Đề kiểm tra Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (có lời giải) - Đề 1

Question 1

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ là $5$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Accepted Answer

$f\left( x \right) \ge 5$$\forall x \in \mathbb{R}$, $\exists {x_0}$, $f\left( {{x_0}} \right) = 5$.

Question 2

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ như sau:

![Bảng biến thiên](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/1-1759142765.png)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ là:

Accepted Answer

$-4$

Question 3

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ và có đồ thị như hình vẽ sau.

![Đồ thị hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-1; 2]$](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/1-1759142817.jpg)

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ là:

Accepted Answer

$3$

Question 4

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$ và có bảng biến thiên như sau:

![Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$ và có bảng biến thiên như sau: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/2-1759142970.png)

Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$. Khi đó giá trị của $M - m$ là

Accepted Answer

$M - m = 5$

Question 5

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;5} \right]$ và có đồ thị như hình vẽ sau:

![Khẳng định nào sau đây đúng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/3-1759143044.png)

Khẳng định nào sau đây đúng?

Accepted Answer

$\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = 1.$

Question 6

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ.

![Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/4-1759143099.png)

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Accepted Answer

Hàm số $y = f\left( x \right)$ không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $\left( { - 2; + \infty } \right)$.

Question 7

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ là

Accepted Answer

$\frac{4}{3}$.

Question 8

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt {x + 1} $ trên tập xác định là

Accepted Answer

$0$.

Question 9

Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin 2x + 2$ trên tập xác định là

Accepted Answer

4

Question 10

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}$ trên $\left( { - 1; + \infty } \right)$ .

Accepted Answer

Không tồn tại.

Question 11

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = \left( {x - 3} \right){e^{2x}}$.

Accepted Answer

$\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = - \frac{{{e^5}}}{2}$.

Question 12

Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}$ trên nửa khoảng $\left[ {1;\,{e^2}} \right)$ lần lượt là $m$ và $M$. Giá trị của biểu thức $\ln \left( {m + M} \right)$bằng

Accepted Answer

$ - 1$.

Question 13

Cho hàm số $y = \left| {{x^3} + 3{m^2}x + 2} \right|$, với $m$ là tham số. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) ĐÚNG Với mọi giá trị của (m ), hàm số (f left( x right) = {x^3} + 3{m^2}x + 2 ) là hàm số đa thức bậc 3 liên tục trên ( mathbb{R} )nên liên tục trên đoạn ( left[ {0;1} right] ), do đó hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn ( left[ {0;1} right] ) với mọi giá trị của (m ). b) SAI Khi (m = 0 ), hàm số (f left( x right) = {x^3} + 2 ) có (f' left( x right) = 3{x^2},f' left( x right) ge 0, forall x in mathbb{R}, ) suy ra hàm số (y = f left( x right) ) đồng biến trên đoạn ( left[ {0;1} right] ). Mặt khác (f left( 0 right) = 2 > 0 ), do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn ( left[ {0;1} right] ) bằng (y left( 0 right) ). c) SAI Khi (m = 1 ), hàm số (f left( x right) = {x^3} + 3x + 2 Rightarrow f' left( x right) = 3{x^2} + 3 > 0, forall x in mathbb{R} ), có (y left( 0 right) = 2,y left( { - 2} right) = 12 ). d) SAI Xét hàm số (f left( x right) = {x^3} + 3{m^2}x + 2 Rightarrow f' left( x right) = 3{x^2} + 3{m^2} ge 0, forall x in mathbb{R}, forall m ). Mặt khác (y left( 0 right) = 2,y left( 1 right) = left| {3{m^2} + 3} right| ) Do đó ( mathop { max } limits_{ left[ {0;1} right]} f left( x right) = 5 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}3{m^2} + 3 = 5 3{m^2} + 3 = - 5 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}3{m^2} - 2 = 0{ rm{ }} left( 1 right) 3{m^2} + 8 = 0{ rm{ }} left( 2 right) end{array} right. ) Phương trình ( left( 2 right) ) vô nghiệm, áp dụng định lí Vi-et cho phương trình ( left( 1 right) ) ta được tổng các nghiệm là ({m_1} + {m_2} = - frac{b}{a} = 0 ). Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số (m ) để ( mathop { max } limits_{ left[ {0;1} right]} f left( x right) = 5 ) là (0 ).

Question 14

Cho hàm số $y = f(x) = \left| {{x^4} - 2{x^2} + 2m - 3} \right|$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

Accepted Answer

a) Sai Khi (m = 2 ) Ta có (y = f(x) = left| {{x^4} - 2{x^2} + 1} right| = {x^4} - 2{x^2} + 1 = {({x^2} - 1)^2} ge 0 ) ( forall x in mathbb{R} ) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng (0 ) khi và chỉ khi (x = pm 1 ). b) Sai Khi (m = 3 ) Ta có (y = f(x) = left| {{x^4} - 2{x^2} + 3} right| = {x^4} - 2{x^2} + 3 ) (y' = 4{x^3} - 4x ); (y' = 0 Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0 in left[ {0;3} right] x = 1 in left[ {0;3} right] x = - 1 notin left[ {0;3} right] end{array} right. ) (f(0) = 3 ), (f(1) = 2 ); (f(3) = 66 ) . Do đó ( mathop { max } limits_{ left[ {0;3} right]} f(x) = 66 ) . c) Đúng Xét hàm số (y = h(x) = {x^4} - 2{x^2} + 2m - 3 ) có (h'(x) = 4{x^3} - 4x ) (h'(x) = 0 Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0 x = 1 x = - 1 end{array} right. ) Bảng biến thiên Ta có ( mathop { max } limits_{ left[ { - 1;0} right]} f(x) = mathop { max left| {h(x)} right|} limits_{ left[ { - 1;0} right]} = max left { { left| {2m - 4} right|; left| {2m - 3} right|} right } ) TH1: ( left { begin{array}{l} left| {2m - 4} right| = 27 left| {2m - 4} right| ge left| {2m - 3} right| end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l} left[ begin{array}{l}m = frac{{31}}{2} m = - frac{{23}}{2} end{array} right. m le frac{7}{4} end{array} right. Leftrightarrow m = - frac{{23}}{2} ) TH2: ( left { begin{array}{l} left| {2m - 3} right| = 27 left| {2m - 3} right| ge left| {2m - 4} right| end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l} left[ begin{array}{l}m = 15 m = - 12 end{array} right. m ge frac{7}{4} end{array} right. Leftrightarrow m = 15 ) Vậy có hai giá trị của m thóa mãn nên c đúng d) Đúng Ta có (h( - 1) = 2m - 4 ); [h(0) = 2m - 3 ] +) Nếu (h( - 1).h(0) le 0 Leftrightarrow frac{3}{2} le m le 2 )thì ( mathop { max } limits_{ left[ { - 1;0} right]} f(x) = mathop { max } limits_{ left| { left[ { - 1;0} right]} right|} left| {h(x)} right| = max left { { left| {2m - 4} right|; left| {2m - 3} right|} right } ); ( mathop { min } limits_{ left[ { - 1;0} right]} f(x) = mathop { min } limits_{ left| { left[ { - 1;0} right]} right|} left| {h(x)} right| = 0 ) Do đó ( mathop { max } limits_{ left[ { - 1;0} right]} f(x) + mathop { min } limits_{ left[ { - 1;0} right]} f(x) = 3 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left| {2m - 4} right| = 3 left| {2m - 3} right| = 3 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = frac{7}{2},m = frac{1}{2} m = 3,m = 0 end{array} right. ) Đối chiếu điều kiện không có giá trị nào của m thỏa mãn +) Nếu (h( - 1).h(0) > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m < frac{3}{2} m > 2 end{array} right. ) ( mathop { max } limits_{ left[ { - 1;0} right]} f(x) + mathop { min } limits_{ left[ { - 1;0} right]} f(x) = 3 Leftrightarrow left| {2m - 4} right| + left| {2m - 3} right| = 3 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left { begin{array}{l}m > 2 2m - 4 + 2m - 3 = 3 end{array} right. left { begin{array}{l}m < frac{3}{2} 4 - 2m + 3 - 2m = 3 end{array} right. end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = frac{5}{2} m = 1 end{array} right. ) Vây tổng các giá trị của (m ) bằng ( frac{7}{2} ).

Question 15

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) SAI Hàm số có tập xác định (D = left( { - infty ;1} right) cup left( {2; + infty } right) ). Ta có ( mathop { lim } limits_{x to + infty } f left( x right) = + infty ). b) ĐÚNG Vì ( left[ { - 1;0} right] subset D ) và hàm số liên tục trên ( left[ { - 1;0} right] ) nên luôn tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn này. c) ĐÚNG (f left( x right) = { log _2} left( {{x^2} - 3x + 2} right) Rightarrow f' left( x right) = frac{{2x - 3}}{{ left( {{x^2} - 3x + 2} right) ln 2}} ) (f' left( x right) = 0 Leftrightarrow x = - frac{3}{2} notin left[ { - 1;0} right] ). ( begin{array}{l}f left( { - 1} right) = { log _2}6 f left( 0 right) = 1 < { log _2}6 end{array} ) Vậy ( mathop { min } limits_{ left[ { - 1;0} right]} f left( x right) = 1 ). d) SAI TXĐ (D = left( { - infty ;1} right) cup left( {2; + infty } right) ) chứa ( left[ {3;4} right] ). (g left( x right) = {2^{f left( x right)}} + m = {2^{{{ log }_2} left( {{x^2} - 3x + 2} right)}} + m = {x^2} - 3x + 2 + m ). Có (g' left( x right) = 2x - 3,g' left( x right) = 0 Leftrightarrow x = frac{3}{2} notin left[ {3;4} right] ). Mà hàm số đồng biến trên ( left[ {3;4} right] ) nên ( mathop { min } limits_{ left[ {0;1} right]} g left( x right) = g left( 3 right) = 2 + m ). Theo đề ta có (2 + m = - 3 Leftrightarrow m = - 5 ) Vậy ({m_0} = - 5 in left( { - 5;0} right) )là sai.

Question 16

Cho hàm số $y = f(x) = {x^3} - 3x + {m^2} - 2$.

Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Sai Khi (m = 0 ) ta có (y = f(x) = {x^3} - 3x - 2 ) có (y' = 3{x^2} - 3 ) (y' = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 1 x = - 1 end{array} right. ) Bảng biến thiên Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn ( left[ { - 1;1} right] ) bằng (0 ). b) Đúng Ta có (x in left[ { - frac{1}{2}; frac{1}{2}} right] Leftrightarrow 2x in left[ { - 1;1} right] ) Đặt (t = 2x,t in left[ { - 1;1} right] ) , (f(t) = {t^3} - 3t - 2 ) Theo câu a có giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn ( left[ { - 1;1} right] ) bằng ( - 4 ) . c) Đúng (x in left[ { - 3;0} right] Leftrightarrow x + 1 in left[ { - 2;1} right] ) Đặt (t = x + 1 ), (t in left[ { - 2;1} right] ) ; (f(t) = {t^3} - 3t - 1 ) (f'(t) = 3{t^2} - 3 ) ; (f'(t) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 1 t = - 1 end{array} right. ) Ta có (f( - 2) = - 3 ); (f( - 1) = 1 ); (f(1) = - 3 ) nên ( mathop { max } limits_{ left[ { - 3;0} right]} f(x + 1) = 1 ). d) Sai Đặt (t = 1 - 3x ) , (x in left[ { - 2;0} right] Rightarrow t in left[ {1;7} right] ) (f(t) = {t^3} - 3t + {m^2} - 2 ), (f'(t) = 3{t^2} - 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 1 in left[ {1;7} right] t = - 1 notin left[ {1;7} right] end{array} right. ) (f(1) = {m^2} - 4 ) ; (f(7) = {m^2} + 320 ) ( mathop { min h(x)} limits_{ left[ { - 2;0} right]} < 2 Leftrightarrow {m^2} - 4 < 2 Leftrightarrow - sqrt 6 < m < sqrt 6 ) Do (m in left( { - 2023;2024} right) ), (m in Z Rightarrow m in left { { - 2, - 1,0,1,2} right } ).Vậy có 5 giá trị thỏa mãn nên câu d sai

Question 17

**PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN**

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3m{x^2} + 10$, trong đó $m$ là số nguyên dương. Tìm $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$ bằng $6$.

Accepted Answer

Đáp số: 1. Ta có (f' left( x right) = 3{x^2} - 6mx; , ,f' left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0 x = 2m end{array} right.. ) Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ( mathop { min } limits_{ left[ {0; + infty } right)} f left( x right) = - 4{m^3} + 10 ) khi (x = 2m ). Theo giả thiết ta có ( - 4{m^3} + 10 = 6 Leftrightarrow m = 1 ). Vậy (m = 1 ) thỏa yêu cầu bài toán.

Question 18

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{1}{3}{\cos ^3}x + \frac{1}{4}\cos 2x - 2\cos x + \frac{5}{4}$ trên tập xác định là $\frac{m}{n}$ (với $m, n$ là hai số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau). Khi đó kết quả của $m - 3n$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

1

Question 19

Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $200\,{m^3}$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 350 nghìn đồng/${m^2}$. Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây bể (làm tròn đến đơn vị triệu đồng).

Accepted Answer

59

Question 20

Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông cạnh $x\,\left( {cm} \right)$, chiều cao $h\,\left( {cm} \right)$ và diện tích bề mặt bằng $108\,c{m^2}$ như hình dưới đây. Tìm chiều cao $h\,\left( {cm} \right)$ sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

![Tìm chiều cao $h\,\left( {cm} \right)$ sao cho thể tích của hộp là lớn nhất. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/10-1759144368.png)

Accepted Answer

Đáp số: 3. Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là (x , left( {cm, ,x > 0} right) ) và chiều cao là (h , left( {cm, ,h > 0} right) ). Diện tích bề mặt của hình hộp là (108 ,{ rm{c}}{{ rm{m}}^2} ) nên ({x^2} + 4xh = 108 Rightarrow h = frac{{108 - {x^2}}}{{4x}} ). Thể tích của hình hộp là (V = {x^2}.h = {x^2}. frac{{108 - {x^2}}}{{4x}} = frac{{108x - {x^3}}}{4} ) (V' = frac{{ - 3{x^2} + 108}}{4} ) (V' = 0 Leftrightarrow x = 6 ) (do (x > 0 ) ). Do đó, thể tích của hình hộp là lớn nhất khi độ dài cạnh đáy (x = 6 , left( {cm} right) ). Khi đó, chiều cao của hình hộp là (h = frac{{108 - {6^2}}}{{4.6}} = 3 , left( {cm} right) ).

Đề kiểm tra Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (có lời giải) - Đề 1

Xem trước câu hỏi