Đề kiểm tra Giới hạn của dãy số (có lời giải) - Đề 1

Question 1

**Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn*. ****Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.*

Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn $P = 2,13131313...$,

Accepted Answer

$P = \frac{211}{99}$

Question 2

Cho các dãy số $\left( {{u_n}} \right),\,\,\left( {{v_n}} \right)$ và $\lim {u_n} = a,\,\,\lim {v_n} = + \infty $ thì $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$ bằng

Accepted Answer

$0$.** **

Question 3

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa $\left| {{u_n} - 2} \right| < \frac{1}{{{n^3}}}$ với mọi $n \in \mathbb{N}*$. Khi đó

Accepted Answer

$\lim {u_n} = 2$.

Question 4

Phát biểu nào sau đây là **sai**?

Accepted Answer

$\lim q^n = 0$ với $|q| > 1$.

Question 5

Tính $L = \lim \frac{{n - 1}}{{{n^3} + 3}}$.

Accepted Answer

$L = 0.$

Question 6

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng $0$?

Accepted Answer

${u_n} = \frac{{1 - 2n}}{{5n + 3{n^2}}}$.** **

Question 7

Tính $I = \lim \frac{{2n - 3}}{{2{n^2} + 3n + 1}}$

Accepted Answer

$I = 0$

Question 8

Giá trị của $\lim \frac{{2 - n}}{{n + 1}}$ bằng

Accepted Answer

$-1$

Question 9

Kết quả của $\lim \frac{{n - 2}}{{3n + 1}}$ bằng:

Accepted Answer

$\frac{1}{3}$

Question 10

Tính giới hạn $I = \lim \frac{{10n + 3}}{{3n - 15}}$ ta được kết quả:

Accepted Answer

$I = \frac{10}{3}$

Question 11

$\lim \frac{1}{{5n + 3}}$bằng

Accepted Answer

$0$.

Question 12

Giới hạn của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{2n - 1}}{{3 - n}},n \in {\mathbb{N}^*}$ là:

Accepted Answer

$-2$

Question 13

**Phần**** 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. ***Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.*

Các mệnh đề sau đúng/sai?

a) Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là số $a$ (hay ${u_n}$ dần tới $a$) khi $n \to + \infty $, nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0$.

b) Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là $0$khi $n$ dần tới vô cực, nếu $\left| {{u_n}} \right|$ có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

c) Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn $ + \infty $ khi $n \to + \infty $ nếu ${u_n}$ có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

d) Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn $ - \infty $ khi $n \to + \infty $ nếu ${u_n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Accepted Answer

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai

Question 14

Biết giới hạn $\lim \frac{{2n + 1}}{{ - 3n + 2}} = a$. Khi đó:

a) Giá trị $a$ lớn hơn 0.

b) Ba số $ - \frac{5}{3};a;\frac{1}{3}$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng $2$

c) Trên khoảng $\left( { - \pi ;\pi } \right)$ phương trình lượng giác $\sin x = a$ có 3 nghiệm

d) Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với công bội $q = 3$ và ${u_1} = a$, thì ${u_3} = - 6$

Accepted Answer

a) Sai b) Sai c) Sai d) Đúng a) Ta có: ( lim frac{{2n + 1}}{{ - 3n + 2}} = lim frac{{n left( {2 + frac{1}{n}} right)}}{{n left( { - 3 + frac{2}{n}} right)}} = lim frac{{2 + frac{1}{n}}}{{ - 3 + frac{2}{n}}} = frac{{ - 2}}{3} ) b) Ba số ( - frac{5}{3}; - frac{2}{3}; frac{1}{3} ) tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 1 c) Trên khoảng ( left( { - pi ; pi } right) ) phương trình lượng giác ( sin x = a ) có 2 nghiệm d) Cho cấp số nhân ( left( {{u_n}} right) ) với công bội (q = 3 ) và ({u_1} = a ), thì ({u_3} = - 6 )

Question 15

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau về giới hạn của dãy số:

Accepted Answer

a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai a) ( lim { left( { frac{2}{3}} right)^n} = 0 , ) ( left( {{ rm{do}} , frac{2}{3} < 1} right) ) b) ( lim frac{1}{{{{( sqrt 2 )}^n}}} = lim { left( { frac{1}{{ sqrt 2 }}} right)^n} = 0 , left( {{ rm{do}} , frac{1}{{ sqrt 2 }} , < 1} right) ) c) ( lim frac{1}{{{n^3}}} = 0 ) d) ( lim 4 = 4 )

Question 16

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau về giới hạn của dãy số:

Accepted Answer

a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng a) ( lim {( sqrt 3 )^n} = + infty ( )do ( sqrt 3 > 1) ) b) ( lim { pi ^n} = + infty ( ) do ( pi > 1) ) c) ( lim left( {{n^3} + 2{n^2} - 4} right) = lim {n^3} cdot left( {1 + frac{2}{n} - frac{4}{{{n^3}}}} right) = + infty ). Vì ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{ lim {n^3} = + infty } { lim left( {1 + frac{2}{n} - frac{4}{{{n^3}}}} right) = 1 > 0} end{array}} right. ) d) ( lim left( { - {n^4} + 5{n^3} - 4n} right) = lim {n^4} cdot left( { - 1 + frac{5}{n} - frac{4}{{{n^3}}}} right) = - infty ). Vì ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{ lim {n^4} = + infty } { lim left( { - 1 + frac{5}{n} - frac{4}{{{n^3}}}} right) = - 1 < 0} end{array}} right. )

Question 17

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ với $u_1 = \frac{5}{4}, q = -\frac{1}{3}$.

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(3) dưới dạng phân số.

Accepted Answer

a) $\frac{15}{16}$; b) $\frac{7}{3}$

Question 18

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có tính chất $\left| {{u_n} - 2} \right| \le \frac{1}{{{3^n}}}$. Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}$.

Accepted Answer

Do ( mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{1}{{{3^n}}} = 0 ) nên ( mathop { lim } limits_{n to + infty } left( {{u_n} - 2} right) = 0 ). Vậy ( mathop { lim } limits_{n to + infty } {u_n} = 2 ).

Question 19

Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^2} + n}}$.

Accepted Answer

( mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^2} + n}} = mathop { lim } limits_{n to + infty } frac{{2 + frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 + frac{1}{n}}} = frac{2}{3} )

Question 20

Tính tổng $S = - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{27}} + \cdots + {( - 1)^n}\frac{1}{{{3^n}}} + \cdots $

Accepted Answer

Ta thấy (S ) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( left( {{u_n}} right) ) với ({u_1} = - frac{1}{3},q = - frac{1}{3} ). Do đó (S = frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = frac{{ - frac{1}{3}}}{{1 + frac{1}{3}}} = - frac{1}{4} )

Đề kiểm tra Giới hạn của dãy số (có lời giải) - Đề 1

Xem trước câu hỏi