròn có tâm B và tiếp xúc với đường thẳng ( Delta : ) [R = d left( {B, Delta } right) = frac{{ left| {3 cdot left( { - 5} right) - 4 cdot 3 + 7} right|}}{{ sqrt {{3^2} + {{ left( { - 4} right)}^2}} }} = 4 ]. Phương trình đường tròn ( left( C right):{ left( {x + 5} right)^2} + { left( {y - 3} right)^2} = 16 ).

Question 20

Cho $\cos \alpha = \frac{2}{3}$, $\left( {0\, < \alpha \, < \,\frac{\pi }{2}} \right)$.

a) Tính giá trị của biểu thức $P = \left( {1 - \sin \alpha } \right)\left( {1 + \sin \alpha } \right)$.

b) Tính $\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 2\alpha } \right)$.

Accepted Answer

a) Ta có (P = left( {1 - sin alpha } right) left( {1 + sin alpha } right) = 1 - { sin ^2} alpha = { cos ^2} alpha = frac{4}{9} ). b) Từ giải thiết ( cos alpha = frac{2}{3} ), ( left( {0 , < alpha , < , frac{ pi }{2}} right) ) ta có ( sin alpha , = , sqrt {1 , - ,{{ cos }^2} alpha } = frac{{ sqrt 5 }}{3} ) và ( sin 2 alpha = 2 sin alpha cdot , cos alpha = ,2 cdot frac{{ sqrt 5 }}{3} cdot frac{2}{3} = frac{{4 sqrt 5 }}{9}; , cos 2 alpha , = ,2{ cos ^2} alpha , - ,1 , = , - frac{1}{9} ). Khi đó, ( cos left( { frac{ pi }{3} - 2 alpha } right) = cos frac{ pi }{3} cdot cos 2 alpha + sin frac{ pi }{3} cdot sin 2 alpha = frac{{ - 1 + 4 sqrt {15} }}{{18}} ).

Bộ 3 đề KSCL đầu năm Toán 11 có đáp án - Đề 3

Xem trước câu hỏi