Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2

Question 1

Cho $\frac{{7\pi }}{4} < \alpha < 2\pi $. Khẳng định nào sau đây đúng?

Accepted Answer

$\cos \alpha > 0$.

Question 2

Khẳng định nào dưới đây sai?

Accepted Answer

$\cos 2a = 2\cos a - 1$.

Question 3

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Accepted Answer

Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

Question 4

Tìm nghiệm của phương trình $\cos x = - \frac{1}{2}.$

Accepted Answer

$x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

Question 5

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\{u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {{u_n} + 1} \right)\end{array} \right..$ Tìm số hạng ${u_3}.$

Accepted Answer

${u_3} = \frac{2}{3}.$

Question 6

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_1} = 2,{u_2} = 8$. Công sai của cấp số cộng là

Accepted Answer

$d = 6.$

Question 7

Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?

Accepted Answer

$3, 6, 12, 24$

Question 8

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Accepted Answer

Tứ diện có 4 mặt và 6 cạnh.

Question 9

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Mệnh đề nào sau đây sai?

![Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Mệnh đề nào sau đây sai?
 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid0-1757596363.png)

Accepted Answer

$CG$ cắt $HE$.

Question 10

Biết $\cos a = \frac{1}{3}$, $\cos b = \frac{1}{4}$. Giá trị $\cos \left( {a + b} \right) \cdot \cos \left( {a - b} \right)$ bằng

Accepted Answer

$$ - \frac{{119}}{{144}}.$$

Question 11

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} = 4$ và $d = 3$. Tổng $S$ của $20$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

$S_{20} = 650$.

Question 12

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành (xem hình vẽ). Khẳng định nào sau đây sai?

![Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành (xem hình vẽ). Khẳng định nào sau đây sai?
 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid1-1757596398.png)

Accepted Answer

$SA{\rm{//}}\left( {SCD} \right)$.

Question 13

Cho hàm số $y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(a) Tập xác định của hàm số đã cho là $\left[ { - 1;1} \right]$.

(b) Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

(c) Hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì $T = \pi $.

(d) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $\left[ {\frac{{ - \pi }}{8};\frac{\pi }{3}} \right]$ bằng $1$.

Accepted Answer

a) Sai. Tập xác định của hàm số đã cho là ( mathbb{R} ). b) Sai. Ta có (y = sin left( {2x - frac{ pi }{2}} right) = - sin left( { frac{ pi }{2} - 2x} right) = - cos 2x ). Do đó (y left( { - x} right) = - cos left( { - 2x} right) = - cos 2x = y left( x right) ). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. c) Đúng. Ta có (y = - cos 2x ) nên hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì (T = frac{{2 pi }}{2} = pi ). d) Sai. Đặt (t = 2x ). Hàm số đã cho trở thành (f left( t right) = - cos t ). Vì (x in left[ { frac{{ - pi }}{8}; frac{ pi }{3}} right] Rightarrow t in left[ { frac{{ - pi }}{4}; frac{{2 pi }}{3}} right] ). Ta có bảng biến thiên của hàm số (f left( t right) = - cos t ): Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng ( frac{1}{2} ).

Question 14

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó).

(a) Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng.

(b) Số hạng đầu của dãy số là $18$.

(c) Cấp số cộng có công sai $d = 3$.

(d) Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu 15 hàng ghế.

Accepted Answer

a) Đúng. Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng. b) Sai. Hàng thứ nhất có 15 ghế ngồi nên số hạng đầu của dãy số là 15. c) Đúng. Cấp số cộng có công sai (d = 3 ). d) Sai. Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu ({u_1} = 15 ) và công sai (d = 3 ). Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng trên là ({S_n} = frac{n}{2} left[ {2 cdot 15 + left( {n - 1} right) cdot 3} right] = frac{n}{2} left( {27 + 3n} right) ). Muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì ({S_n} = 870 ), tức là ( frac{n}{2} left( {27 + 3n} right) = 870 ). Do đó, (27n + 3{n^2} - 1740 = 0 ), suy ra (n = 20,n = - 29 ) (loại). Vậy cần phải thiết kế 20 hàng ghế.

Question 15

Rút gọn biểu thức

$$A = \cos \left( {\alpha + 26\pi } \right) - 2\sin \left( {\alpha - 7\pi } \right) - \cos 1,5\pi - \cos \left( {\alpha + \frac{{2003\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {\alpha - 1,5\pi } \right) \cdot \cot \left( {\alpha - 8\pi } \right)$$

ta được kết quả là $a\sin \alpha + b\cos \alpha $$\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó $3a + b$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Ta có [A = cos left( { alpha + 26 pi } right) - 2 sin left( { alpha - 7 pi } right) - cos left( {1,5 pi } right) - cos left( { alpha + 2003 frac{ pi }{2}} right) + cos left( { alpha - 1,5 pi } right) cdot cot left( { alpha - 8 pi } right) ] [ = cos alpha - 2 sin left( { alpha - pi } right) - cos left( { frac{ pi }{2}} right) - cos left( { alpha - frac{ pi }{2}} right) + cos left( { alpha + frac{ pi }{2}} right) cdot cot alpha ] [ = cos alpha + 2 sin alpha - 0 - sin alpha - sin alpha cdot cot alpha = cos alpha + sin alpha - cos alpha = sin alpha ]. Mà (A = a sin alpha + b cos alpha ) nên (a = 1, , ,b = 0 ). Từ đó ta có (3a + b = 3 ). Đáp án: 3.

Question 16

Có bao nhiêu nghiệm của phương trình $\sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1$thuộc đoạn $\left[ {0;2\pi } \right]$?

Accepted Answer

Ta có ( sqrt 2 cos left( {x + frac{ pi }{3}} right) = 1 Leftrightarrow cos left( {x + frac{ pi }{3}} right) = frac{{ sqrt 2 }}{2} = cos frac{ pi }{4} ) ( Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{x + frac{ pi }{3} = frac{ pi }{4} + k2 pi } {x + frac{ pi }{3} = - frac{ pi }{4} + k2 pi } end{array}} right. Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{x = - frac{ pi }{{12}} + k2 pi } {x = - frac{{7 pi }}{{12}} + k2 pi } end{array} quad left( {k in mathbb{Z}} right)} right. ). Vì (x in left[ {0;2 pi } right] ) nên chọn (k = 1 ) hay (x = frac{{ - pi }}{{12}} + 2 pi = frac{{23 pi }}{{12}}; , ,x = - frac{{7 pi }}{{12}} + 2 pi = frac{{17 pi }}{{12}} ). Vậyphương trình ( sqrt 2 { rm{cos}} left( {x + frac{ pi }{3}} right) = 1 )có 2 nghiệm thuộc đoạn ( left[ {0;2 pi } right] ). Đáp án: 2.

Question 17

Một công ty phần mềm tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu tiên là $300$ triệu đồng và cam kết tăng thêm $5\% $ lương mỗi năm so với năm liền kề nếu hoàn thành tốt công việc được giao. Tính tổng số tiền lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty $10$ năm biết rằng người đó luôn hoàn thành tốt công việc (*làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị triệu đồng*).

Accepted Answer

Lương hằng năm (triệu đồng) của chuyên gia lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu ({u_1} = 300 ) và công bội (q = 1 + 5 % = 1,05 ). Tổng số tiền lương của chuyên gia đó sau (10 ) năm bằng tổng của (10 ) số hạng đầu của cấp số nhân trên. Vậy ({S_{10}} = frac{{{u_1} left( {1 - {q^{10}}} right)}}{{1 - q}} = frac{{300 left[ {1 - {{ left( {1,05} right)}^{10}}} right]}}{{1 - 1,05}} approx 3773 ) (triệu đồng). Đáp án: 3773.

Question 18

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BC, CD, SA$. Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ là một đa giác có bao nhiêu cạnh?

Accepted Answer

5

Question 19

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thuỷ triều. Độ sâu $h\,\,{\rm{(m)}}$ của mực nước trong kênh tính theo thời gian $t$ (giờ) trong một ngày $(0 \le t < 24)$ cho bởi công thức $h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12$. Tìm $t$ để độ sâu của mực nước là $15{\rm{\;m}}$.

Accepted Answer

Để độ sâu của mực nước là (15{ rm{ ;m}} ) thì: (h = 3 cos left( { frac{{ pi t}}{6} + 1} right) + 12 = 15 Leftrightarrow cos left( { frac{{ pi t}}{6} + 1} right) = 1 Leftrightarrow frac{{ pi t}}{6} + 1 = k2 pi , , left( {k in mathbb{Z}} right) Leftrightarrow t = - frac{6}{ pi } + 12k , , left( {k in mathbb{Z}} right) ). Do (0 le t < 24{ rm{ n ^e n }}0 le - frac{6}{ pi } + 12k < 24 ) ( Leftrightarrow frac{6}{ pi } le 12k < 24 + frac{6}{ pi } Leftrightarrow frac{1}{{2 pi }} le k < 2 + frac{1}{{2 pi }} ). Mà (k in mathbb{Z} ) nên (k in left { {1 ,;2} right } ). Với [k = 1 ] thì (t = - frac{6}{ pi } + 12 cdot 1 approx 10,09 ) (giờ); Với [k = 2 ] thì (t = - frac{6}{ pi } + 12 cdot 2 approx 22,09 ) (giờ). Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.

Question 20

Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài $150{\rm{\;m}}$. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng $60\% $ so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình vẽ).

![Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài \(150{\rm{\;m (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid4-1757596502.png)

Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 15 lần kéo lên và lại rơi xuống.

Accepted Answer

Gọi ({u_1} left( { rm{m}} right) ) là quãng đường người chơi rơi xuống ở lần thứ nhất, ta có ({u_1} = 150 ); ({v_1} left( { rm{m}} right) ) là quãng đường người chơi được kéo lên ở lần thứ nhất, ta có: ({v_1} = 150 cdot 0,6 = 90 ). ({u_2} left( { rm{m}} right) ) là quãng đường người chơi rơi xuống ở lần thứ hai, ta có ({u_2} = {v_1} = 0,6{u_1} ); ({v_2} left( { rm{m}} right) ) là quãng đường người chơi được kéo lên ở lần thứ hai, ta có: ({v_2} = 0,6{u_2} = 0,6{v_1} ). Như vậy, ta có hai cấp số nhân đều có công bội (0,6 ) là: ({u_1},{u_2},..,{u_{15}} ) và ({v_1},{v_2},..,{v_{15}} ) với ({u_1} = 150 ) và ({v_1} = 90. ) Ta có ({u_1} + {u_2} + ... + {u_{15}} = 150 cdot left( { frac{{1 - 0,{6^{15}}}}{{1 - 0,6}}} right) ); ({v_1} + {v_2} + ... + {v_{15}} = 90 cdot left( { frac{{1 - 0,{6^{15}}}}{{1 - 0,6}}} right) ). Vậy quãng đường người đó đi được sau 15 lần rơi xuống và lại được kéo lên (tính từ lúc bắt đầu nhảy) là: ( left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{15}}} right) + left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_{15}}} right) = 240 cdot left( { frac{{1 - 0,{6^{15}}}}{{1 - 0,6}}} right) approx 600 left( { rm{m}} right). )

Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2

Xem trước câu hỏi