Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 2

Question 1

**Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.** Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, học sinh chỉ chọn một phương án

Số đo theo đơn vị radian của góc $315^\circ $ là

Accepted Answer

**B. $\frac{{7\pi }}{4}.$ **

Question 2

Biết rằng $\sin x = \frac{1}{2}$ với $90^\circ < x < 180^\circ $ thì

Accepted Answer

**D. $x = 150^\circ .$**

Question 3

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

Accepted Answer

**D. $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.$**

Question 4

Tập xác định của hàm số $y = \cot x$ là

Accepted Answer

**C. $T = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$ **

Question 5

Phương trình $\cot x + \sqrt 3 = 0$ có nghiệm là

Accepted Answer

**D. $x = - \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$**

Question 6

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng khi và chỉ khi

Accepted Answer

$u_n < u_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}^*$

Question 7

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_1} = - 2$ và ${u_5} = - 162$. Công bội $q$ bằng

Accepted Answer

q = 3 hoặc q = -3

Question 8

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có $\left\{ \begin{array}{l}6{u_1} + 5{u_5} = 28\{S_4} = 14\end{array} \right.$. Số hạng ${u_1}$ của cấp số cộng bằng:

Accepted Answer

**D. ${u_1} = 8.$**

Question 9

Trong các hình sau

![Trong các hình sau Hình nào có thể là hình biểu diễn một tứ diện? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/8-1760768172.png)

Hình nào có thể là hình biểu diễn một tứ diện?

Accepted Answer

(I), (II), (III), (IV).

Question 10

Cho hình tứ diện $ABCD$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {CDA} \right)$ là đường thẳng.

Accepted Answer

$AC$

Question 11

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BA,BC$. Trong các đường thẳng sau, đường nào song song với $MN$?

Accepted Answer

AC

Question 12

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,CD$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABN} \right)$ là

Accepted Answer

Đường thẳng $BG$ ($G$ là trọng tâm tam giác $ACD$).

Question 13

**Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai.** Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu hỏi, học sinh chọn Đúng hoặc Sai.

Cho phương trình lượng giác $\sin 2x = - \frac{1}{2}$ (*). Khi đó:

**a)** Phương trình (*) tương đương $\sin 2x = \sin \frac{\pi }{6}.$

**b)** Trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ phương trình có ba nghiệm.

**c)** Trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $\frac{{11\pi }}{{12}}$.

**d)** Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ bằng $\frac{{3\pi }}{2}$.

Accepted Answer

Hướng dẫn giải a) S b) S c) Đ d) Đ Ta có: [ sin 2x = - frac{1}{2} ] [ Leftrightarrow sin 2x = sin left( { - frac{ pi }{6}} right) ] [ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = - frac{ pi }{{12}} + k pi x = frac{{7 pi }}{{12}} + k pi end{array} right.,{ rm{ }} left( {k in mathbb{Z}} right) ]. Xét trên khoảng [ left( {0; pi } right) ], ta có: Với [0 < - frac{ pi }{{12}} + k pi < pi ] [ Leftrightarrow frac{1}{{12}} < k < frac{{13}}{{12}} ] . Mà [k in mathbb{Z} ] nên [k = 1 ] và [x = frac{{11 pi }}{{12}} ]. Với [0 < frac{{7 pi }}{{12}} + k pi < pi ] [ Leftrightarrow - frac{7}{{12}} < k < frac{5}{{12}} ]. Mà [k in mathbb{Z} ] nên [k = 0 ] và [x = frac{{7 pi }}{{12}} ]. Vậy trong khoảng [ left( {0; pi } right) ] phương trình có 2 nghiệm. Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng [ left( {0; pi } right) ] bằng [ frac{{11 pi }}{{12}} + frac{{7 pi }}{{12}} = frac{{3 pi }}{2} ]. Trong khoảng [ left( {0; pi } right) ] phương trình có nghiệm lớn nhất bằng [ frac{{11 pi }}{{12}} ].

Question 14

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ $40^\circ $ Bắc trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

$d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12$ với $t \in \mathbb{Z}$ và $0 < t \le 365$.

**a)** Tập giá trị của hàm số $d\left( t \right)$ là $\left[ {9;15} \right].$

**b)** Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào một ngày duy nhất trong năm.

**c)** Vào ngày thứ 353 trong năm thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời.

**d)** Vào ngày thứ 107 trong năm thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời.

Accepted Answer

Hướng dẫn giải a) Đ b) S c) Đ d) S a) Ta có: [ - 1 le sin left[ { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right] le 1 ] [ Leftrightarrow - 3 le 3 sin left[ { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right] le 3 ] [ Leftrightarrow 9 le 3 sin left[ { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right] + 12 le 15 ]. Do đó, tập giá trị của hàm số [d left( t right) ] là [ left[ {9;15} right]. ] b) Để thành phố có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì: [3 sin left[ { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right] + 12 = 12 ] [ Leftrightarrow sin left[ { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right] = 0 ] [ Leftrightarrow frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right) = k pi ] [ Leftrightarrow t - 80 = 182k,{ rm{ }} left( {k in mathbb{Z}} right) Leftrightarrow t = 80 + 182k{ rm{ }} left( {k in mathbb{Z}} right). ] Do [t in mathbb{Z} ] và [0 < t le 365 ] nên ta có: [ left { begin{array}{l}k in mathbb{Z} 0 < 80 + 182k le 365 end{array} right. ] [ Leftrightarrow left { begin{array}{l}k in mathbb{Z} - frac{{40}}{{91}} < k le frac{{285}}{{182}} end{array} right. ] [ Leftrightarrow k in left { {0;1} right } ] Với [k = 0 ] thì [t = 80 + 182.0 = 80; ] Với [k = 1 ] thì [t = 80 + 182.1 = 262. ] Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm. c) Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì [3 sin left[ { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right] + 12 = 9 ] [ Leftrightarrow sin left[ { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right] = - 1 ] [ Leftrightarrow frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right) = - frac{ pi }{2} + k2 pi ,{ rm{ }} left( {k in mathbb{Z}} right) ] [ Leftrightarrow t - 80 = - 91 + 364k,{ rm{ }} left( {k in mathbb{Z}} right) ] [ Leftrightarrow t = - 11 + 364k,{ rm{ }} left( {k in mathbb{Z}} right). ] Do [t in mathbb{Z} ] và [0 < t le 365 ] nên ta có: [ left { begin{array}{l}k in mathbb{Z} 0 < - 11 + 364k le 365 end{array} right. ] [ Leftrightarrow left { begin{array}{l}k in mathbb{Z} frac{{11}}{{364}} < k le frac{{94}}{{91}} end{array} right. ] [ Leftrightarrow k = 1 ]. Với [k = 1 ] thì [t = - 11 + 364 = 353. ] Vậy thành phố A có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm. d) Thay [t = 107 ] vào [d left( t right) ], ta được [d left( {107} right) = 3 sin left[ { frac{ pi }{{182}} left( {107 - 80} right)} right] + 12 approx 13,3 ] giờ. Do đó, vào ngày thứ 107 trong năm thành phố A không có 15 giờ có ánh sáng mặt trời.

Question 15

Tương truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được chọn phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó xin nhà vua: “Bàn cờ có 64 ô, với ô thứ nhất thần xin nhận 1 hạt tóc, ô thứ hai thì gấp đôi ô thứ nhất, ô thứ 3 thì gấp đôi ô thứ hai, … cứ như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô trước và thần xin nhận tổng số hạt thóc ở 64 ô”. Biết rằng khối lượng của 100 hạt thóc là 20 gam. Khi đó:

**a)** Số hạt tóc ở 64 ô là một cấp số nhân có ${u_1} = 1$ và $q = 2.$

**b)** Số hạt thóc ở ô thứ 8 là ${2^8}.$

**c)** Tổng khối lượng thóc của 64 ô trên bàn cờ khoảng $369$ tỉ tấn.

**d)** Giả sử người đó muốn chở số thóc ở trên 32 ô đầu tiên về bằng tàu thủy, biết rằng mỗi chuyến tàu chở tối đa 10 tấn hàng hóa. Khi đó, người đó cần chở tối thiểu 86 chuyến tàu để chở hết số thóc đó.

Accepted Answer

Hướng dẫn giải a) Đ b) S c) Đ d) Đ a) Do theo đề bài, ô thứ nhất nhận 1 hạt tóc, ô thứ hai thì gấp đôi ô thứ nhất, ô thứ 3 thì gấp đôi ô thứ hai, … cứ như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô trước và nhận 64 ô. Do đó số hạt thóc ở 64 ô lập thành một cấp số nhân với [{u_1} = 1;{ rm{ }}q = 2. ] b) Số hạt thóc ở ô thứ 8 sẽ là [{u_8} = {1.2^7} = {2^7} = 128. ] c) Tổng số hạt thóc của 64 ô là: [S = 1 + 2 + {2^2} + .... + {2^{63}} ] [ Rightarrow S = 1. frac{{1 - {2^{64}}}}{{1 - 2}} = {2^{64}} - 1 ] hạt thóc. Do đó, tổng khối lượng của số hạt thóc trên 64 ô trên bàn cờ là: [ left( {{2^{64}} - 1} right). frac{{20}}{{100}} approx 3,{689.10^{18}} left( g right) ]. Đổi [3,{689.10^{18}}{ rm{ }}g = 3,{689.10^{12}} ] (tấn) [ approx 369 ] (tỉ tấn). Tương tự, ta có khối lượng thóc ở 32 ô đầu tiên là: [ left( {{2^{32}} - 1} right). frac{{20}}{{100}} = 858993459 ] (g) [ approx 859 ] tấn. Vậy cần số chuyến là: [859:10 = 85,9 ] (chuyến). Vậy cần ít nhất 86 chuyến.

Question 16

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD,BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$. Khi đó:

**a)** Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$.

**b)** Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AC$.

**c)** Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {IGJ} \right)$ là đường thẳng qua $G$ và song song với $CD$.

**d)** Lấy $M$ trên $SD$ sao cho $SM = \frac{2}{3}SD$, $N$ trên $SA$ sao cho $NA = \frac{1}{3}SA.$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {GMN} \right)$ và $\left( {GBC} \right)$ là đường thẳng qua $G$ và song song với $AD.$

Accepted Answer

Hướng dẫn giải a) Đ b) S c) Đ d) Đ a) Ta có: [ left { begin{array}{l}S in left( {SAB} right) cap left( {SCD} right) AB parallel CD end{array} right. ]. Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng [ left( {SAB} right) ] và [ left( {SCD} right) ] là đường thẳng qua [S ] và song song với [AB ]. b) Gọi (O ) là giao điểm của hai đường chéo (AC ) và (BD ). Ta có [ left { begin{array}{l}O in left( {SAC} right) cap left( {SBD} right) S in left( {SAC} right) cap left( {SBD} right) end{array} right. Rightarrow SO = left( {SAC} right) cap left( {SBD} right) ]. Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng [ left( {SAC} right) ] và [ left( {SBD} right) ] là đường thẳng [SO. ] c) Ta có: [ left { begin{array}{l}G in left( {SAB} right) cap left( {JIG} right) AB parallel JI end{array} right. ] Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng [ left( {SAB} right) ] và [ left( {IGJ} right) ] là đường thẳng qua [G ] và song song với [AB ]. Lại có (AB||CD ) nên giao tuyến của hai mặt phẳng [ left( {SAB} right) ] và [ left( {IGJ} right) ] là đường thẳng qua [G ] và song song với [CD ]. d) Theo đề, ta có: [NA = frac{1}{3}SA Rightarrow SN = frac{2}{3}SA Rightarrow frac{{SN}}{{SA}} = frac{2}{3} ]. Lại có: [SM = frac{2}{3}SD Rightarrow frac{{SM}}{{SD}} = frac{2}{3} ] nên [ frac{{SN}}{{SA}} = frac{{SM}}{{SD}} = frac{2}{3} ]. Suy ra [MN parallel AD ]. Ta có: [ left { begin{array}{l}G in left( {GBC} right) cap left( {GMN} right) MN parallel AD BC parallel AD end{array} right. ] Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng [ left( {GMN} right) ] và [ left( {GBC} right) ] là đường thẳng qua [G ] và song song với [AD. ]

Question 17

**Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.** Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $ và $\sin \alpha = \frac{2}{3}$.

Tính $P = \frac{{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}.$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Accepted Answer

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là: [ - 1,5 ] Ta có: [ sin alpha = frac{2}{3} ] và [ frac{ pi }{2} < alpha < pi ] do đó [ alpha ] thuộc góc phần tư thứ hai. Suy ra [ cos alpha < 0 ] và [ cos alpha = - frac{{ sqrt 5 }}{3} ]. Ta có: [P = frac{{1 + sin 2 alpha + cos 2 alpha }}{{ sin alpha + cos alpha }} ] [P = frac{{1 + 2 sin alpha cos alpha + {{ cos }^2} alpha - {{ sin }^2} alpha }}{{ sin alpha + cos alpha }} ] [P = frac{{{{ left( { sin alpha + cos alpha } right)}^2} + left( { cos alpha - sin alpha } right) left( { cos alpha + sin alpha } right)}}{{ sin alpha + cos alpha }} ] [P = frac{{ left( { sin alpha + cos alpha } right) left( { cos alpha + sin alpha + cos alpha - sin alpha } right)}}{{ sin alpha + cos alpha }} ] [P = 2 cos alpha = - frac{{2 sqrt 5 }}{3} approx - 1,5. ]

Question 18

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn ${S_2} = 4$ và ${S_3} = 13$. Tính giá trị ${S_5}$ biết công bội $q < 0.$ Kết quả làm tròn đến chữ số phần chục.

Accepted Answer

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là: 11,3 Ta có: [{S_3} - {S_2} = {u_3} ] [ Rightarrow {u_3} = 13 - 4 = 9 ] [ Rightarrow {u_1}.{q^2} = 9 ] [ Rightarrow {u_1} = frac{9}{{{q^2}}}. ] Vì [{S_2} = 4 ] nên [{u_1} + {u_1}.q = 4 ]. Do đó, [ frac{9}{{{q^2}}} + frac{9}{{{q^4}}} = 4 ] [ Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0 ] [ Leftrightarrow q = 3 ] hoặc [q = - frac{3}{4} ]. Do [q < 0 ] nên [q = - frac{3}{4} ] thỏa mãn. Suy ra [{u_1} = frac{9}{{{q^2}}} = 16 ]. Do đó [{S_5} = frac{{{u_1} left( {1 - {q^5}} right)}}{{1 - q}} = frac{{181}}{{16}} approx 11,3 ].

Question 19

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AD\parallel BC$ và $AD = 2BC$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $SD$ thỏa mãn $SM = \frac{1}{3}SD.$ Mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ cắt cạnh bên $SC$ tại điểm $N$. Tính tỉ số $\frac{{SN}}{{SC}}.$

Accepted Answer

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là: 0,5 Gọi [F = AB cap CD ]. Nối [F ] với [M ], [FM cap SC = N ]. Khi đó, [N ] là giao điểm của [ left( {ABM} right) ] và [SC ]. Theo giả thiết, ta có [AD = 2BC ] và [AD parallel BC ] do đó [BC ] là đường trung bình của tam giác [FAD ]. Suy ra [C ] là trung điểm của [FD ]. Trong mặt phẳng [ left( {SCD} right) ] kẻ [CE parallel NM,{ rm{ }} left( {E in SD} right) ]. Do [C ] là trung điểm [FD ] nên suy ra [E ] là trung điểm [MD ] và [M ] là trung điểm [SE ]. Do [MN parallel CE ] và [M ] là trung điểm [SE ] nên [MN ] là đường trung bình của tam giác [SCE. ] Từ đó suy ra [N ] là trung điểm [SC ] và [ frac{{SN}}{{SC}} = frac{1}{2} = 0,5. ]

Question 20

Chiều cao $h\left( m \right)$ của một cabin trên vòng quay vào thời điểm $t$ giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức $h\left( t \right) = 30 + 20\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3}} \right)$. Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao $40{\rm{ }}m$ lần đầu tiên?

Accepted Answer

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là: 12,5 Để cabin đạt độ cao [40{ rm{ }}m ] thì [h left( t right) = 40 ] [ Leftrightarrow 30 + 20 sin left( { frac{{ pi t}}{{25}} + frac{ pi }{3}} right) = 40 ] [ Leftrightarrow sin left( { frac{{ pi t}}{{25}} + frac{ pi }{3}} right) = frac{1}{2} ] [ Leftrightarrow sin left( { frac{{ pi t}}{{25}} + frac{ pi }{3}} right) = sin frac{ pi }{6} ] [ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} frac{{ pi t}}{{25}} + frac{ pi }{3} = frac{ pi }{6} + k2 pi frac{{ pi t}}{{25}} + frac{ pi }{3} = frac{{5 pi }}{6} + k2 pi end{array} right. ] [ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = - frac{{25}}{6} + 50k t = frac{{25}}{2} + 50k end{array} right.,{ rm{ }}k in mathbb{Z}. ] Dễ thấy, giá trị [t > 0 ] nhỏ nhất thỏa mãn là [t = 12,5 ] giây.

Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 2

Xem trước câu hỏi