Đề chính thức thi Toán Tốt nghiệp 2025 có đáp án (Mã đề 103)

Question 1

**PHẦN I.**** Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.**

Trong không gian với hệ tọa độ

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid0-1751623847.png)

, cho đường thẳng

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid1-1751623847.png)

. Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid2-1751623847.png)

?

Accepted Answer

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid4-1751623854.png)

Question 2

Cho hình hộp

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid7-1751623909.png)

(xem hình dưới). Đường thẳng

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid8-1751623909.png)

song song với mặt phẳng nào sau đây?

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid9-1751623909.png)

Accepted Answer

Mặt phẳng (A'B'C'D').

Question 3

Nghiệm của phương trình

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid14-1751623943.png)

là

Accepted Answer

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid17-1751623950.png)

.

Question 4

Cho cấp số cộng

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid25-1751623975.png)

có

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid26-1751623975.png)

và công sai

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid27-1751623975.png)

. Giá trị của

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid28-1751623975.png)

bằng

Accepted Answer

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid30-1751623979.png)

.

Question 5

Tập nghiệm của phương trình

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid32-1751624021.png)

là

Accepted Answer

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid34-1751624025.png)

Question 6

Cho hình lăng trụ

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid38-1751624056.png)

(xem hình dưới). Phát biểu nào sau đây là đúng?

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid39-1751624056.png)

Accepted Answer

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid40-1751624061.png)

.

Question 7

Một người chia thời lượng (đơn vị: giây) thực hiện các cuộc gọi điện thoại của mình trong một tuần thành sáu nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm như sau.

**Nhóm**

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid47-1751624090.png)

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid48-1751624090.png)

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid49-1751624090.png)

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid50-1751624090.png)

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid51-1751624090.png)

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid52-1751624090.png)

**Tần số**

11

10

6

8

4

1

Tứ phân vị thứ ba

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid53-1751624090.png)

(đơn vị: giây) của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng

Accepted Answer

135

Question 8

Trong không gian với hệ tọa độ

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid61-1751624137.png)

, mặt phẳng đi qua điểm

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid62-1751624137.png)

nhận

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid63-1751624137.png)

làm một vecto pháp tuyến có phương trình là

Accepted Answer

**D****. **

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid67-1751624146.png)

.

Question 9

Cho hình chóp

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid71-1751624182.png)

có

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid72-1751624182.png)

vuông góc với mặt phẳng

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid73-1751624182.png)

, tam giác

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid74-1751624182.png)

vuông tại

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid75-1751624182.png)

và

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid76-1751624182.png)

. Thể tích của khối chóp

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid71-1751624182.png)

bằng

Accepted Answer

10

Question 10

Họ nguyên hàm của hàm số

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid78-1751624216.png)

là

Accepted Answer

**C****. **

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid81-1751624223.png)

.

Question 11

Cho hàm số

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid84-1751624275.png)

(

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid85-1751624275.png)

) có đồ thị như hình dưới. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid86-1751624275.png)

Accepted Answer

**D****. **

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid90-1751624284.png)

.

Question 12

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid92-1751624304.png)

, diện tích

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid93-1751624304.png)

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid94-1751624304.png)

, trục hoành và hai đường thẳng

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid95-1751624304.png)

được xác định bằng công thức

Accepted Answer

**B****. **

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid97-1751624308.png)

.

Question 13

Đối với ngành nuôi trồng thuỷ sản, việc kiểm soát lượng thuốc tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng. Khi nghiên cứu một loại thuốc trị bệnh, người ta sử dụng thuốc đó một lần và theo dõi nồng độ thuốc tồn dư $C(t)$ (mg/lít) tại thời điểm $t$ (ngày) kể từ lúc sử dụng, thoả mãn $C'(t) = -k \cdot C(t)$ và $C(0) = C_0$, trong đó $k$ là hằng số dương. Đo nồng độ thuốc tồn dư tại các thời điểm $t_1 = 1$ (ngày) và $t_2 = 2$ (ngày) nhận được kết quả lần lượt là $C(1) = 0,8$ mg/lít và $C(2) = 0,64$ mg/lít.

a) $C(t) = C_0 \cdot e^{-kt}$ với $C_0, k$ là các hằng số xác định.
b) $k = 0,1$.
c) $C_0 = 1,2$.
d) Nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại thời điểm $t = 3$ (ngày) nhỏ hơn $0,5$ mg/lít.

Accepted Answer

a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng

Question 14

Một phần mềm nhận dạng tin nhắn quảng cáo trên điện thoại di động dựa theo từ khóa để đánh dấu tin nhắn. Qua thời gian, người ta thấy rằng 10% số tin nhắn gửi đến bị đánh dấu. Trong số các tin nhắn bị đánh dấu, có 5% là tin nhắn không phải quảng cáo. Trong số các tin nhắn không bị đánh dấu, có 2% là tin nhắn quảng cáo. Chọn ngẫu nhiên một tin nhắn được gửi đến. Xét các khẳng định sau:

Accepted Answer

Chọn a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng Gọi là biến cố “tin nhắn được chọn bị đánh dấu”. Gọi là biến cố “tin nhắn được chọn là quảng cáo”. Ta có sơ đồ hình cây a) Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu là nên câu a đúng. b) Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo, biết rằng nó không bị đánh dấu là nên câu b sai. c) Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo là nên câu c đúng. d) Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu, biết rằng nó không phải là quảng cáo là nên câu d đúng.

Question 15

Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ tọa độ

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid159-1751624430.png)

có

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid160-1751624430.png)

lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid161-1751624430.png)

và độ dài của mỗi vectơ đơn vị bằng 1 mét. Cho hai điểm

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid162-1751624430.png)

và

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid163-1751624430.png)

, trong đó điểm

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid162-1751624430.png)

có tọa độ là

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid164-1751624430.png)

. Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid165-1751624431.png)

(giây) theo công thức

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid166-1751624431.png)

(m/giây), trong đó

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid167-1751624431.png)

là hằng số dương và

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid168-1751624431.png)

. Ở thời điểm ban đầu

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid169-1751624431.png)

, vật đi qua

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid162-1751624430.png)

với tốc độ

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid170-1751624431.png)

(m/giây) và hướng tới

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid163-1751624430.png)

. Sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid171-1751624431.png)

mét. Gọi

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid172-1751624431.png)

là vectơ cùng hướng với

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid173-1751624431.png)

. Biết rằng

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid174-1751624431.png)

và góc giữa vectơ

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid175-1751624431.png)

và các vectơ

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid160-1751624430.png)

có số đo tương ứng bằng

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid176-1751624431.png)

.

**a****)**

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid177-1751624431.png)

.

**b)** Phương trình đường thẳng

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid178-1751624431.png)

là

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid179-1751624431.png)

.

**c)**

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid180-1751624431.png)

.

**d****)** Giả sử sau 5 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đến điểm

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid181-1751624431.png)

. Khi đó

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid182-1751624431.png)

.

Accepted Answer

Lời giải Chọn a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng a) Do góc giữa vectơ và các vectơ có số đo tương ứng bằng nên . Suy ra câu a đúng. b) Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc là . Suy ra câu b sai. c) Do sau 2 giây vật đi được mét nên . Vậy nên câu c sai. d) Ta có . Quãng đường vật đi được sau 5 giây là (mét). Suy ra . Suy ra (do cùng hướng với nên ). Vậy câu d đúng.

Question 16

Một doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm trong một tháng (x > 0). Doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là R(x) = -0,2x^2 + 2000x (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là C(x) = 0,3x + 700 (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn 100.000 nghìn đồng?

Accepted Answer

1808

Question 17

Có bốn ngăn (trong một giá để sách) được đánh số thứ tự 1, 2, 3, 4 và bảy quyển sách khác nhau. Bạn An xếp hết bảy quyển sách nói trên vào bốn ngăn đó sao cho mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách và các quyển sách được xếp thẳng đứng thành một hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn. Khi đã xếp xong bảy quyển sách, hai cách xếp của bạn An được gọi là giống nhau nếu chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:

+ Với từng ngăn, số lượng quyển sách ở ngăn đó là như nhau trong cả hai cách xếp.

+ Với từng ngăn, thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách được xếp là như nhau trong cả hai cách xếp.

Gọi $N$ là số cách xếp đôi một khác nhau của bạn An. Giá trị của $N$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

2016

Question 18

Bạn Nam tham gia cuộc thi giải một mật thư. Theo quy tắc của cuộc thi, người chơi cần chon ra sáu số từ tập

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid219-1751624501.png)

và xếp mỗi số vào đúng một vị trí trong sáu vị trí

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid220-1751624501.png)

như hình bên sao cho mỗi vị trí chi được xếp một số. Mật thư sẽ được giải nếu các bộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid221-1751624501.png)

tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên sáu số trong tập

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid222-1751624501.png)

và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí được yêu cầu. Gọi xác suất để bạn Nam giải được mật thư ở lần chọn và xếp đó là

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid223-1751624501.png)

. Giá trị của

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid224-1751624501.png)

bằng bao nhiêu?

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid225-1751624502.png)

Accepted Answer

Trả lời: 3780 . Do tạo thành 1 CSC . Ta thấy: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Mỗi bộ số thỏa mãn trên có cách xếp Xác suất Nam giải được mật thư là:

Question 19

Cho hình chóp

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid242-1751624530.png)

có đáy

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid243-1751624530.png)

là hình thoi với

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid244-1751624530.png)

và

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid245-1751624530.png)

. Biết rằng hình chiếu vuông góc của

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid246-1751624530.png)

trên mặt phẳng

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid247-1751624530.png)

là trọng tâm

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid248-1751624530.png)

của tam giác

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid249-1751624530.png)

và

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid250-1751624530.png)

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid251-1751624530.png)

và

![](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid252-1751624530.png)

bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Accepted Answer

Trả lời: 2,08 Gọi là tâm hình thoi Dễ thấy là hình thoi nên suy ra , là hai tam giác đều Vẽ Vì Vẽ . Vì là trọng tâm của tam giác nên Ta có: Ta có:

Đề chính thức thi Toán Tốt nghiệp 2025 có đáp án (Mã đề 103)

Xem trước câu hỏi