Đề kiểm tra Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (có lời giải) - Đề 1

Question 1

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty $. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Accepted Answer

**C****. **Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

Question 2

** **Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}$ là

Accepted Answer

$y = 1$

Question 3

** **Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ.

![Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/1-1759190875.png)

Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là

Accepted Answer

**A****. **$y = - 1$

Question 4

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

![Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/2-1759190941.png)

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$

Accepted Answer

$2$

Question 5

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = - \infty $. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Accepted Answer

Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -2$.

Question 6

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{x - 3}}$ là

Accepted Answer

**A****. **$x = 3$

Question 7

** **Đường tiệm cận đứng của đồ thi hàm số $y = \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}$ là:

Accepted Answer

**A****. **$x = - 1$.

Question 8

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tiệm cận đứng của đồ thị là

![Tiệm cận đứng của đồ thị là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/3-1759191101.png)

Accepted Answer

$x = 1$.

Question 9

Đường thẳng $y = ax + b$ ($a \ne 0$) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu:

Accepted Answer

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$.

Question 10

Đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng:

Accepted Answer

$y = x + 1$.

Question 11

Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng:

![Câu 11:	Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng: A. $y = x$.	B. $y = x - 1$.	C. $y = 2x - 1$	D. $y = x + 1$. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/4-1759191244.png)

Accepted Answer

$y = x + 1$.

Question 12

Đồ thị hàm số $y = \sqrt {{x^2} + 2x + 2} $ có mấy đường tiệm cận xiên:

Accepted Answer

$2$.

Question 13

**PHẦN II: Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.**

Cho hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{2x - 3}}$ $\left( C \right)$.

a) Tiệm cận đứng của hàm số là $x = \frac{3}{2}$.

b) Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận thuộc đường thẳng $x - y - 1 = 0$

c) Đường thẳng $2x + y - 1 = 0$ cắt TCĐ, TCN của hàm số tại các điểm A và B. Diện tích của tam giác IAB bằng $\frac{{25}}{4}$, với I là giao điểm hai đường tiệm cận.

d) Gọi $I$ là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ $I$ đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Accepted Answer

a) Đúng Vì ( mathop { lim } limits_{x to {{ left( { frac{3}{2}} right)}^ + }} frac{{x - 1}}{{2x - 3}} = + infty ) nên tiệm cận đứng của hàm số là (x = frac{3}{2} ). b) Đúng. Hàm số có 1 tiệm cận đứng là (x = frac{3}{2} ) và 1 tiệm cận ngang là (y = frac{1}{2} ), nên tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận là (I left( { frac{3}{2}; frac{1}{2}} right) ). Rõ ràng I thuộc đường thẳng (x - y - 1 = 0 ). c) Sai. Tọa độ điểm A: (x = frac{3}{2} Rightarrow y = - 2 ) suy ra (A left( { frac{3}{2}; - 2} right) ) Tọa độ điểm B: (y = frac{1}{2} Rightarrow x = frac{1}{4} ) suy ra (B left( { frac{1}{4}; frac{1}{2}} right) ) [ overrightarrow {IA} left( {0; - frac{5}{2}} right) Rightarrow IA = frac{5}{2} ]; [ overrightarrow {IB} left( { frac{{ - 5}}{4};0} right) Rightarrow IB = frac{5}{4} ]; [{S_{ Delta IAB}} = frac{1}{2}IA.IB = frac{1}{2}. frac{5}{4}. frac{5}{2} = frac{{25}}{{16}} ] d) Đúng. Tọa độ giao điểm (I left( { frac{3}{2}; frac{1}{2}} right) ). Gọi tọa độ tiếp điểm là ( left( {{x_0}; frac{{{x_0} - 1}}{{2{x_0} - 3}}} right) ). Khi đó phương trình tiếp tuyến ( Delta ) với đồ thị hàm số tại điểm ( left( {{x_0}; frac{{{x_0} - 1}}{{2{x_0} - 3}}} right) ) là: (y = - frac{1}{{{{ left( {2{x_0} - 3} right)}^2}}} left( {x - {x_0}} right) + frac{{{x_0} - 1}}{{2{x_0} - 3}} Leftrightarrow x + { left( {2{x_0} - 3} right)^2}y - 2x_0^2 + 4{x_0} - 3 = 0 ). Khi đó: (d left( {I, Delta } right) = frac{{ left| { frac{3}{2} + frac{1}{2}{{ left( {2{x_0} - 3} right)}^2} - 2x_0^2 + 4{x_0} - 3} right|}}{{ sqrt {1 + {{ left( {2{x_0} - 3} right)}^4}} }} = frac{{ left| { - 2{x_0} + 3} right|}}{{ sqrt {1 + {{ left( {2{x_0} - 3} right)}^4}} }} le frac{{ left| {2{x_0} - 3} right|}}{{ sqrt {2{{ left( {2{x_0} - 3} right)}^2}} }} = frac{1}{{ sqrt 2 }} ) (Theo bất đẳng thức Cô si) Dấu xảy ra khi và chỉ khi ({ left( {2{x_0} - 3} right)^2} = 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2{x_0} - 3 = 1 2{x_0} - 3 = - 1 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{x_0} = 2 {x_0} = 1 end{array} right. ). Vậy ( max d left( {I, Delta } right) = frac{1}{{ sqrt 2 }} ).

Question 14

Cho hàm số $y = \frac{{ - {x^2} + 4x + 3 + m}}{{x - 2}}$ $\left( C \right)$.

a) Khi $m = 0$, tiệm cận đứng của hàm số là $x = 2$.

b) Khi $m = 0$, tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng đồ thị và đường thẳng $x - y - 1 = 0$ thuộc parabol $y = {x^2}$.

c) Khi $m = 0$, lấy $M$ là điểm bất kỳ trên đồ thị $\left( C \right)$, gọi ${d_1}$ là khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng, gọi ${d_2}$ là khoảng cách từ M đến đường thẳng $y = - x + 2\,$. Tích ${d_1}.{d_2} = 7$.

d) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số không có tiệm cận đứng. Số phần tử của S là 1.

Accepted Answer

a) Đúng Khi (m = 0 ) hàm số có dạng (y = frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}} ) Vì ( mathop { lim } limits_{x to {{ left( 2 right)}^ + }} frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}} = + infty ) và ( mathop { lim } limits_{x to {{ left( 2 right)}^ - }} frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}} = - infty ) nên tiệm cận đứng của hàm số là (x = 2 ). b) Sai. Khi (m = 0 ) hàm số có dạng (y = frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}} ) Tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng và đường thẳng (x - y - 1 = 0 ) là nghiệm hệ ( left { begin{array}{l}x = 2 x - y - 1 = 0 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}x = 2 y = 1 end{array} right. ) không thỏa mãn phương trình parabol (y = {x^2} ). c) Sai. Ta thấy (x - 2 = 0 Leftrightarrow x = 2 ) và ( - {2^2} + 4.2 + 3 ne 0 ) nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng (x = 2 , ). Lấy (M left( {0; - frac{3}{2}} right) in left( C right) ). Ta có ({d_1}.{d_2} = frac{{ left| { - 2} right|}}{1}. frac{{ left| { - frac{3}{2} - 2} right|}}{{ sqrt 2 }} = frac{{7 sqrt 2 }}{2} ). d) Sai. Hàm số không có tiệm cận đứng khi (x = 2 ) là nghiệm của phương trình ( - {x^2} + 4x + 3 + m = 0 ) Hay ( - 4 + 8 + 3 + m = 0 Leftrightarrow m = - 7 ). Vậy (S = emptyset ).

Question 15

Cho hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{m{x^2} - 2x + 3}}$ $\left( C \right)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng Khi (m ne 0 ) Vì ( mathop { lim } limits_{x to + infty } frac{{x - 1}}{{m{x^2} - 2x + 3}} = mathop { lim } limits_{x to + infty } frac{{ frac{1}{x} - frac{1}{{{x^2}}}}}{{m - frac{2}{x} + frac{3}{{{x^2}}}}} = 0 ) nên hàm số có tiệm cận ngang (y = 0 ). b) Đúng. Khi (m = 0 ) hàm số có dạng (y = frac{{x - 1}}{{ - 2x + 3}} ) Hàm số có 1 tiệm cận đứng là (x = frac{3}{2} ) và 1 tiệm cận ngang là (y = - frac{1}{2} ), nên tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận là (I left( { frac{3}{2}; - frac{1}{2}} right) ). Rõ ràng I thuộc đường thẳng (x - y - 2 = 0 ). c) Sai. Khi (m = 2 ) thì hàm số thành (y = frac{{x - 1}}{{2{x^2} - 2x + 3}} ) không có tiệm cận đứng vì (2{x^2} - 2x + 3 = 0 ) vô nghiệm d) Sai. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận Û (m{x^2} - 2x + 3 = 0 ) có hai nghiệm phân biệt khác 1. ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}a ne 0 Delta ' > 0 m{.1^2} - 2.1 + 3 ne 0 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}m ne 0 m < frac{1}{3} m ne - 1 end{array} right. ). Vì (m in left[ { - 5; - 1} right] ) nên (S = left { { - 5; - 4; - 3; - 2} right } )

Question 16

Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}$ $\left( C \right)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng Khi (m = 0 ) hàm số trở thành (y = frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x}} ) Vì ( mathop { lim } limits_{x to + infty } frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x}} = mathop { lim } limits_{x to + infty } frac{{1 + frac{1}{x} - frac{2}{{{x^2}}}}}{{1 - frac{2}{x}}} = 1 ) nên hàm số có tiệm cận ngang (y = 1 ). b) Đúng. Khi (m = 0 ) hàm số trở thành (y = frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x}} ) Hàm số có 2 tiệm cận đứng là (x = 0 ); (x = 2 )và 1 tiệm cận ngang là (y = 1 ), nên hàm số có 3 tiệm cận. c) Đúng. Hàm số có 1 TCĐ khi (x = 1;x = - 2 ) là nghiệm của phương trình ({x^2} - 2x + m = 0 ) ( Rightarrow left[ begin{array}{l}1 - 2 + m = 0 4 + 4 + m = 0 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = 1 m = - 8 end{array} right. ) d) Sai. Đồ thị hàm số (y = frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}} ) có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình (f left( x right) = {x^2} - 2x + m ) có hai nghiệm phân biệt khác (1 ) và ( - 2 ). ( Leftrightarrow left { begin{array}{l} Delta ' > 0 f left( 1 right) ne 0 f left( { - 2} right) ne 0 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}1 - m > 0 m ne 1 m ne - 8 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}m < 1 m ne - 8 end{array} right. ). Vì (m in left[ { - 8;8} right] ) nên (S = left { { - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0} right } )

Question 17

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

![Bảng biến thiên của hàm số f(x)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/5-1759191478.png)

Biết đồ thị hàm số $g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - x} \right)$ có hai đường tiệm cận ngang là $y = a$ và $y = b$, trong đó $a < b$. Tính $S = a - 100b$.

Accepted Answer

-298

Question 18

Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm là $C\left( x \right) = 150x + 900$ (nghìn đồng). Khi sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm không vượt quá $t$ (nghìn đồng). Tìm giá trị nhỏ nhất của $t$.

Accepted Answer

150

Question 19

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ $\left( {a \ne 0} \right)$có đồ thị như hình vẽ bên dưới

![Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g\left( x \right) = \frac{{\sqrt x }}{{f\left( {{x^2} - 1} \right) - 4}}$. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/6-1759191594.png)

Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g\left( x \right) = \frac{{\sqrt x }}{{f\left( {{x^2} - 1} \right) - 4}}$.

Accepted Answer

Điều kiện (x ge 0 ). Từ đồ thị, ta có (a > 0 ). Ta có (f left( x right) - 4 = 0 Leftrightarrow f left( x right) = 4 ) ( Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1} {x = alpha , , left( { alpha > 1} right)} end{array}} right. ) trong đó (x = - 1 ) là ngiệm kép. Suy ra (f left( x right) - 4 = a{ left( {x + 1} right)^2} left( {x - alpha } right) ). Do đó (f left( {{x^2} - 1} right) - 4 = a{x^4} left( {{x^2} - 1 - alpha } right) ) ( Rightarrow g left( x right) = frac{{ sqrt x }}{{f left( {{x^2} - 1} right) - 4}} = frac{{ sqrt x }}{{a{x^4} left( {{x^2} - 1 - alpha } right)}} ) ( = frac{1}{{a{x^3} sqrt x left( {x - sqrt {1 + alpha } } right) left( {x + sqrt {1 + alpha } } right)}} ) Ta có: ( mathop { lim } limits_{x to {0^ + }} g left( x right) = mathop { lim } limits_{x to {0^ + }} frac{1}{{a{x^3} sqrt x left( {x - sqrt {1 + alpha } } right) left( {x + sqrt {1 + alpha } } right)}} = - infty ) nên (x = 0 ) là một đường tiệm cận đứng của đồ thị (y = g left( x right) ). Đường thẳng (x = sqrt {1 + alpha } ) cũng là một đường tiệm cận đứng của đồ thị (y = g left( x right) ). Vậy đồ thị hàm số (g left( x right) ) có (2 ) đường tiệm cận đứng. Đáp án: (2 )

Question 20

Từ một tấm tôn hình chữ nhật có các kích thước là $x\,\left( m \right)$, $y\,\left( m \right)$ với $x > 2$và $y > 2$ và diện tích bằng $10{m^2}$, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một cái thùng dạng hình hộp chữ nhật không nắp (như hình vẽ) có chiều cao bằng $1\,m$. Thể tích của thùng là hàm số $V\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$. Đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

![Đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/7-1759191635.png)

Accepted Answer

Do tấm tôn có diện tích bằng (10{m^2} ) nên (xy = 10 Leftrightarrow y = frac{{10}}{x} ) Thùng có chiều cao là (1 ,m ) và các kích thước còn lại của thùng là: (x - 2 ) và (y - 2 ) Thể tích của thùng là (V left( x right) = 1. left( {x - 2} right) left( {y - 2} right) = left( {x - 2} right) left( { frac{{10}}{x} - 2} right) = frac{{ left( {x - 2} right) left( {10 - 2x} right)}}{x} ) Suy ra: (y = frac{1}{{V left( x right)}} = frac{x}{{ left( {x - 2} right) left( {10 - 2x} right)}} ) Ta có: ( mathop { lim } limits_{x to {2^ + }} frac{1}{{V left( x right)}} = mathop { lim } limits_{x to {2^ + }} frac{x}{{ left( {x - 2} right) left( {10 - 2x} right)}} = + infty ) và ( mathop { lim } limits_{x to {2^ - }} frac{1}{{V left( x right)}} = mathop { lim } limits_{x to {2^ - }} frac{x}{{ left( {x - 2} right) left( {10 - 2x} right)}} = - infty ) ( Rightarrow ) đường thẳng (x = 2 )là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (y = frac{1}{{V left( x right)}} ) ( mathop { lim } limits_{x to {5^ + }} frac{1}{{V left( x right)}} = mathop { lim } limits_{x to {4^ + }} frac{x}{{ left( {x - 2} right) left( {10 - 2x} right)}} = - infty ) và [ mathop { lim } limits_{x to {5^ - }} frac{1}{{V left( x right)}} = mathop { lim } limits_{x to {4^ - }} frac{x}{{ left( {x - 2} right) left( {10 - 2x} right)}} = + infty ] ( Rightarrow ) đường thẳng (x = 5 )là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (y = frac{1}{{V left( x right)}} ) Vậy đồ thị hàm số (y = frac{1}{{V left( x right)}} ) có 2 đường tiệm cận đứng.

Đề kiểm tra Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (có lời giải) - Đề 1

Xem trước câu hỏi