Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2

Question 1

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

![Đồ thị hàm số](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid0-1757575676.png)

Accepted Answer

$\left( {3; + \infty } \right)$.

Question 2

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

![Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên R . Hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: Số điểm cực trị của hàm số là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid1-1757575759.png)

Số điểm cực trị của hàm số là

Accepted Answer

$3$.

Question 3

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn $\left[ { - 1;\,3} \right]$ như hình dưới đây.

![A diagram of a mathematical equation

Description automatically generated](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid17-1756198405.png)

Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 1;\,\,3} \right]$. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng?

Accepted Answer

$M = f\left( 0 \right)$.

Question 4

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$ và có đồ thị như hình vẽ.

![https://vted.vn/upload/editor/images/6385035589829349276KhnFkMUExC.png](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid28-1756198637.jpg)

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình

Accepted Answer

$y = 1$.

Question 5

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

![A black and white math problem

AI-generated content may be incorrect.](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid34-1756198699.png)

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

Accepted Answer

3

Question 6

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

![A math problem with numbers and arrows

Description automatically generated](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid41-1756198750.png)

Đồ thị của hàm số trên cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

Accepted Answer

$4$.

Question 7

Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} - 1$?

Accepted Answer

**A. $\left( { - 1; - 2} \right).$ **

Question 8

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương bằng vectơ $\overrightarrow {BC} $?

Accepted Answer

3

Question 9

Cho tứ diện $ABCD$, có bao nhiêu vectơ có điểm dầu là $A$ và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện?

Accepted Answer

3

Question 10

Hàm số $y = {x^3} - 3x$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Accepted Answer

$\left( -1;1 \right)$

Question 11

Đường cong nào dưới đây là đồ thị của hàm số $y = {x^3} + x + 1$?

Accepted Answer

![A graph of a function

Description automatically generated](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid72-1756199069.png)

Question 12

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Đặt $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c $. Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow {B'C} $ theo $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $?

Accepted Answer

$\overrightarrow {B'C} = - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c $

Question 13

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. G là điểm thỏa mãn vectơ GS + vectơ GA + vectơ GB + vectơ GC + vectơ GD = vectơ 0. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Sai. Ta có: ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {CD} + overrightarrow {DA} = overrightarrow {AA} = overrightarrow 0 ). b) Đúng. Vì (O ) là tâm hình bình hành (ABCD ) nên (O ) là trung điểm của (AC ) và (BD ). Khi đó, ( overrightarrow {OA} + overrightarrow {OC} = overrightarrow 0 ; , , overrightarrow {OB} + overrightarrow {OD} = overrightarrow 0 ), suy ra ( overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} + overrightarrow {OD} = overrightarrow 0 ). c) Đúng. Ta có ( left { begin{array}{l} overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} = 2 overrightarrow {SO} overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = 2 overrightarrow {SO} end{array} right. ), do đó ( overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} = overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} ). d) Sai. Ta có ( overrightarrow {GS} + overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = overrightarrow 0 ) ( Leftrightarrow overrightarrow {GS} + left( { overrightarrow {GO} + overrightarrow {OA} } right) + left( { overrightarrow {GO} + overrightarrow {OB} } right) + left( { overrightarrow {GO} + overrightarrow {OC} } right) + left( { overrightarrow {GO} + overrightarrow {OD} } right) = overrightarrow 0 ) ( Leftrightarrow overrightarrow {GS} + 4 overrightarrow {GO} + left( { overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} + overrightarrow {OD} } right) = overrightarrow 0 ) ( Leftrightarrow overrightarrow {GS} + 4 overrightarrow {GO} = overrightarrow 0 ) ( Leftrightarrow overrightarrow {GS} = 4 overrightarrow {OG} ).

Question 14

**C. TRẢ LỜI NGẮN. **Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $y = f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

![A graph of a function

Description automatically generated](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid6-1757576510.png)

Hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) + x$ đạt cực tiểu tại điểm $x$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Xét hàm số (g left( x right) = f left( x right) + x ) có (g' left( x right) = f' left( x right) + 1 ). Dựa vào đồ thị hàm số (y = f' left( x right) ), ta có: (g' left( x right) = 0 Leftrightarrow f' left( x right) = - 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0 x = 1 x = 2 end{array} right. ). Bảng biến thiên của hàm số (g left( x right) ) như sau: Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số (g left( x right) ) đạt cực tiểu tại điểm (x = 1 ). Đáp án: (1 ).

Question 15

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{2x - 1}}$, gọi $I$ là giao điểm của đường tiện cận đứng và đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, tổng hoành độ và tung độ của điểm $I$ bằng bao nhiêu (viết kết quả dưới dạng số thập phân)?

Accepted Answer

Ta có ( mathop { lim } limits_{x to {{ left( { frac{1}{2}} right)}^ + }} frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{2x - 1}} = - infty ), suy ra đường thẳng (x = frac{1}{2} ) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (y = f left( x right) ). Ta có (a = mathop { lim } limits_{x to + infty } frac{{f left( x right)}}{x} = mathop { lim } limits_{x to + infty } frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{2{x^2} - x}} = frac{1}{2} ); (b = mathop { lim } limits_{x to + infty } left( {f left( x right) - ax} right) = mathop { lim } limits_{x to + infty } left( { frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{2x - 1}} - frac{1}{2}x} right) = mathop { lim } limits_{x to + infty } frac{{ - 5x + 2}}{{4x - 2}} = - frac{5}{4} ). Suy ra đường thẳng (y = frac{1}{2}x - frac{5}{4} ) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (y = f left( x right) ). Vậy điểm (I left( { frac{1}{2}; , - 1} right) ), khi đó ( frac{1}{2} + left( { - 1} right) = - frac{1}{2} = - 0,5 ). Đáp án: ( - 0,5 ).

Question 16

Người ta cần xây dựng một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích là $150{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}.$ Đáy bể bơi là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng. Chiều rộng của đáy bể bơi bằng bao nhiêu mét để khi thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)?

Accepted Answer

Gọi chiều rộng của đáy bể bơi là (x, ,x > 0. ) Suy ra, chiều dài của đáy bể bơi là (3x. ) (h ) là chiều cao của bể bơi ( left( {h > 0} right). ) Theo giả thiết: (V = 150 Leftrightarrow h cdot 3{x^2} = 150 Leftrightarrow h = frac{{150}}{{3{x^2}}} = frac{{50}}{{{x^2}}}. ) Diện tích các mặt bên và mặt đáy bể bơi là: (S = 2hx + 6hx + 3{x^2} = 8hx + 3{x^2} = frac{{400}}{x} + 3{x^2} ). Ta có: (S' = - frac{{400}}{{{x^2}}} + 6x = frac{{6{x^3} - 400}}{{{x^2}}} ); (S' = 0 Leftrightarrow x = sqrt[3]{{ frac{{400}}{6}}} approx 4,05 ). Lập BBT suy ra S đạt GTNN khi (x = 4,05{ rm{ m}}{ rm{.}} ) Vậy chiều rộng của đáy bể bơi là (x = 4,05{ rm{ m}} ) để khi thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất. Đáp án: 4,05.

Question 17

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $2$. Tính $\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {BC} $.

![A triangle with lines and points with Great Pyramid of Giza in the background

Description automatically generated](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid9-1757576694.png)

Accepted Answer

Ta có ( overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} ) và ( left( { overrightarrow {AS} , overrightarrow {BC} } right) = left( { overrightarrow {AS} , overrightarrow {AD} } right) = widehat {SAD} = 60^ circ ). Do đó ( overrightarrow {AS} cdot overrightarrow {BC} = overrightarrow {AS} cdot overrightarrow {AD} = left| { overrightarrow {AS} } right| cdot left| { overrightarrow {AD} } right| cdot cos widehat {SAD} = AS cdot AD cdot cos 60^ circ = 2 cdot 2 cdot frac{1}{2} = 2 ). Đáp án: 2.

Question 18

**PHẦN II. TỰ LUẬN**

Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh 6 dm, bạn Nhi cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong rồi gập lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều như hình sau.

![A black and white square with a star

Description automatically generated with medium confidence](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid10-1757576731.png)

Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối?

Accepted Answer

Giả sử miếng bìa hình vuông (ABCD ), đáy của hình chóp tứ giác đều là hình vuông (MNPQ ) tâm (O ) có cạnh bằng (x ) dm ( left( {0 < x < 6 sqrt 2 } right) ) như hình vẽ. Gọi (H, ,K ) lần lượt là trung điểm của (MQ ) và (NP ). Vì (ABCD ) là hình vuông cạnh bằng 6 dm nên (AC = 6 sqrt 2 ) dm, (HK = x ) dm. Ta có (AH = frac{{AC - HK}}{2} = 3 sqrt 2 - frac{x}{2} ) dm. Đường cao của hình chóp tứ giác đều là: (h = AO = sqrt {A{H^2} - O{H^2}} = sqrt {{{ left( {3 sqrt 2 - frac{x}{2}} right)}^2} - {{ left( { frac{x}{2}} right)}^2}} = sqrt {18 - 3 sqrt 2 x} ) (dm). Thể tích của khối chóp là: (V = frac{1}{3}h{x^2} = frac{1}{3}{x^2} sqrt {18 - 3 sqrt 2 x} = frac{1}{3} sqrt {{x^4} left( {18 - 3 sqrt 2 x} right)} ) (dm3). Để tìm giá trị lớn nhất của (V ) ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số (f left( x right) = {x^4} left( {18 - 3 sqrt 2 x} right) ) với (0 < x le 3 sqrt 2 ). Ta có: (f' left( x right) = {x^3} left( { - 15 sqrt 2 x + 72} right) ), (f' left( x right) = 0 ) khi (x = 0 ) hoặc (x = frac{{12 sqrt 2 }}{5} ). Bảng biến thiên của hàm số (f left( x right) ) như sau: Từ bảng biến thiên, ta có ( mathop { max } limits_{ left( {0;3 sqrt 2 } right]} f left( x right) = f left( { frac{{12 sqrt 2 }}{5}} right) = frac{{1 ,492 ,992}}{{3125}} ). Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng ({V_{ max }} = frac{1}{3} sqrt { frac{{1 ,492 ,992}}{{3125}}} = frac{{288 sqrt {10} }}{{125}} ) (dm3).

Question 19

Dân số của một quốc gia sau $t$ năm, kể từ năm $2023$ được ước tính bởi công thức: $N\left( t \right) = 100{e^{0,012t}}$ $\left( {N\left( t \right)} \right.$được tính bằng triệu người, $\left. {0 < t \le 50} \right).$ Biết rằng đạo hàm của hàm số $N\left( t \right)$ biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm).

a) Ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2045 (đơn vị triệu người, kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

b) Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó sẽ lớn hơn $1,8$ triệu người/năm?

Accepted Answer

a) Ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2045 là: [N left( {22} right) = 100{e^{0,012 cdot 22}} approx 130,21 ] (triệu người). b) Ta có hàm tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là: [N' left( t right) = 1,2{e^{0,012t}} ]. Để tốc độ tăng dân số của quốc gia đó sẽ lớn hơn [1,8 ] triệu người/năm [ Leftrightarrow N' left( t right) = 1,2{e^{0,012t}} > 1,8 Leftrightarrow t > frac{1}{{0,012}} ln frac{3}{2} approx 33,79 ]. Vậy sau ít nhất 34 năm thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó sẽ lớn hơn [1,8 ] triệu người/năm.

Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2

Xem trước câu hỏi