Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 1

Question 1

Góc có số đo $108^\circ $ đổi sang radian là

Accepted Answer

**D. $\frac{{3\pi }}{5}.$**

Question 2

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Accepted Answer

$\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha .$

Question 3

Tập giá trị của hàm số $y = \cos x$ là tập hợp nào sau đây?

Accepted Answer

**D. $\left[ { - 1;1} \right].$**

Question 4

Tập xác định của hàm số $y = \frac{{2025}}{{\sin x}}$ là

Accepted Answer

**D. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}} \right\}.$**

Question 5

Phương trình $\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ có nghiệm là

Accepted Answer

**D. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$**

Question 6

Cho các dãy số sau. Dãy số nào không là dãy số tăng?

Accepted Answer

$1; 1; 1; 1; ...$

Question 7

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right):{u_1} = - 3$ và công bội $q = \frac{2}{3}$. Số hạng thứ 5 của $\left( {{u_n}} \right)$ là

Accepted Answer

**B. ${u_5} = - \frac{{16}}{{27}}.$ **

Question 8

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 1$ và công sai $d = 3$. Tổng 4 số hạng đầu của $\left( {{u_n}} \right)$ là:

Accepted Answer

**C. ${S_4} = 22.$ **

Question 9

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là

Accepted Answer

$SB.$

Question 10

Trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung thì

Accepted Answer

chéo nhau hoặc song song.

Question 11

Cho hình chóp $S.ABCD$ có điểm $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC,BD.$ Giao điểm của đường thẳng $AC$ với mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ là điểm nào?

Accepted Answer

Điểm $O.$

Question 12

Cho hình chóp $S.ABCD$ có mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$ là hình bình hành. Gọi đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Accepted Answer

Đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với $BC.$

Question 13

**Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai.** Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu hỏi, học sinh chọn Đúng hoặc Sai.

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + 1} \right)$. Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau:

**a)**$f\left( x \right) = \sin 2x + 2\sin x - \cos x - 1.$

**b)** Hàm số đã cho là hàm lẻ.

**c)** Nghiệm âm lớn nhất của phương trình $f\left( x \right) = 0$ là $x = - \pi $.

**d)** Tổng các nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 0$ thuộc nửa khoảng $\left[ { - 2\pi ;3\pi } \right)$ bằng $3\pi .$

Accepted Answer

Hướng dẫn giải a) Đ b) S c) Đ d) Đ a) Ta có: [f left( x right) = left( {2 sin x - 1} right) left( { cos x + 1} right) ] [ Leftrightarrow f left( x right) = 2 sin x cos x + 2 sin x - cos x - 1 ] [ Leftrightarrow f left( x right) = 2 sin 2x + 2 sin x - cos x - 1 ]. Tập xác định của hàm số: [D = mathbb{R}. ] Lấy [x in D ] và [ - x in D ], ta có: [2 sin left( { - 2x} right) + 2 sin left( { - x} right) - cos left( { - x} right) - 1 = - 2 sin 2x - 2 sin x - cos x - 1 ]. Suy ra [f left( x right) ne f left( { - x} right) ]. Vậy hàm số đã cho không chẵn, không lẻ. b) Ta có: [f left( x right) = 0 ] [ Leftrightarrow left( {2 sin x - 1} right) left( { cos x + 1} right) = 0 ] [ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2 sin x - 1 = 0 cos x + 1 = 0 end{array} right. ] [ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} sin x = frac{1}{2} cos x = - 1 end{array} right. ] [ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{ pi }{6} + k2 pi x = frac{{5 pi }}{6} + k2 pi x = pi + k2 pi end{array} right.,{ rm{ }} left( {k in mathbb{Z}} right) ]. Nhận thấy, với [k = - 1 ] thì phương trình có các nghiệm âm là: [x = frac{{ - 11 pi }}{6};x = frac{{ - 7 pi }}{6};x = - pi ]. c) Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình [f left( x right) = 0 ] là [x = - pi ]. Xét trên nửa khoảng [ left[ { - 2 pi ;3 pi } right) ], ta thấy: [ - 2 pi le frac{ pi }{6} + k2 pi < 3 pi ] [ Leftrightarrow frac{{ - 13 pi }}{6} le k2 pi < frac{{17 pi }}{6} ] [ Leftrightarrow frac{{ - 13}}{{12}} le k < frac{{17}}{{12}} ]. Mà [k in mathbb{Z} ] nên [k in left { { - 1;0;1} right } ]. Do đó [x in left { { - frac{{11 pi }}{6}; frac{ pi }{6}; frac{{13 pi }}{6}} right } ] (1). Tương tự [ - 2 pi le frac{{5 pi }}{6} + k2 pi < 3 pi ] [ Leftrightarrow - frac{{17}}{{12}} le k < frac{{13}}{{12}} ]. Mà [k in mathbb{Z} ] nên [k in left { { - 1;0;1} right } ]. Do đó [x in left { { - frac{{7 pi }}{6}; frac{{5 pi }}{6}; frac{{17 pi }}{6}} right } ] (2). Tương tự, có [ - 2 pi le pi + k2 pi < 3 pi ] [ Leftrightarrow - frac{3}{2} le k < 1 ]. Mà [k in mathbb{Z} ] nên [k in left { { - 1;0} right } ]. Do đó [x in left { { - pi ; pi } right } ] (3). d) Từ (1), (2), (3) ta tính được tổng các nghiệm bằng [3 pi ].

Question 14

Một vật dao động xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình $x = 1,5\cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right)$ trong đó $t$ là thời gian được tính bằng giây và quãng đường, $h = \left| x \right|$ được tính bằng mét là khoảng cách theo phương ngang của chất điểm đối với vị trí cân bằng. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

![Một vật dao động xung quanh vị trí cân bằng theo phư (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/4-1760762714.png)

**a)** Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là $h = 1,5{\rm{ m}}$.

**b)** Trong 10 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất.

**c)** Khi vật ở vị trí cân bằng thì $\cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right) = 0$.

**d)** Trong khoảng từ $0$ đến $20$ giây thì vật qua vị trí cân bằng 4 lần.

Accepted Answer

Hướng dẫn giải a) Đ b) S c) Đ d) S Ta có: [h = left| x right| = left| {1,5 cos left( { frac{{ pi t}}{4}} right)} right| le 1,5. ] a) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là [h = 1,5{ rm{ m}} ]. Khi đó [ cos left( { frac{{ pi t}}{4}} right) = pm 1 ] [ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} frac{{t pi }}{4} = k2 pi frac{{t pi }}{4} = pi + k2 pi end{array} right.{ rm{ }} left( {k in mathbb{Z}} right) ] [ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 8k t = 4 + 8k end{array} right.,{ rm{ }} left( {k in mathbb{Z}} right) ]. b) Trong 10 giây đầu tiên thì vật ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm [t = 0; ] [t = 4;t = 8 ] giây. c) Khi vật ở vị trí cân bằng thì [x = 0 Leftrightarrow 1,5 cos left( { frac{{ pi t}}{4}} right) = 0 ] [ Leftrightarrow cos left( { frac{{ pi t}}{4}} right) = 0 ] [ Leftrightarrow frac{{ pi t}}{4} = frac{ pi }{2} + k pi ,{ rm{ }} left( {k in mathbb{Z}} right) Leftrightarrow t = 2 + 4k left( {k in mathbb{Z}} right) ]. d) Ta có: [0 < t < 20 Leftrightarrow 0 < 2 + 4k < 20 ] [ Leftrightarrow - frac{1}{2} < k < frac{{18}}{4} ]. Mà [k in mathbb{Z} ] nên [k in left { {0;1;2;3;4} right } ]. Suy ra [t in left { {2;6;10;14;18} right }. ] Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 giây thì vật ở vị trí cân bằng tại các thời điểm [t = 2;{ rm{ }}t = 6;{ rm{ }}t = 10;{ rm{ }}t = 14;{ rm{ }}t = 18 ] giây, tức là có 5 lần vật qua vị trí cân bằng.

Question 15

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 5$ và $d = - 7$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

**a)** ${u_{11}} = - 65$.

**b)** ${u_5} + {u_7} = - 50$.

**c)** Số $ - 849$ là số hạng thứ 123 của cấp số cộng.

**d)** Số $ - 114$ là số hạng thứ 18 của cấp số cộng.

Accepted Answer

Hướng dẫn giải a) Đ b) S c) Đ d) Đ a) Ta có: [{u_{11}} = {u_1} + 10d = 5 + 10. left( { - 7} right) = - 65. ] b) Ta có: [{u_5} + {u_7} = {u_1} + 4d + {u_1} + 6d ] [ = 2{u_1} + 10d = 2.5 + 10. left( { - 7} right) = - 60. ] c) Ta có: [{u_{123}} = {u_1} + 122d = 5 + 122. left( { - 7} right) = - 849. ] Vậy số [ - 849 ] là số hạng thứ 123 của cấp số cộng. d) Ta có: [{u_{18}} = {u_1} + 17d = 5 + 17. left( { - 7} right) = - 114. ] Vậy số [ - 114 ] là số hạng thứ 18 của cấp số cộng.

Question 16

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SC. Gọi I là giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

Hướng dẫn giải a) Đ b) S c) Đ d) Đ a) Ta có: [ left { begin{array}{l}AM subset left( {SAC} right) SO = left( {SAC} right) cap left( {SBD} right) I in AM cap left( {SBD} right) end{array} right. Rightarrow AM cap left( {SBD} right) = AM cap SO = I. ] b) Xét tam giác [SAC ], có [AM,SO ] là các trung tuyến của tam giác [SAC ]. Mà [AM cap SO = I ], suy ra [I ] là trọng tâm của tam giác. Suy ra [IA = 2IM ]. c) Ta có: [ left { begin{array}{l} left( {ABM} right) cap left( {SBD} right) = BI SD subset left( {SBD} right) E in SD cap left( {AMB} right) end{array} right. ] Suy ra giao điểm [E ] của đường thẳng [SD ] và [ left( {ABM} right) ] là điểm thuộc đường thẳng [BI. ] d) Gọi [F = NC cap DB ]. Ta có: [ left { begin{array}{l}S in left( {SBD} right) cap left( {SNC} right) F in left( {SBD} right) cap left( {SNC} right) end{array} right. Rightarrow SF = left( {SBD} right) cap left( {SNC} right) ]. Mà [MN subset left( {SNC} right) ], suy ra giao điểm của đường thẳng [MN ] và mặt phẳng [ left( {SBD} right) ] là điểm thuộc giao tuyến [SF ] của hai mặt phẳng [ left( {SBD} right) ] và [ left( {SNC} right). ]

Question 17

**Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.** Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Tính giá trị lớn nhất của hàm số $y = 2{\cos ^2}x - \sqrt 3 \sin 2x + 2018$.

Accepted Answer

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là: 2021 Ta có: [y = 2{ cos ^2}x - sqrt 3 sin 2x + 2018 ] [ = 1 + cos 2x - sqrt 3 sin 2x + 2018 ] [ = cos 2x - sqrt 3 sin 2x + 2019 ] [ = 2 left( { frac{1}{2} cos 2x - frac{{ sqrt 3 }}{2} sin 2x} right) + 2019 ] [ = 2 cos left( {2x + frac{ pi }{3}} right) + 2019 ] Ta thấy: [ - 1 le cos left( {2x + frac{ pi }{3}} right) le 1 ] [ Leftrightarrow - 2 le 2 cos left( {2x + frac{ pi }{3}} right) le 2 ] [ Leftrightarrow 2017 le 2 cos left( {2x + frac{ pi }{3}} right) + 2019 le 2021 ]. Vậy giá trị lớn nhất của [y = 2{ cos ^2}x - sqrt 3 sin 2x + 2018 ] là [2021 ].

Question 18

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng 1. Các điểm $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB,SC$. Mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là: [0,25 ] Gọi [Q ] là trung điểm [SD ]. Tam giác [SAD ] có [M,Q ] lần lượt là trung điểm của [SA,SD ]. Suy ra [MQ parallel AD ] và [MQ = frac{1}{2}AD ]. Tam giác [SBC ] có [N,P ] lần lượt là trung điểm của [SB,SC ]. Suy ra [NP parallel BC ] và [NP = frac{1}{2}BC ]. Mặt khác [AD parallel BC ] và [AD = BC ] suy ra [MQ parallel NP ] và [MQ = NP ] [ Rightarrow MNPQ ] là hình bình hành. Khi đó, [M,N,P,Q ] đồng phẳng [ Rightarrow left( {MNP} right) ] cắt [SD ] tại [Q ] và [MNPQ ] là thiết diện của hình chóp [S.ABCD ] với mặt phẳng [ left( {MNP} right) ]. Vậy [{S_{MNPQ}} = frac{{{S_{ABCD}}}}{4} = frac{{{1^2}}}{4} = 0,25. ]

Question 19

Cho ba số dương có tổng bằng $65$ lập thành một cấp số nhân tăng. Nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và $19$ đơn vị ở số hạng thứ ba thì ta được một cấp số cộng và không đổi vị trí. Tính tích của ba số đó.

Accepted Answer

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là: 3375 Gọi [{u_1};{u_2};{u_3} ] theo thứ tự là ba số cần tìm lập thành một cấp số nhân. Vì tổng của [{u_1};{u_2};{u_3} ] là [65 ], do đó [{u_1} + {u_2} + {u_3} = 65 ]. Nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và [19 ] đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng nên ta có phương trình sau: [{u_1} - 1 + {u_3} - 19 = 2{u_2} ] hay [{u_1} - 2{u_2} + {u_3} = 20 ]. Từ đây ta có hệ phương trình sau: [ left { begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 65 {u_1} - 2{u_2} + {u_3} = 20 end{array} right. ] [ Leftrightarrow left { begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 65 3{u_2} = 45 end{array} right. ] [ Leftrightarrow left { begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 65 {u_2} = 15 end{array} right. ]. Lúc này, suy ra [ left { begin{array}{l}{u_1} + {u_3} = 50 {u_1}.q = 15 end{array} right. ] [ Leftrightarrow left { begin{array}{l}{u_1} left( {1 + {q^2}} right) = 50 {u_1}.q = 15 end{array} right. ] [ Leftrightarrow left { begin{array}{l} frac{{1 + {q^2}}}{q} = frac{{10}}{3} {u_1}.q = 15 end{array} right. ] [ Leftrightarrow left { begin{array}{l} left[ begin{array}{l}q = 3 q = frac{1}{3} end{array} right. {u_1}.q = 15 end{array} right. ]. Vì [{u_1};{u_2};{u_3} ] theo thứ tự là một cấp số nhân tăng nên [q = 3 ] thỏa mãn. Khi đó, [{u_1} = 5;{u_2} = 15;{u_3} = 45. ] Tích ba số đó là: [5.15.45 = 3375 ].

Question 20

Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm $t$ (giờ) trong một ngày bởi công thức $h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) + 12$. Mực nước của kênh cao nhất khi $t$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là: 14 Mực nước của con kênh cao nhất khi độ sâu của mực nước trong kênh lớn nhất. Ta có: [ - 1 le cos left( { frac{{ pi t}}{8} + frac{ pi }{4}} right) le 1 ] [ Leftrightarrow 9 le 3 cos left( { frac{{ pi t}}{8} + frac{ pi }{4}} right) + 12 le 15 ]. Do đó mực nước của con kênh cao nhất bằng [15{ rm{ }} left( m right) ] khi [ cos left( { frac{{ pi t}}{8} + frac{ pi }{4}} right) = 1 ] [ Leftrightarrow frac{{ pi t}}{8} + frac{ pi }{4} = k2 pi { rm{ }} left( {k in mathbb{Z}} right) Leftrightarrow t = - 2 + 16k ], [k in mathbb{Z} ]. Vì trong một ngày có 24 giờ nên [0 le - 2 + 16k le 24 Leftrightarrow frac{1}{8} le k le frac{{26}}{{16}} ]. Vì [k in mathbb{Z} ] nên [k = 1 ] do đó [t = 14 ]. Vậy mực nước của con kênh cao nhất khi [t = 14 ] giờ.

Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 1

Xem trước câu hỏi