Đề kiểm tra Bài tập cuối chương V (có lời giải) - Đề 1

Question 1

Cho dãy số (u_n) với u_n = sqrt(n^2 + 1) - sqrt(n). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Accepted Answer

lim(u_n) = +∞

Question 2

Cho ${u_n} = \frac{{2 + {2^2} + \ldots + {2^n}}}{{{2^n}}}$. Giới hạn của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bằng

Accepted Answer

2.

Question 3

Cho cấp số nhân lùi vô hạn $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}$. Tổng của cấp số nhân này bằng

Accepted Answer

1.

Question 4

Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} - \sqrt {x + 2} $. Mệnh đề đúng là

Accepted Answer

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

Question 5

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x - {x^2}}}{{\left| x \right|}}$. Khi đó limx→0+fx bằng

Accepted Answer

-1.

Question 6

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}}$. Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên

Accepted Answer

$\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)$

Question 7

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}}&{{\rm{\;khi \;}}x \ne 1}\a&{{\rm{\;khi \;}}x = 1}\end{array}} \right.$. Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$ khi

Accepted Answer

$a = 3$.

Question 8

Kết quả của $\lim \frac{{{3^n} - {{4.2}^{n - 1}} - 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}}$ bằng:

Accepted Answer

$0$.

Question 9

Giá trị đúng của $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {3{n^2} + 2} } \right)$ là:

Accepted Answer

$ - \infty $.

Question 10

Giá trị đúng của $\lim \left( {{3^n} - {5^n}} \right)$ là:

Accepted Answer

$ - \infty $.

Question 11

Tính giới hạn $T = \lim \left( {\sqrt {{{16}^{n + 1}} + {4^n}} - \sqrt {{{16}^{n + 1}} + {3^n}} } \right)$

Accepted Answer

$T = \frac{1}{8}$

Question 12

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có $\lim {u_n} = 2$. Tính giới hạn $\lim \frac{{3{u_n} - 1}}{{2{u_n} + 5}}$.

Accepted Answer

$\frac{5}{9}$

Question 13

Cho $a$, $b$ là hai số thực sao cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 1}}}&{khi}&{x \ne 1}\{2ax - 1}&{khi}&{x = 1}\end{array}} \right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Ta có (f left( 1 right) = 2a - 1 ). Để hàm số liên tục trên ( mathbb{R} ) thì phải tồn tại ( mathop { lim } limits_{x to 1} f left( x right) = mathop { lim } limits_{x to 1} frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 1}} ) và ( mathop { lim } limits_{x to 1} f left( x right) = f left( 1 right) ). Để tồn tại ( mathop { lim } limits_{x to 1} frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 1}} ) thì ( left( {{x^2} + ax + b} right) vdots left( {x - 1} right) Rightarrow 1 + a + b = 0 Rightarrow b = - a - 1 ). Khi đó ( mathop { lim } limits_{x to 1} f left( x right) = mathop { lim } limits_{x to 1} frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 1}} = mathop { lim } limits_{x to 1} frac{{ left( {x - 1} right) left( {x + a + 1} right)}}{{x - 1}} = mathop { lim } limits_{x to 1} left( {x + a + 1} right) = a + 2 ). Do đó để hàm số liên tục trên ( mathbb{R} ) thì ( mathop { lim } limits_{x to 1} f left( x right) = f left( 1 right) ) ( Leftrightarrow 2a - 1 = a + 2 Leftrightarrow a = 3 ). Suy ra (b = - 4 ). Vậy (a - b = 7 ).

Question 14

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{4n^2 + n + 2}{an^2 + 5}$ (với $a \neq 0$). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng (2 = lim {u_n} = lim frac{{4{n^2} + n + 2}}{{a{n^2} + 5}} = lim frac{{4 + frac{1}{n} + frac{2}{{{n^2}}}}}{{a + frac{5}{{{n^2}}}}} = frac{4}{a} , , left( {a not = 0} right) )

Question 15

Cho $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax + 5} + x} \right)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Ta có: ( mathop { lim } limits_{x to - infty } left( { sqrt {{x^2} + ax + 5} + x} right) = - 6 ) ( Leftrightarrow mathop { lim } limits_{x to - infty } left( { frac{{{x^2} + ax + 5 - {x^2}}}{{ sqrt {{x^2} + ax + 5} - x}}} right) = - 6 ) ( Leftrightarrow mathop { lim } limits_{x to - infty } left( { frac{{ax + 5}}{{ sqrt {{x^2} + ax + 5} - x}}} right) = - 6 ) ( Leftrightarrow mathop { lim } limits_{x to - infty } left( { frac{{a + frac{5}{x}}}{{ - sqrt {1 + frac{a}{x} + frac{5}{{{x^2}}}} - 1}}} right) = - 6 ) ( Leftrightarrow frac{a}{{ - 2}} = - 6 ) ( Leftrightarrow a = 12 ). Vì vậy giá trị của (a ) là một nghiệm của phương trình ({x^2} + 11x - 12 = 0 ).

Question 16

Cho biết $\lim_{n \to +\infty} \left( {\sqrt {{n^2} - 8n} - n + {a^2}} \right) = 0$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng Nếu nhân lượng liên hợp : Ta có [ lim left( { sqrt {{n^2} - 8n} - n + {a^2}} right) = lim frac{{ left( {2{a^2} - 8} right)n}}{{ sqrt {{n^2} + n} + n}} = lim frac{{2{a^2} - 8}}{{ sqrt {1 + frac{1}{n}} + 1}} ] [ = {a^2} - 4 = 0 Leftrightarrow a = pm 2. ]

Question 17

Chứng minh rằng hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ với $u_n = \frac{1 + \cos(n^2)}{2n + 1}$ và $v_n = \frac{n + \sin(2n)}{n^2 + n}$ đều có giới hạn bằng 0.

Accepted Answer

Ta có $0 \le u_n \le \frac{2}{2n+1} \le \frac{1}{n}$ và $0 \le v_n \le \frac{n+1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}$. Theo nguyên lý kẹp, $\lim u_n = 0$ và $\lim v_n = 0$.

Question 18

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - {x^2}}&{{\rm{ khi }}x < 1}\x&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\end{array}} \right.$.

Tìm các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)$ .

Accepted Answer

( mathop { lim } limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop { lim } limits_{x to {1^ + }} x = 1; , , mathop { lim } limits_{x to {1^ - }} f(x) = mathop { lim } limits_{x to {1^ - }} left( { - {x^2}} right) = - 1 ) Do ( mathop { lim } limits_{x to {1^ + }} f(x) ne mathop { lim } limits_{x to {1^ - }} f(x) ) nên không tồn tại ( mathop { lim } limits_{x to 1} f(x) )

Question 19

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne - 2}\a&{{\rm{ khi }}x = - 2.}\end{array}} \right.$

Tìm $a$ để hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Accepted Answer

Ta có: ( mathop { lim } limits_{x to - 2} f(x) = mathop { lim } limits_{x to - 2} frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = mathop { lim } limits_{x to - 2} frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{x + 2}} = mathop { lim } limits_{x to - 2} (x - 2) = - 2 - 2 = - 4 ), [f left( { - 2} right) = a ] Để hàm số (f(x) ) liên tục trên ( mathbb{R} ) thì hàm số (f(x) ) phải liên tục tại ({x_0} = - 2 ) Hay ( mathop { lim } limits_{x to - 2} f(x) = f( - 2) ) Suy ra: (a = - 4 )

Question 20

Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là 0: $u_n = \frac{n^n(n+2)^n}{(2n+2)^{2n}}$

Accepted Answer

Ta có $u_n = \frac{(n^2+2n)^n}{(2(n+1))^{2n}} = \frac{(n^2+2n)^n}{2^{2n}(n+1)^{2n}} = \frac{(n^2+2n)^n}{4^n(n^2+2n+1)^n} = \left( \frac{n^2+2n}{4(n^2+2n+1)} \right)^n$. Vì $0 < \frac{n^2+2n}{4(n^2+2n+1)} < \frac{1}{4} < 1$ với mọi $n \ge 1$, nên $\lim u_n = 0$.

Đề kiểm tra Bài tập cuối chương V (có lời giải) - Đề 1

Xem trước câu hỏi