Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4

Question 1

**PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN**

**A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

![Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid0-1757579177.png)

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Accepted Answer

$\left( {3; + \infty } \right)$.** **

Question 2

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.

![A graph of a function

Description automatically generated](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid1-1757579242.png)

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là

Accepted Answer

$\left( { - 1; - 1} \right)$

Question 3

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là **sai?**

**

![A math problems with numbers and arrows

AI-generated content may be incorrect.](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid19-1756394305.png)

**

Accepted Answer

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có giá trị lớn nhất bằng $ - 1$.

Question 4

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}$ là đường thẳng có phương trình

Accepted Answer

$x = -1$

Question 5

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên được cho dưới đây.

![A diagram of a mathematical equation

Description automatically generated with medium confidence](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid33-1756394386.png)

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là

Accepted Answer

2

Question 6

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình sau:

![A diagram of a mathematical equation

AI-generated content may be incorrect.](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid39-1756394427.png)

Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là

Accepted Answer

**D****. 1**.

Question 7

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

![A graph of a function

AI-generated content may be incorrect.](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid44-1756394465.png)

Accepted Answer

$y = \frac{x}{{x - 1}}$

Question 8

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Chọn khẳng định đúng.

Accepted Answer

$\overrightarrow {SB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DS} $

Question 9

Cho $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow 0 $. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Accepted Answer

$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|$.

Question 10

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 1$. Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

Accepted Answer

**D. 3**.

Question 11

Hàm số nào có bảng biến thiên như hình dưới đây?

![A diagram of a mathematical equation

AI-generated content may be incorrect.](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid74-1756394669.jpg)

Accepted Answer

$y = - \frac{7}{4}{x^3} + \frac{{21}}{2}{x^2} - \frac{{63}}{4}x + 7$

Question 12

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Gọi $O,O'$ lần lượt là tâm của hình vuông $ABCD$ và $A'B'C'D'$. Độ dài vec tơ $\overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OC'} + \overrightarrow {OD'} $ bằng

Accepted Answer

$4a$

Question 13

Cho hàm số $y = \frac{x^2 - 3x + 5}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -1$.

b) Đường thẳng $y = x + 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$.

c) Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-4; -1)$ và $(-1; 2)$.

d) Đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $y = 2x + 3$.

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có ( mathop { lim } limits_{x to - {1^ + }} f left( x right) = mathop { lim } limits_{x to - {1^ + }} frac{{{x^2} - 3x + 5}}{{x + 1}} = + infty ) và ( mathop { lim } limits_{x to - {1^ - }} f left( x right) = mathop { lim } limits_{x to - {1^ - }} frac{{{x^2} - 3x + 5}}{{x + 1}} = - infty ). Nên đồ thị ( left( C right) ) có tiệm cận đứng là đường thẳng (x = - 1 ). b) Sai. Ta có (y = frac{{{x^2} - 3x + 5}}{{x + 1}} = x - 4 + frac{9}{{x + 1}} ). Khi đó, ( mathop { lim } limits_{x to + infty } left[ {f left( x right) - left( {x - 4} right)} right] = 0 ). Do đó, tiệm cận xiên của ( left( C right) ) là đường thẳng (y = x - 4 ). c) Đúng. TXĐ: (D = mathbb{R} backslash left { { - 1} right } ). Ta có (y' = frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{{ left( {x + 1} right)}^2}}} ). Giải (y' = 0 ), ta được (x = - 4 ) và (x = 2 ). Bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng và ( left( { - 1;2} right) ). d) Sai. Từ BBT suy ra đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là (A left( { - 4; - 11} right),B left( {2 ,;1} right) ). Vậy đường thẳng qua 2 điểm cực trị là ( frac{{x - 2}}{{2 - left( { - 4} right)}} = frac{{y - 1}}{{1 - left( { - 11} right)}} Leftrightarrow frac{{x - 2}}{6} = frac{{y - 1}}{{12}} ) ( Rightarrow 12x - 24 = 6y - 6 Leftrightarrow y = 2x - 3 ).

Question 14

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ và $AB = a$, $AD = b$, $AA' = c$. Gọi $M$ là trung điểm của $B'C'$ và $G$ là trọng tâm tam giác $DC'D'$.

![A diagram of a rectangle with lines and letters

Description automatically generated](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid7-1757579914.png)

**a) **Có 3 vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp chữ nhật bằng $\overrightarrow {AB} $.

**b) **$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} $.

**c) **$\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} $ và $AG = \sqrt {\frac{1}{9}{a^2} + \frac{4}{9}{c^2} + {b^2}} $.

**d) **$\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AG} = \frac{1}{6}{a^2} + {b^2} + \frac{2}{3}{c^2}$.

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có ( overrightarrow {AB} = overrightarrow {A'B'} = overrightarrow {D'C'} = overrightarrow {DC} ). b) Sai. Vì ( overrightarrow {A'B'} = overrightarrow {AB} ) (do (ABB'A' ) là hình bình hành), [ overrightarrow {B'M} = frac{1}{2} overrightarrow {B'C'} = frac{1}{2} overrightarrow {AD} ] (do (M ) là trung điểm của (B'C' ), và (ADC'B' ) là hình bình hành). Nên ta có: ( overrightarrow {AM} = overrightarrow {AA'} + overrightarrow {A'B'} + overrightarrow {B'M} = overrightarrow {AA'} + overrightarrow {AB} + frac{1}{2} overrightarrow {AD} ). c) Đúng. Ta có: (3 overrightarrow {AG} = overrightarrow {AD} + overrightarrow {AD'} + overrightarrow {AC'} ) (vì (G ) là trọng tâm tam giác (DC'D' )). Mà ( overrightarrow {AD'} = overrightarrow {AA'} + overrightarrow {AD} ) (vì (ADD'A' ) là hình bình hành), ( overrightarrow {AC'} = overrightarrow {AA'} + overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} ) (do (ABCD.A'B'C'D' ) là hình hộp). Nên (3 overrightarrow {AG} = overrightarrow {AB} + 2 overrightarrow {AA'} + 3 overrightarrow {AD} Rightarrow overrightarrow {AG} = frac{1}{3} overrightarrow {AB} + frac{2}{3} overrightarrow {AA'} + overrightarrow {AD} ). Bình phương 2 vế và lưu ý ( overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AA'} = overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AD} = overrightarrow {AD} cdot overrightarrow {AA'} = 0 ) (các vectơ đôi một vuông góc) ta có: (A{G^2} = frac{1}{9}A{B^2} + frac{4}{9}A{A'^2} + A{D^2} = frac{1}{9}{a^2} + frac{4}{9}{c^2} + {b^2} ) ( Rightarrow AG = sqrt { frac{1}{9}{a^2} + frac{4}{9}{c^2} + {b^2}} ). d) Sai. Vì ( overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AA'} = overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AD} = overrightarrow {AD} cdot overrightarrow {AA'} = 0 ) (các vectơ đôi một vuông góc). Nên ta có: ( overrightarrow {AM} cdot overrightarrow {AG} = left( { overrightarrow {AB} + frac{1}{2} overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA'} } right) cdot left( { frac{1}{3} overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + frac{2}{3} overrightarrow {AA'} } right) ) ( = frac{1}{3}A{B^2} + frac{1}{2}A{D^2} + frac{2}{3}A{A'^2} ) ( = frac{1}{3}{a^2} + frac{1}{2}{b^2} + frac{2}{3}{c^2} ).

Question 15

Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong x (tháng) được tính theo công thức S(x) = 500(3 - 7/(3 + x)), trong đó x >= 1. Số lượng sản phẩm được bán của công ty đó trong x (tháng) khi x đủ lớn gần bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

1500

Question 16

Cho hàm số bậc ba $y = {x^3} + a{x^2} + bx + c$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

![A graph of function and a line

AI-generated content may be incorrect.](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid8-1757580089.png)

Tính giá trị của $S = a + 2b + 3c$.

Accepted Answer

Ta có [y' = 3{x^2} + 2ax + b ]. Đồ thị hàm số đi qua điểm [ left( {0;2} right) ]; hàm số có hai điểm cực trị là [x = 0 ] và [x = 2 ], nên ta có hệ phương trình: [ left { begin{array}{l}c = 2 b = 0 12 + 4a + b = 0 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}a = - 3 b = 0 c = 2 end{array} right. ]. Vậy [a + 2b + 3c = - 3 + 6 = 3 ]. Đáp án: 3.

Question 17

Gọi $M,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \sqrt {2 - {x^2}} $.

Tính $M - \sqrt 2 \cdot m$.

Accepted Answer

Điều kiện: (2 - {x^2} ge 0 Leftrightarrow - sqrt 2 le x le sqrt 2 ). Tập xác định của hàm số (y = x + sqrt {2 - {x^2}} ) là (D = left[ { - sqrt 2 ; , sqrt 2 } right] ). Ta có (y' = 1 - frac{x}{{ sqrt {2 - {x^2}} }} ). (y' = 0 Leftrightarrow sqrt {2 - {x^2}} = x Rightarrow x = 1 in left( { - sqrt 2 ; , sqrt 2 } right) ). (y left( { - sqrt 2 } right) = - sqrt 2 ); (y left( { sqrt 2 } right) = sqrt 2 ); (y left( 1 right) = 2 ). Khi đó, [M = max y = y left( 1 right) = 2; , ,m = min y = y left( { - sqrt 2 } right) = - sqrt 2 ]. Vậy (M - sqrt 2 cdot m = 2 - sqrt 2 cdot , left( { - sqrt 2 } right) = 4 ). Đáp án: 4.

Question 18

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\sqrt 3 ,\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 3$. Tính $\left| {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|$.

Accepted Answer

6

Question 19

**PHẦN II. TỰ LUẬN**

Cho hai vị trí $A,B$ cách nhau $615\,{\rm{m}}$, cùng nằm về một phía bờ sông. Khoảng cách từ $A$ và $B$ đến bờ sông lần lượt là $118\,{\rm{m}}$ và $487\,{\rm{m}}$. Một người đi từ $A$ đến bờ sông để lấy nước mang về $B$. Xác định độ dài đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi.

Accepted Answer

Gọi [E,F ] là hình chiếu của [A,B ] trên bờ sông. [D ] là hình chiếu của [A ] trên [BF ]. Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác [ADB ] ta có [AD = sqrt {A{B^2} - B{D^2}} = sqrt {{{615}^2} - {{ left( {487 - 118} right)}^2}} = 492 , ,{ rm{m}} ]. Đặt [EM = x , left( {0 le x le 492} right) ] ta có quãng đường mà người đi lấy nước phải đi là [S = AM + MB = sqrt {{{118}^2} + {x^2}} + sqrt {{{ left( {492 - x} right)}^2} + {{487}^2}} = sqrt {{{118}^2} + {x^2}} + sqrt {{x^2} - 984x + 479233} ]. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số [f left( x right) = sqrt {{{118}^2} + {x^2}} + sqrt {{x^2} - 984x + 479233} ] trên đoạn [ left[ {0;492} right] ]. Cách 1: Sử dụng máy tính dừng chức năng TABLE thu được [ mathop {{ rm{min}}} limits_{ left[ {0;492} right]} f left( x right) = 779,8 ,{ rm{m}} ]. Cách 2: Ta có [f' left( x right) = frac{x}{{ sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} + frac{{x - 492}}{{ sqrt {{x^2} - 984x + 479233} }} ] [f' left( x right) = 0 Leftrightarrow frac{x}{{ sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} = frac{{492 - x}}{{ sqrt {{x^2} - 984x + 479233} }} Rightarrow 223245{x^2} + 13701216x - 13924 cdot 242064 = 0 ] [ Rightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{{58056}}{{605}} x = - frac{{472}}{3} ; left( l right) end{array} right. Rightarrow x = frac{{58056}}{{605}} ]. Ta có BBT: Vậy [ mathop {{ rm{min}}} limits_{ left[ {0;492} right]} f left( x right) = f left( { frac{{58056}}{{605}}} right) approx 779,8 ,{ rm{m}} ].

Question 20

Một thùng rác thông minh cảm ứng tự động đóng mở dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là 2000 cm3. Thùng rác được làm bằng nhựa ABS có độ bền cao, chịu nhiệt, cách điện, chống nước. Để lượng vật liệu dùng để sản xuất thùng rác là nhỏ nhất thì chiều cao của chiếc hộp bằng bao nhiêu?

![Thùng rác thông minh](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid175-1756395138.jpg)

Accepted Answer

10 cm

Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4

Xem trước câu hỏi