Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3

Question 1

**PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN**

**A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

![A graph of a function

AI-generated content may be incorrect.](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid0-1757577492.png)

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào?

Accepted Answer

$\left( {0; 2} \right)$

Question 2

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

**

![A math problem with numbers and arrows

AI-generated content may be incorrect.](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid1-1756387831.png)

**

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

Accepted Answer

**B. 5**.

Question 3

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình dưới đây.

**

![A math problem with numbers and arrows

Description automatically generated](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid8-1756387882.png)

**

Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 10;10} \right]$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

$-38$

Question 4

Cho hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}(a,b,c,d \in \mathbb{R}$ có đồ thị là đường cong như hình dưới đây.

![A grid of white squares

AI-generated content may be incorrect.](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid17-1756387937.png)

Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là

Accepted Answer

$x = - \frac{1}{3}$.

Question 5

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{2 - x}}{{2x + 1}}$ có phương trình là:

Accepted Answer

$y = - \frac{1}{2}$

Question 6

Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

![A graph of a function

AI-generated content may be incorrect.](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid32-1756388071.png)

Đồ thị hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tọa độ

Accepted Answer

$\left( {0;\;1} \right)$

Question 7

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ và có bảng biến thiên như sau

![A diagram of a mathematical equation

AI-generated content may be incorrect.](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid39-1756388119.png)

Số nghiệm của phương trình $\frac{1}{3}f\left( x \right) + 1 = 0$ là

Accepted Answer

**D. $2.$**

Question 8

Cho tứ diện *ABCD*, gọi *I* là trung điểm của đoạn thẳng *AB*.

![A triangle with lines and letters

AI-generated content may be incorrect.](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid51-1756388187.png)

Vectơ $\overrightarrow {AI} $ cùng hướng với vectơ nào sau đây?

Accepted Answer

$\overrightarrow {AB} $.

Question 9

Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$.

![Title: 20241022132335314 - Description: \begin{tikzpicture}[scale=.7, font=\footnotesize, line join=round, line cap=round, >=stealth]
\def\bc{4} % cạnh BC
\def\ba{2} % cạnh BA
\def\gocB{35} % góc B của đáy
\coordinate[label=below left:$B$] (B) at (0,0);
\coordinate[label=above left:$A$] (A) at (\gocB:\ba);
\coordinate[label=below:$C$] (C) at (\bc,0);
\coordinate[label=right:$D$] (D) at ($(C)-(B)+(A)$);
\coordinate[label=above left:$A'$] (A') at ($(A)+(90:\bc)$);
\coordinate[label=left:$B'$] (B') at ($(B)-(A)+(A')$);
\coordinate[label=below right:$C'$] (C') at ($(C)-(A)+(A')$);
\coordinate[label=right:$D'$] (D') at ($(D)-(A)+(A')$);
\draw (B')--(B)--(C)--(D)--(D')--(A')--(B')--(C')--(D') (C)--(C');
\draw[dashed] (A')--(A)--(D) (A)--(B);
\foreach \diem in {A,B,C,D,A',B',C',D'} \fill (\diem)circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid58-1756388228.png)

Số đo góc $\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {B'D'} } \right)$ bằng

Accepted Answer

45°

Question 10

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$và có đạo hàm $f'\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)$. Hàm số $y = f\left( x \right)$nghịch biến trên khoảng

Accepted Answer

$(-1; 0)$

Question 11

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

**

![A graph with numbers and symbols

AI-generated content may be incorrect.](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid74-1756388321.png)

**

Bảng biến thiên trên của hàm số nào trong các hàm số sau?

Accepted Answer

$y = \frac{{x - 3}}{{x - 1}}$

Question 12

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh 2 (tham khảo hình vẽ dưới).

![A cube with lines and a point

AI-generated content may be incorrect.](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid81-1756388368.jpg)

Độ dài vectơ $\vec u = \overrightarrow {A'C'} - \overrightarrow {A'A} $ bằng

Accepted Answer

$2\sqrt 3 $.

Question 13

**B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý **a)**, **b)**, **c)**, **d)** ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}$.

**a) **Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

**b) **Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng $ - 4$.

**c) **Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm $A\left( {0;1} \right)$.

**d) **Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho vuông góc với đường thẳng $x - 3y - 6 = 0$ đi qua điểm $B\left( { - \frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)$.

Accepted Answer

Xét hàm số (y = frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}} = x + 1 + frac{1}{{x + 2}} ). – Tập xác định của hàm số là ( mathbb{R} backslash left { { - 2} right } ). – Ta có (y' = frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{ left( {x + 2} right)}^2}}} ); (y' = 0 ) khi (x = - 3 ) hoặc (x = - 1 ). Bảng biến thiên của hàm số như sau: a) Sai. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng ( left( { - infty ; - 3} right) ) và ( left( { - 1; + infty } right) ). b) Sai. Hàm số đã cho đạt cực đại tại (x = - 3 ), ; đạt cực tiểu tại (x = - 1 ), ({y_{CT}} = 1 ). Suy ra . c) Đúng.Tiệm cận: +) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng (x = - 2 ). +) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng (y = x + 1 ). Với (x = 0 ) thì (y = 0 + 1 = 1 ), do đó đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm (A left( {0;1} right) ). d) Đúng. Đường thẳng (x - 3y - 6 = 0 ) ( Leftrightarrow y = frac{1}{3}x - 2 ) có hệ số góc ({k_1} = frac{1}{3} ). Đường thẳng này vuông góc với tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho nên tiếp tuyến này có hệ số góc ({k_2} = frac{{ - 1}}{{{k_1}}} = - 3 ). Khi đó, với ({x_0} ) là hoành độ của tiếp điểm thì (y' left( {{x_0}} right) = frac{{x_0^2 + 4{x_0} + 2}}{{{{ left( {{x_0} + 2} right)}^2}}} = - 3 ). Ta tìm được ({x_0} = - frac{5}{2} ) hoặc ({x_0} = - frac{3}{2} ). +) Với ({x_0} = - frac{5}{2} ), ta có tiếp tuyến: (y = - 3x - 11 ). +) Với ({x_0} = - frac{3}{2} ), ta có tiếp tuyến: (y = - 3x - 3 ), tiếp tuyến này đi qua điểm (B left( { - frac{3}{2}; frac{3}{2}} right) ).

Question 14

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC = AB = AC = 1$ và $BC = \sqrt 2 $.

**

![A triangle with a line and a point

Description automatically generated with medium confidence](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid3-1757578279.png)

**

**a)** $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SC} $.

**b)** $\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt 2 $.

**c)** $\overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}$.

**d) **$\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}$.

Accepted Answer

a) Đúng. Theo quy tắc ba điểm, ta có: ( overrightarrow {SA} + overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {SB} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {SC} ). b) Sai. Ta có ( left| { overrightarrow {SA} } right| = SA = 1; , , left| { overrightarrow {AB} } right| = AB = 1; , , left| { overrightarrow {BC} } right| = BC = sqrt 2 ). c) Sai. Từ giả thiết, ta thấy tam giác (ABC ) vuông tại (A ) và tam giác (SAB ) đều. Do đó, ( overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC} = 0 ) và ( left( { overrightarrow {SA} , , overrightarrow {AB} } right) = 180^ circ - widehat {SAB} = 120^ circ ). Ta có: [ overrightarrow {SC} cdot overrightarrow {AB} = left( { overrightarrow {SA} + overrightarrow {AC} } right) cdot overrightarrow {AB} = overrightarrow {SA} cdot overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} cdot overrightarrow {AB} ] ( = overrightarrow {SA} cdot overrightarrow {AB} = left| { overrightarrow {SA} } right| cdot left| { overrightarrow {AB} } right| cdot cos 120^ circ = - frac{1}{2} ). d) Sai. Ta có: ( cos left( { overrightarrow {SC} , , overrightarrow {AB} } right) = frac{{ overrightarrow {SC} cdot , overrightarrow {AB} }}{{ left| { overrightarrow {SC} } right| cdot , left| { overrightarrow {AB} } right|}} = frac{{ - frac{1}{2}}}{{1 cdot 1}} = - frac{1}{2} ).

Question 15

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 900 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: N(t) = 900 + (100t)/(100 + t^2) (con), trong đó t là thời gian tính bằng giây (t >= 0). Trong khoảng thời gian (a; b) từ lúc nuôi cấy thì số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên. Tính 3a + 2b.

Accepted Answer

20

Question 16

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị $\left( C \right)$. Biết $y = f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ và tâm đối xứng của đồ thị $\left( C \right)$ thuộc trục hoành. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị $\left( C \right)$. (Quy tròn kết quả đến hàng phần trăm).

![Đồ thị hàm số đạo hàm](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid5-1757578399.png)

Accepted Answer

4,81

Question 17

Gọi $m$, $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right) = 2x + \cos \frac{{\pi x}}{2}$ trên đoạn $\left[ { - 2\,;\,2} \right]$. Tính giá trị của biểu thức $m + M$.

Accepted Answer

Ta có [f' left( x right) = 2 - frac{ pi }{2} sin frac{{ pi x}}{2} > 0, , , forall x Rightarrow f left( x right) ] đồng biến trên ( left[ { - 2 ,; ,2} right] ). Khi đó (m + M = f left( { - 2} right) + f left( 2 right) = - 4 - 1 + 4 - 1 = - 2 ). Đáp án: −2.

Question 18

Cho hình chóp $S.ABC$. Trên cạnh $SA$, lấy điểm $M$ sao cho $SM = 2AM$. Trên cạnh $BC$, lấy điểm $N$ sao cho $CN = 2BN$. Khi đó $\overrightarrow {MN} = \frac{a}{b}\overrightarrow {AB} + \frac{c}{b}\overrightarrow {SC} $ với $\,\frac{a}{b},\frac{c}{b}$ là các phân số tối giản. Tổng $a + b + c$ bằng bao nhiêu?

**

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid6-1757578510.dat)

**

Accepted Answer

Ta có [ overrightarrow {MN} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {AB} + overrightarrow {BN} Rightarrow 2 overrightarrow {MN} = 2 overrightarrow {MA} + 2 overrightarrow {AB} + 2 overrightarrow {BN} ]. Lại có [ overrightarrow {MN} = overrightarrow {MS} + overrightarrow {SC} + overrightarrow {CN} ]. Suy ra (3 overrightarrow {MN} = left( {2 overrightarrow {MA} + overrightarrow {MS} } right) + left( {2 overrightarrow {BN} + overrightarrow {CN} } right) + 2 overrightarrow {AB} + overrightarrow {SC} = 2 overrightarrow {AB} + overrightarrow {SC} ). Khi đó, [ overrightarrow {MN} = frac{2}{3} overrightarrow {AB} + frac{1}{3} overrightarrow {SC} Rightarrow a = 2,b = 3, ,c = 1 Rightarrow a + b + c = 6 ]. Đáp án: 6.

Question 19

**PHẦN II. TỰ LUẬN**

Một người đang ở tại điểm $A$ trên sa mạc. Ông ta muốn đến điểm $B$ và cách $A$ một đoạn là $70$km. Trong sa mạc thì xe ông ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc $30$ km/h. Ông ấy phải đến được điểm $B$ trong 2 giờ. Biết rằng có một con đường nhựa $HK$ song song với $AB$ và cách$AB$ một đoạn $10$ km. Trên đường nhựa này thì xe ông ấy có thể di chuyển với vận tốc $50$ km/h . Để đến $B$ sớm nhất (đảm bảo trong khung giờ cho phép) thì ông phải đi theo con đường nào?

![A yellow rectangle with black text

Description automatically generated](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid144-1756388880.png)

Accepted Answer

Thời gian nếu đi trực tiếp từ A đến B trên sa mạc là ( frac{{70}}{{30}} = frac{7}{3} > 2 ). Do đó, nhà địa chất học không thể đến đúng thời gian quy định. Vì vậy cần thiết phải chia quãng đường đi được thành 3 giai đoạn: (A to C to D to B ). Đặt (HC = x , , left( {0 < x < 70} right);DK = y , , left( {0 < y < 70} right) ). Thời gian đi từ (A to C ) là ( frac{{ sqrt {{{10}^2} + {x^2}} }}{{30}} ). Thời gian đi từ (C to D ) là ( frac{{70 - left( {x + y} right)}}{{50}} ). Thời gian đi từ (D to B ) là ( frac{{ sqrt {{{10}^2} + {y^2}} }}{{30}} ). Tổng thời gian đi từ (A to B ) theo cách này là: ( frac{{ sqrt {{{10}^2} + {x^2}} }}{{30}} + frac{{70 - left( {x + y} right)}}{{50}} + frac{{ sqrt {{{10}^2} + {y^2}} }}{{30}} = frac{{ sqrt {{{10}^2} + {x^2}} }}{{30}} + frac{{35 - x}}{{50}} + frac{{ sqrt {{{10}^2} + {y^2}} }}{{30}} + frac{{35 - y}}{{50}} = f left( x right) + f left( y right) ). Xét (f left( u right) = frac{{ sqrt {{{10}^2} + {u^2}} }}{{30}} + frac{{35 - u}}{{50}} ), (0 < u < 70 ). Ta có (f' left( u right) = frac{u}{{30 sqrt {{{10}^2} + {u^2}} }} - frac{1}{{50}};f' left( u right) = 0 Rightarrow u = frac{{15}}{2} ). Lập bảng biến thiên ta được ( mathop { min } limits_{u in left( {0;70} right)} f left( u right) = f left( { frac{{15}}{2}} right) = frac{{29}}{{30}} ). Khi đó (f left( x right) + f left( y right) ge frac{{29}}{{30}} + frac{{29}}{{30}} = frac{{29}}{{15}} approx 1,93 ). Dấu “=” xảy ra khi (x = y = frac{{15}}{2} ). Vậy để đến B sớm nhất thì ông ta phải đi trên đoạn AC một khoảng 12,5 km, đoạn CD một khoảng 45 km và đi trên đoạn DB một khoảng 12,5 km.

Question 20

Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích $V$ (tính theo lít) của lượng xăng trong bình xăng được tính theo thời gian bơm xăng $t$ (phút) được cho bởi công thức:

$V\left( t \right) = 300\left( {{t^2} - {t^3}} \right) + 4,5$ với $0 \le t \le 0,5$.

Gọi $V\prime \left( t \right)$ là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm $t$ với $0 \le t \le 0,5$. Biết $1$ lít xăng có giá là $21\,000$ đồng.

a) Biết rằng sau khi bơm $30$ giây thì bình xăng đầy, hỏi người mua phải trả bao nhiêu tiền?

b) Khi xăng chảy vào bình xăng thì tốc độ tăng thể tích là lớn nhất vào thời điểm nào?

Accepted Answer

a) Lượng xăng ban đầu trong bình ban đầu là (V left( 0 right) = 300 left( {{0^2} - {0^3}} right) + 4,5 = 4,5 )lít. Ta có (30 , ,{ rm{s}} = 0,5 , ,{ rm{ph 'u t}} ). Suy ra (V left( {0,5} right) = 300 left( {0,{5^2} - 0,{5^3}} right) + 4,5 = 42 ) lít. Khi đó số xăng đã mua là (42 - 4,5 = 37,5 ) lít. Vậy số tiền người mua phải trả là (37,5 cdot 21 ,000 = 787 ,500 ) đồng. b) Xét hàm số (V' left( t right) = 300 left( {2t - 3{t^2}} right) ) với (0 le t le 0,5 ). Ta có (V'' left( t right) = 300 left( {2 - 6t} right) ). Khi đó (V'' left( t right) = 0 Leftrightarrow 300 left( {2 - 6t} right) = 0 Leftrightarrow t = frac{1}{3} in left( {0;0,5} right) ). (V' left( 0 right) = 0 ); (V' left( { frac{1}{3}} right) = 100 ); (V' left( {0,5} right) = 75 ). Vậy ( mathop { max } limits_{t in left[ {0;0,5} right]} V' left( t right) = V' left( { frac{1}{3}} right) = 100 ). Suy ra tại thời điểm ở giây thứ ( frac{1}{3} cdot 60 = 20 ) thì tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.

Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3

Xem trước câu hỏi