Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3

Question 1

Đổi số đo của góc $\frac{\pi }{{12}}{\rm{ rad}}$ sang đơn vị độ ta được góc có số đo bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

$15^\circ $.

Question 2

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Accepted Answer

$\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b.$

Question 3

Khẳng định nào sau đây sai?

Accepted Answer

Tập giá trị của hàm số $y = \tan x$ là $\left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right).$

Question 4

Nghiệm của phương trình $\tan 3x = \tan x$ là

Accepted Answer

$x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}.$

Question 5

Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số giảm?

Accepted Answer

$13;11;8;7;5$.

Question 6

Dãy số nào sau đây không phải là một cấp số cộng?

Accepted Answer

$1; - 1;1; - 1;1;.....$.

Question 7

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 81$ và ${u_4} = 3$. Công bội $q$ của cấp số nhân là

Accepted Answer

$\frac{1}{3}.$

Question 8

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD.$ Điểm $M$ thuộc cạnh $SC.$ Trong các mặt phẳng sau, điểm $M$ nằm trên mặt phẳng nào?

Accepted Answer

$\left( {SAC} \right).$

Question 9

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $I,\,\,J$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$. Đường thẳng $IJ$ song song với đường thẳng nào?

Accepted Answer

$AC$.

Question 10

Cho $\cos \alpha = \frac{3}{4}$. Tính $\cos 2\alpha $.

Accepted Answer

$\cos 2\alpha = \frac{1}{8}$.

Question 11

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = - 1,\,q = - \frac{1}{{10}}$. Số $\frac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ mấy của dãy?

Accepted Answer

Số hạng thứ 104.

Question 12

Cho tứ diện $ABCD$, gọi $G$ và $E$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABD$ và $ABC$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Accepted Answer

$GE{\rm{//}}CD$.

Question 13

Cho phương trình $2\sin x = - \sqrt 2 $ (*).

(a) Phương trình (*) tương đương với phương trình $\sin x = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)$.

(b) Phương trình (*) có các nghiệm là $x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;x = \frac{\pi }{4} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

(c) Phương trình (*) có nghiệm dương nhỏ nhất bằng $\frac{\pi }{4}$.

(d) Số nghiệm của phương trình (*) trong khoảng $\left( { - \pi ;\pi } \right)$ là $1$ nghiệm.

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có (2 sin x = - sqrt 2 Leftrightarrow sin x = frac{{ - sqrt 2 }}{2} Leftrightarrow sin x = sin left( { - frac{ pi }{4}} right) ). b) Sai. Ta có ( sin x = sin left( { - frac{ pi }{4}} right) ) ( Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{x = - frac{ pi }{4} + k2 pi } {x = pi + frac{ pi }{4} + k2 pi } end{array} left( {k in mathbb{Z}} right) Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{x = - frac{ pi }{4} + k2 pi } {x = frac{{5 pi }}{4} + k2 pi } end{array} left( {k in mathbb{Z}} right).} right.} right. ) Vậy phương trình có các nghiệm là: (x = - frac{ pi }{4} + k2 pi ;x = frac{{5 pi }}{4} + k2 pi , , left( {k in mathbb{Z}} right) ). c) Sai. Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng ( frac{{5 pi }}{4} ). d) Sai. Số nghiệm của phương trình trong khoảng ( left( { - pi ; pi } right) ) là 2 nghiệm.

Question 14

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với công bội $q < 0$ và ${u_2} = 4,{u_4} = 9$.

(a) Cấp số nhân có công bội $q = - \frac{3}{2}$.

(b) Số hạng đầu ${u_1} = - \frac{8}{3}$.

(c) Số hạng ${u_5} = \frac{{27}}{2}$.

(d) $ - \frac{{2187}}{{32}}$ là số hạng thứ 8 của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$.

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có: ({u_2} = {u_1}q = 4,{u_4} = {u_1}{q^3} = 9 Rightarrow frac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = frac{{{u_1}{q^3}}}{{{u_1}q}} Rightarrow frac{9}{4} = {q^2} Rightarrow q = - frac{3}{2} , , , left( {{ rm{do}} , ,q < 0} right) ). b) Đúng. Thay (q = - frac{3}{2} ) vào ({u_2} ), ta được: ({u_1} left( { - frac{3}{2}} right) = 4 Rightarrow {u_1} = - frac{8}{3} ). c) Sai. Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu ({u_1} = - frac{8}{3} ) và công bội (q = - frac{3}{2} ). Khi đó ({u_n} = - frac{8}{3} cdot { left( { - frac{3}{2}} right)^{n - 1}} ). Vậy ({u_5} = - frac{{27}}{2} ). d) Sai. ( - frac{{2187}}{{32}} ne - frac{8}{3} cdot { left( { - frac{3}{2}} right)^7} ) nên ( - frac{{2187}}{{32}} ) không phải là số hạng thứ 8 của cấp số nhân ( left( {{u_n}} right) ).

Question 15

Rút gọn biểu thức $A = \cos \left( {5\pi - x} \right) - \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) + \cot \left( {3\pi - x} \right)$ ta được kết quả bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

(A = cos left( {5 pi - x} right) - sin left( { frac{{3 pi }}{2} + x} right) + tan left( { frac{{3 pi }}{2} - x} right) + cot left( {3 pi - x} right) ) ( = cos left( {4 pi + pi - x} right) - sin left( {2 pi - frac{ pi }{2} + x} right) + tan left( { pi + frac{ pi }{2} - x} right) + cot left( { - x} right) ) ( = cos left( { pi - x} right) + sin left( { frac{ pi }{2} - x} right) + tan left( { frac{ pi }{2} - x} right) - cot x ) ( = - cos x + cos x + cot x - cot x = 0 ). Đáp án: 0.

Question 16

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\cos 2x = m - 1$ có nghiệm?

Accepted Answer

3

Question 17

Một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 1$, công sai $d = 4$. Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó để được tổng là $561$?

Accepted Answer

Ta có ({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + .... + {u_n} = frac{n}{2} left( {{u_1} + {u_n}} right) ) ( = frac{n}{2} left[ {2{u_1} + left( {n - 1} right)d} right] ). Thay vào ta có (561 = frac{n}{2} left[ {2 + 4 cdot left( {n - 1} right)} right] ) ( Leftrightarrow 2{n^2} - n - 561 = 0 ). Giải phương trình ta được (n = 17 ). Vậy cần lấy ra (17 ) số hạng đầu tiên của cấp số đó để được tổng là [561 ]. Đáp án: 17.

Question 18

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $BD$ và song song với $SA$, mặt phẳng $\left( \alpha \right)$cắt $SC$ tại $K$. Biết $SK = mKC$, với $m$ là số hữu tỉ. Xác định $m$.

Accepted Answer

Gọi [O ] là giao điểm của [AC ] và [BD ]. Do mặt phẳng [ left( alpha right) ]qua [BD ] nên [O in left( alpha right) ]. Trong tam giác [SAC ], kẻ [OK ] song song với [SA , , left( {K in SC} right) ]. Do [ left { begin{array}{l} left( alpha right) ,{ rm{//}} ,SA OK ,{ rm{//}} ,SA O in left( alpha right) end{array} right. Rightarrow OK subset left( alpha right) Rightarrow SC cap left( alpha right) = left { K right } ]. Trong tam giác [SAC ] ta có [ left { begin{array}{l}OK{ rm{//}}SA OA = OC end{array} right. Rightarrow OK ] là đường trung bình của [ Delta SAC ]. Suy ra [SK = KC ]. Mà theo giả thiết ta có [SK = mKC ]. Do đó [m = 1 ]. Đáp án: 1.

Question 19

Một vòng quay Mặt Trời quay quanh trục mỗi vòng hết 15 phút. Khi vòng quay quay đều, khoảng cách$h\,{\rm{(m)}}$ từ một cabin $M$ trên vòng quay đến mặt đất được tính bởi công thức $h\left( t \right) = a\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) + b$, với $t$ là thời gian quay của vòng quay tính bằng phút ($t \ge 0$). Biết rằng khi lên đến vị trí cao nhất cabin $M$ cách mặt đất $114,5$ m và khi xuống đến vị trí thấp nhất cabin $M$ cách mặt đất $0,5$ m.

(a) Tìm $a,{\rm{ }}b$.

(b) Xác định thời điểm cabin $M$ đạt được chiều cao $86$ m trong vòng quay đầu tiên tính từ thời điểm $t = 0$ (phút).

Accepted Answer

a) Ta có [ - a + b le h left( t right) = a sin left( { frac{{2 pi }}{{15}}t - frac{ pi }{2}} right) + b le a + b, forall t ]. Theo bài ra: [ left { begin{array}{l}a + b = 114,5 - a + b = 0,5 end{array} right. ] [ Leftrightarrow left { begin{array}{l}a = 57 b = 57,5 end{array} right. ]. Suy ra [h left( t right) = 57 sin left( { frac{{2 pi }}{{15}}t - frac{ pi }{2}} right) + 57,5 ]. b) Cabin (M ) đạt được chiều cao (86 ) m khi [h left( t right) = 57 sin left( { frac{{2 pi }}{{15}}t - frac{ pi }{2}} right) + 57,5 = 86 ] [ Leftrightarrow sin left( { frac{{2 pi }}{{15}}t - frac{ pi }{2}} right) = frac{1}{2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l} frac{{2 pi }}{{15}}t - frac{ pi }{2} = frac{ pi }{6} + k2 pi frac{{2 pi }}{{15}}t - frac{ pi }{2} = frac{{5 pi }}{6} + k2 pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 5 + 15k t = 10 + 15k end{array} right. , , left( {k in mathbb{Z}} right). ] Vậy trong vòng quay đầu tiên cabin (M ) đạt được chiều cao (86 ) m tại thời điểm (t = 5 ) phút hoặc (t = 10 ) phút.

Question 20

Hưởng ứng phong trào “Nuôi heo đất” của Đoàn trường THPT NHS, $43$ học sinh lớp 11A của trường đã thực hiện kế hoạch “Nuôi heo đất” như sau: Ngày đầu tiên mỗi bạn nuôi heo $2000$ đồng, từ ngày thứ hai trở đi mỗi bạn nuôi heo hơn ngày liền trước là $200$ đồng. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì số tiền nuôi heo được là $5\,658\,800$ đồng?

Accepted Answer

Gọi (n left( {n in { mathbb{N}^*}} right) )là số ngày mỗi học sinh nuôi heo đất để số tiền đạt được là [5658800 ] đồng. Vì lớp 11A có tất cả 43 học sinh nên mỗi học sinh sau n ngày đều có số tiền nuôi heo đất là: [ frac{{5658800}}{{43}} = 131600 ] đồng. Ngày đầu tiên mỗi bạn nuôi heo [2000 ] đồng, từ ngày thứ hai trở đi mỗi bạn nuôi heo hơn ngày liền trước là [200 ] đồng, do đó số tiền nuôi heo của mỗi bạn mỗi ngày trong n ngày lập thành một cấp số cộng ( left( {{u_n}} right) ) với số hạng đầu ({u_1} = 2000 ) và công sai (d = 200 ). Ta có ({S_n} = {u_1} + {u_2} + .... + {u_n} = frac{n}{2} left[ {2{u_1} + left( {n - 1} right) cdot d} right] = 131600 ) [ Leftrightarrow frac{n}{2} left[ {4000 + left( {n - 1} right) cdot 200} right] = 131600 Leftrightarrow 100{n^2} + 1900n - 131600 = 0 ]. Giải phương trình ta được (n = 28 )(loại đi (n = - 47 )vì (n in { mathbb{N}^*} )). Vậy sau (28 )ngày thì số tiền nuôi heo đất của lớp 11A thu được là [5658800 ] đồng.

Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3

Xem trước câu hỏi